基本不等式的证明

1、重要不等式及其应用教案教学目的(1) 使学生掌握基本不等式 a2+ b2> 2ab(a、b R,当且仅当a=b时取 “=”号)和 a3 + b3 + c3> 3abc(a、b、c R+,当且仅当 a=b=c 时取“=”号)及其推论，并能应用它们证明一些不等式.(2) 通过对定理及其推论的证明与应用，培养学生运用综合法进行推 理的能力.教学过程一、引入新课师：上节课我们学过证明不等式的哪一种方法？它的理论依据是什么？生：求差比较法，即师：由于不等式复杂多样，仅有比较法是不够的.我们还需要学习 一些有关不等式的定理及证明不等式的方法.如果a、b R,那么(a b)2属于什么数集？为什么

2、？生：当 a工 b 时，(a b)2>0,当 a=b 时，(a b)2=0，所以(a b)2>0.即 (a b)2 R+ U0.师：下面我们根据(a b)2 R+U 0这一性质，来推导一些重要的不 等式，同时学习一些证明不等式的方法.、推导公式1奠基师：如果a、b R,那么有（a b）2> 0.把左边展开，得a2 2ab+ b20,a2 + b2> 2ab.式表明两个实数的平方和不小于它们的积的2倍这就是课本中介绍的定理1,它是一个很重要的绝对不等式，对任何两实数a、b都成立.由于取“=”号这种特殊情况，在以后有广泛的应用，因此通常要指 出“=”号成立的充要条件式中取等

3、号的充要条件是什么呢？生是包因为a = b *i=>a2+b2 = 2ab师：充要条件通常用“当且仅当”来表达“当”表示条件是充分 的，“仅当”表示条件是必要的所以式可表述为：如果a、b R,那么a2+ b2> 2ab（当且仅当a=b时取“=”号）.以公式为基础，运用不等式的性质推导公式，这种由已知推出 未知（或要求证的不等式）的证明方法通常叫做综合法以公式为基础， 用综合法可以推出更多的不等式现在让我们共同来探索.2.探索师：公式反映了两个实数平方和的性质，下面我们研究两个以上 的实数的平方和，探索可能得到的结果.先考查三个实数.设a、b、c R, 依次对其中的两个运用公式，有a

4、2 + b2> 2ab；b2+ c2> 2bc；c2 + a2> 2ca.把以上三式叠加，得a2 + b2 + c2> ab+ bc+ ca(当且仅当a=b=c时取“="号).以此类推：如果ai R, i=1 , 2, , , n,那么有(当且仅当 ai=a2=, =an时取“="号). 式是式的一种推广式，式就是式中n=2时的特殊情况.和式不必当作公式去记，但从它们的推导过程中可以学到一种处理两 项以上的和式问题的数学思想与方法一一迭代与叠加.3再探索师：考察两个以上实数的更高次幂的和，又能得到什么有趣的结果 呢？先考查两个实数的立方和由于a +

5、b'=(a+ b)(a? ab+ b?),启示我们把式变成a2 ab+ b2> ab,两边同乘以a+ b,为了得到同向不等式，这里要求a、b R+,得到a3 + b3> a2b+ ab2.考查三个正实数的立方和又具有什么性质呢？生：由式的推导方法，再增加一个正实数c,对b、c, c、a迭代 式，得到b3 + c3> b2c+ bc2,c3 + a3> c2a + ca2.三式叠加，并应用公式，得2(a3+ b3+ c3) > a(b2+ c2) + b(c2 + a2)+ c(a2 + b2)> a 2bc+ b 2ca+ c 2ab=6abc.a3

6、 + b3 + c33abc(当且仅当a=b=c时取“="号).师：这是课本中的不等式定理 2,即三个正实数的立方和不小于它 们的积的3倍.同学们可能想到n个正实数的立方和会有什么结果，进 一步还会想到4个正数的4次方的和会有什么结果，直至n个正数的n次方的和会有什么结果.这些问题留给同学们课外去研究.4.推论师：直接应用公式和可以得到两个重要的不等式.如果玄、b、cE R+f那么石、屈、Vc 6 R+,在公式中用箱替换辺，用拓 替换b立即得到(Va)3 + (Vb)3 >2品 * 7b.(当且仅当a=b时取“=”号).这就是课本中定理1的推论.在公式中用l/L Vb.坯分别替

7、换敢氐Cs可得(-/a)3 + (3/b)3 + (Vc)? >3K/a Vb * 蚯,a + b + c3Vabc*>Vabc（当且仅当a=b=c时取“=”号）这就是课本中定理 2的推论.当ai R+（i=1 , 2, , , n）时，有下面的推广公式（在中学不讲它的证（当且仅当 ai=a2=, =an时取“=”号）找们把幻+衍+孤叫做n个正数的算术平均数，把咻冋祗叫做"个正数的几何平均数式表明：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这是一个著名的平均数不等式定理.现在只要求同学掌握n=2、3时的两个公式，即和.三、小结（1）我们从公式出发，运用综合法，得到许多不等

8、式公式，其中要 求同学熟练掌握的是公式、它们之间的关系可图示如下:展开变形、升次迭代、叠疝（定理）配方降换 次元©龍论）屮（2）上述公式的证法不止综合法一种比如公式和，在课本上是 用比较法证明的又如公式也可以由推出；用还可以推出；由 、也可以推出、但是不论哪种推导系统，其理论基础都是实 数的平方是非负数.四个公式中，、是基础，最重要.它们还可以用几何法或三角 法证明.几何法：构造直角三角形 ABC，使/ C=90°,BC=a,AC=b（a、b R+）, 则a2 + b2=c2表示以斜边c为边的正方形的面积而2ab=4X 扫二4仏VAAAcB如上左图所示，显然有（当且仅当a=

