第四章厂商理论专题(一、二、三、四、五)

1、第四章 厂商理论专题本章第一节讨论齐次生产函数的性质，和欧拉定理与收入分配。第二节讨论不变替代弹性（constant-elasticity-of-substitution，缩写为CES）生产函数的性质。第三节分别对两种不同类型的生产，作了库恩塔克分析。第四节讨论了生产函数和成本函数的对偶性，以及谢泼德引理。第五节通过把利润导入企业家的效用函数，把厂商理论发展到了不确定价格和产出的情形。第六节描述了线性生产函数。第七节展开了线性规划的基本概念。第一节 齐次生产函数“规模报酬”描述产出对所有投入同比例变动的反应。如果产出以相同的比例增加，则规模报酬不变；如果产出以更大比例增加，则规模报酬递增；如果

2、产出以更小比例增加，则规模报酬递减。一些经济学家假定，当投入量较小时，生产函数展示出递增的规模报酬；然后经过一个规模报酬不变阶段；最后，当投入数量越来越大时，显示出递减的规模报酬。一，性质规模报酬可用齐次生产函数描绘：f(tx,tx)=tf(x, tx) （411）其中k是常数，t是任何正实数，则这个生产函数就是k次齐次的，表明两种投入随因子t增加，产出随因子t增加。k1，规模报酬递增；k=1，规模报酬不变，线性齐次；0k1，规模报酬递减。k次齐次函数的偏导数，是k-1次齐次函数： ，若生产函数一次齐次，即k1，则x 和x的边际产量是零次齐次的，当两种投入成比例变动时，它们保持不变。令t=1/

3、x，则：f(x,x) =f(,1)，f(x,x)=f (,1)边际产出MP（f1(tx1,tx2)、f2(tx1,tx2)）只取决于两种要素（x 和x）的比例。齐次生产函数的等产量线的边际技术替代率RTS取决于所用投入的比例，而非它们的绝对数量，所以它的扩张线是正象限里一条从原点出发的直射线。它把投入组合点与相等的RTS连接起来。二，位似生产函数位似生产函数：齐次生产函数的单调增函数。任何生产函数，只要它能表示成一个齐次函数的单调增函数，则称它为位似生产函数，并且有与它所基于的齐次函数相同的等产量线，虽然对应于每条等产量线的数量一般不同。三，柯布道格拉斯生产函数：最常用的齐次生产函数之一，是科

4、布道格拉斯生产函数：q= A （412） 其中，00上，这种生产函数严格正值递增拟凹。科布道格拉斯函数产生的扩张线是线性的。有约束的最优化的一阶条件要求=因此，扩张线是由隐函数给定： 它描述了在等产量线平面上从原点出发的一条直线。四，欧拉定理和分配欧拉定理：设为齐次函数，则。对t求导，得： 令t=1，则： （413）两边除以，得： ， 1f1x1/f， 2f2x2/f1和2分别为对于x1和 x2的弹性，即两个弹性之和等于齐次性的次数。假定生产函数是齐次生产函数，市场是完全竞争的，从而要素价格等于其边际生产力，则欧拉定理的经济含义是两种要素的收入份额之和等于产出的k倍。即： =若k=1，则：=q

5、 （414）即两种要素的收入份额之和等于产出。表明如果生产函数是一次齐次的，厂商付给每种投入的供给者以它的边际实物产量，则总产出应正好耗竭。由于这些条件只为一次齐次的生产函数所满足，所以，不能假定所有的生产函数都属于这种类型。如果齐次性的次数大于1，即规模报酬递增，总支出将超过产出；如果次数小于1，即规模报酬递减，总支出将小于产出。科布道格拉斯函数被用于边际生产力分配理论的经验检验。以变量q代表总产出，x和x分别代表劳动和资本的总投入。欧拉定理得到满足：代入（412），得：如果每种要素付以其边际产量，总产出分别以和的比例在劳动和资本之间分配。道格拉斯根据总时间序列数据估计了，并且把他的估算与总

6、产出的劳动份额进行了比较。 产品耗竭条件，相当于最大化长期利润等于零的条件。（414）两边同时乘以价格，得： 把利润最大化一阶条件和代入，得： （415）长期总支出等于长期总收益。根据边际生产力理论的假定，（415）引出了令人吃惊的结论，不管产品价格水平如何，长期利润等于零。 齐次生产函数的假定，对于边际生产力理论的产品耗竭条件，并非必要。只要1，利润最大化的一阶和二阶条件得到满足；2，企业家的最大利润等于零；则不论生产函数是否齐次，边际生产力理论的假设前提都能满足。竞争厂商的自由进入和退出，将使条件2得到满足。条件2要求：代入和（利润最大化一阶条件），再求q的解，得：这里没有运用欧拉定理，得

7、到了（414）的结果。 并且，在生产函数是一次齐次时，企业利润最大化的二阶条件将无法满足。这被称作不确定性问题。对（414）全微分，得：令且两边除以，再令且两边同除以，分别得到：第一个方程两边同减去且求的解，第二个方程两边同减去且求的解，得 （416）这样，如果根据边际报酬递减法则，和将是负数，则是正数。由（416），求生产函数的海赛行列式的值，得 这表明企业利润最大化的二阶条件不能得到满足。因为即便一次齐次生产函数是凹的，但是它不是严格凹的，它有线性子区域。尽管存在单个厂商的不确定性问题，一次齐次生产函数仍被常用，且很有意义。为此提出了许多假定。一个可能的假定是：即使部门内部的单个厂商没有一

8、次齐次生产函数，但整个部门仍拥有这种生产函数。 五，长期成本函数对于有凸性无差异曲线的齐次生产函数，可以建立包括所有投入变量的长期成本函数，设为生产一单位Q的最优投入组合。对应的生产成本是。由于齐次生产函数的扩张线是线性的，所以，全部最优投入组合可以写成。因此，生产函数和成本方程可以写成据第一个方程求t的解并代入第二个方程，则总成本函数是且有 一次齐次生产函数有不变的MC和TC以及线性长期总成本函数。当k1，MC始终是递减的。只有当齐次性的次数小于1时，MC递增的二阶条件才能满足。 设生产函数，是次的齐次函数：方程（351）给出了这类生产函数的长期成本函数。当时，科布道格拉斯生产函数的成本函数

9、是，其中， 第二节 CES生产函数属于CES类型的生产函数，有两个重要特性：（1）它是一次齐次的；（2）它有不变的替代弹性（见第四章第一节）。缺少一个或两个这些特性的生产函数，都不属于CES类型的。第三章第一节说明，生产函数有不变的单位替代弹性。因此，所有这种类型的生产函数都满足特性（2）。然而，对于科布-道格拉斯生产函数，只有当时，特性（1）才能满足。生产函数是一次齐次的，但是，它没有不变的替代弹性，因而不属于CES类型的函数。一，性质 前面的方法已经表明，CES类型的生产函数可以表达成这样的形式： （421）（5-7）其中，参数且。很容易证明（421）是一次齐次的：投入的边际产量： 在定义

10、域内，它们是正数。技术替代率是： （422）（5-8）当时，RTS递减，等产量曲线是凸的。这也证明，对于定义域，CES生产函数严格正值拟凹。把（416） 代人（3326）可得一次齐次生产函数替代弹性的表达式根据欧拉定理，得： （423）（5-9）根据（421）， 据此计算（423），得： （424）（5-10）可知参数是与不变替代弹性紧密关联。不等式，相当于。二，等产量线由CES函数而产生的凸等产量曲线的具体斜率，取决于的值。两个极限和三个中间情形，描述了可能的等产量线形状。情形1，。在极限上，替代不可能的，如果，则RTS（422）趋向于零；如果，则RTS（422）趋向于。等产量线的曲率趋向直

11、角。情形2，。（421）的等产量线可以写成： （425） (5-11)其中对于任何选定的q的正值，K是一个正的常数。（425）左边的任一项都不可能是负数。因此无一项能超过K。当时，。由于的值上存在一个上限K，所以不可能等于零。同理，也不可能为零。这样，等产量线既不可能中断，也不可能达到坐标轴。它趋近于和。情形3，。当时，CES生产函数变成科布道格拉斯函数。这一性质由（421）是不能直接看清楚的。这一性质只能用罗彼塔法则来确定。该法则表明，如果 ，且，则。对（421）两端求自然对数，得：当时，。取分子的导数，得：时，上式收敛于。同时。据罗彼塔法则，得：两边取消对数，得科布道格拉斯函数：情形4，。

12、（425）左边项的指数都是正数。等产量线将达到两个坐标轴。如果，则，如果，则。情形5，。在极限情形下，（425）左边两项的指数都为1。等产量线是直线。在这种极限情形下，投入是完全替代的。三，均衡条件CES生产函数（421）用起来很困难。可是它的RTS很简单，这是它能广泛运用的原因之一。根据（424）把代入（422），均衡时RTS等于投入价格比率，得：RTS从而 （426）（5-12）其中，。根据（426）能够证明，不变替代弹性也是投入使用比率对于投入价格比率的不变弹性。（426）表明，投入使用比率是投入价格比率的一个简单幂函数。由于它的对数是线性的，所以，参数和服从于由线性回归分析根据时间序列

13、数据所作的估计。如果和分别是劳动和资本，则（426）表明，随着工资资本租费比率的变动，特定物品的资本劳动比率如何变动。四，一般化的CES生产函数前面把CES生产函数规定为一次齐次的。在这里，要概述包含齐次性的任何次的生产函数。考虑生产函数 （427）（5-13）其定义域为，其中B，a, k都是正数。这个函数是k次齐次的：MP为 函数（427）可以表达成（421）的正单调变换。等产量线不会受这种变换影响。这样，（427）的RTS由（422）给定，替代弹性由（424）给定，有约束的成本最小化的一阶条件由（426）给定，如果k1，则（4-2-7）是严格凹的，利润最大化的一阶条件有意义。第三节 库恩塔