9、b时取“=”号，这时RtA ABC等腰，如上右图）这 个图是我国古代数学家赵爽证明勾股定理时所用过的“勾股方圆图”， 同学们在初中已经见过.三角法：在 Rt ABC 中，令/ C=90°, AB=c , BC=a , AC=b , 则2 2 2 22ab=2 c sin A c sin B=2c sinAcos A=c sin A < c2 2=a + b (t si n2A < 1)（当且仅当sin2A=1 , A=45 °，即卩a=b时取“="号）.公式丁G麻也可以用几何法证明.它的几何意义是半径半眩 如下图所示.三、应用公式练习1 判断正误：下列

10、问题的解法对吗？为什么？如果不对请予以改正.笞；不对.因为tgd, ctgOf R,不符合不等式a + b>2/abj立的条件;a、b R+.若tg a、ctg a R+.解法就对了 .这时需令 a是第 三象限的角.(2)若舐 b E FC 则+ ab+b2 3/a2 * at b2 = 3ab-客 解法不对.因为不符合所用公式自+ b+Q跖区的条件.改正办法；改条件使 a、b R+ ；改变证法.a2 + ab+ b2>2ab+ ab=3ab.师：解题时，要根据题目的条件选用公式，特别注意公式中字母应 满足的条件只有公式、对任何实数都成立，公式、都要 求字母是正实数（事实上对非负实

11、数也成立）2.填空:(1)当 a时,an + a n当瓦时,当 x时，Ig2x+ 1>(4)当盂* zE22(5) tg a + ctg a (6) s in xcosx <；师：从上述解题中，我们可以看到：（1）对公式中的字母应作广义的 理解，可以代表数，也可以代表式子公式可以顺用，也可以逆用总 之要灵活运用公式.（2）上述题目中右边是常数的，说明左边的式子有最 大或最小值因此，在一定条件下应用重要不等式也可以求一些函数的 最大（小 ）值（3）重要不等式还可以用于数值估计如76=2><3<=表明任何自然数的算术平方根不大于该数加1之半.四、布置作业略教案说明1知

12、识容量问题这一节课安排的内容是比较多的，有些是补充内容这是我教重点 中学程度比较好的班级时的一份教案实践证明是可行的，效果也比较 好对于普通班级则应另当别论补充内容 （一般式，几何、三角证法等 ） 可以不讲，例题和练习也须压缩但讲完两个定理及其推论，实现教学 的基本要求仍是可以做到的还应看到学生接受知识的能力也非一成不 变的同是一节课，讲课重点突出，深入浅出，富有启发性，学生就有 可能举一反三、触类旁通，获取更多的知识知识容量增加了，并未增 加学生的负担从整个单元来看，由于压缩了讲课时间，相应的就增加 了课堂练习的时间反之，如果学生被动听讲，目标不清，不得要领， 内容讲得再少，学生也是难以接受

13、的由此可见，知识容量的多少，既 与学生的程度有关，与教学是否得法也很有关系我们应当尽可能采用 最优教法，扩大学生头脑中的信息容量，以求可能的最佳效果2教学目的问题近年来，随着教改的深入，教师在确定教学目的和要求时，开始追 求传授知识和培养能力并举的课堂教学效果在培养学生的能力方面， 不仅要求学生能够运用知识， 更重要的是通过自己的思考来获取知识 据 此，本节课确定如下的教学目的：一是在知识内容上要求学生掌握四个 公式；二是培养学生用综合法进行推理的能力当然，学生能力的形成 和发展，绝不是一节课所能“立竿见影”的它比掌握知识来得慢，它 是长期潜移默化的教学结果考虑到中学数学的基本知识，大量的是公

14、 式和定理，如能在每一个公式、定理的教学中，都重视把传授知识与开 拓思维、培养能力结合起来，天长日久，肯定会收到深远的效果3教材组织与教法选用问题实现上述教学目的，关键在于组织好教材，努力把传授知识与开拓 思维、培养能力结合起来教材中对定理 1 和定理 2 的安排，可能是为 了与前面讲的比较法和配方法相呼应但这容易使人感到这两个定理之 间没有什么内在联系，又似乎在应用定理时才能用综合法事实上，可 以用比较法证明两个数的平方和或三个数的立方和的不等式，但当n> 3,特别对 n 是奇数时，用比较法就困难了 （因为这时难以配方与分解因 式）因此不具有一般性而对综合法，学生在初中证几何题时已多次

15、用 过了 （只是课本上没有提到这个名称 ）现行课本中两个不等式定理及其推 论，是著名的平均值不等式：1 it rr(附 K-, i2,n)和它的等价形式当&>riain=2, 3时的特殊情况（当n=2时，a的取值有所变化）.在中学不讲 一般形式，只讲特殊情况是符合大纲要求的由于普遍性总是寓于特殊 性之中，因此，这两个特例应是一般式的基础.同时，这两个特例之间 应有紧密的联系，在推导方法上也应该与一般式的证明有共性.这就是 本教案的设计思想，因而改变了现行课本的证法.这里，我们用由定理1先推出一个辅助不等式a3 + b3> a2b+ ab2,然后经迭代、叠加，推出不等式333a + b + c > 3abc,这种方法具有一般性.事实上，引入一个一般的辅助不等式an 十 bn> an-i b+ abn-i （n > 1）,由迭代、叠加，再应用数学归纳法就