14、克条件库恩塔克条件对于厂商理论中各专题的广泛分析具有重要作用。设函数： y=f(x)库恩塔克条件：dy/dx0，x(dy/dx)=0，x0y yx x一、投入选择 假定企业家有包括两种投入的生产函数：其中，是企业家生产的的数量，是她在市场上按每单位美元的固定价格购买的数量。全部第二种投入的数量，都是以每单位美元的固定价格购买的。关于投入的企业家的生产函数是其中，是用于生产的第三种投入的数量。它的固定价格是，假定暗含。 利润最大化的相应的拉格朗日函数是：假定两个生产函数都是凹的，利润最大化的库恩-塔克条件为 （431）（5-14） 它要求五个变量都不是负数。 有三种可能的一般结果：（1）投入是购

15、买的，而不是生产的；（2）投入是产出的，而不是购买的；（3）投入既有生产的，也有购买的。实际的情形由的边际生产成本与它的边际产品的价值的比较来决定。根据（431）的第一个和第四个不等式得：同时，由第二个不等式得：如果投入是购买的，而不是生产的，即，则（431）的均衡关系式产生。如果投入是生产的，而不是购买的，即，则。最后，如果投入既生产又购买，则均衡边际生产成本等于投入的市场价格。二、分段性劳动合同至今为止一直假定企业家可以按固定价格购买所需要数量的投入，容易找到这种假设的反例。假定企业家根据合同可以按现行工资率w购买不超过单位的劳动。但如果要购买更多单位的劳动，就必须支付加班津贴。具体地说，

16、假定可以按1.5w（即一倍半工资率）再购买最多0.2的新增单位，以2w（即双倍工资率）再购买最多0.2的新增单位。令，和分别表示常规劳动、一倍半工资劳动、双倍工资劳动，则劳动需要受下列不等式约束： （432）（5-15）资本只是另一种投入，生产由凹性生产函数决定。在这种情形下，拉格朗日函数是：（433）（5-16）其中，和分别是固定的产出价格和资本价格。库恩-塔克条件为： 要求七个变量都不是负数。回想，其中，表示最优值，则这些变量可以解释为三种劳动中每种劳动的影子利润，劳动的MP超过付给劳动的工资的数量。依据参数值，有下列七种可能情形：1 2 3 4 5 6 7 企业家尽力使劳动的MP等于相应

17、工资率。在情形1，没有任何合意的生产。三种工资率之一出现在情形2，4和6。在情形3和5中，劳动的MP的最优值处于两种工资率之间；在情形7中，所有的劳动都被利用，劳动的MP的最优值可能超过双倍劳动工资。第四节 生产中的对偶性在第三章第四节中，进行了对偶性分析。经过稍微修正，这种分析可运用于成本约束下的厂商的产出最大化。然而对于厂商来说，产出约束下的成本最小化是一个更有趣的问题，厂商对偶性的焦点就是这个问题。厂商的重要对偶性，存在于生产函数和成本函数之间。在第四章第四节里，讨论了根据生产函数而推导出来的成本函数的导数。这里将考虑由成本函数推导出来的生产函数的导数。考虑规定厂商的等产量线和这种产出下

18、成本最小化的一阶条件：。为得投入函数解这些方程，则 （441）（5-17）其中，和是成本最小的两种投入，它们是投入价格比率和规定产出水平的函数。现在对成本方程微分，给定（441）和一阶条件，则 （442） (5-18)其中，是有约束的成本最小化问题中的拉格朗日乘数。括号里的项沿等产量线等于。方程（442）就是著名的谢泼德引理（Shephards lemma）。成本函数（351）对于投入价格的偏导数，等于投入的成本最小值。 （443）（5-19）由于可变成本函数在投入价格上是一次齐次的，所以其偏导数在投入价格上是零次齐次的，且决定于投入价格比率，而不是绝对投入价格。在相应的条件下，（443）的两

19、个方程可以求出两个变量和的解，而的解规定基本（underlying）生产函数。不过在实践上，求解（443）可能非常困难。典型的对偶性定理表明，（1）给定特定的正则性（regularity）条件，则凹生产函数产生关于投入价格的一次齐次成本函数；（2）给定特定的正则性条件，则关于投入价格的一次齐次成本函数产生凹生产函数；（3）由具体的生产函数而推导出来的成本函数，反过来将产生生产函数。作为一个例子，考虑成本函数（352），其中。它产生于生产函数。在此情形下，方程（443）为根据这些方程求解q最容易不过。第一个方程两边同增加到次幂，第二个方程两边同增加到次幂，再两个相乘。这将产生生产函数。第五节 不确定情形下的生产第二章第八节和第九节的期望效用分析，可用于不确定情况下的厂商。假定生产者有一个效用函数，其中利润是自变量，而且它遵从冯纽曼摩根斯顿公理。这一节提出两个例子。第一个例子中产出确定，价格处于不确定性之中；第二个例子里价格确定，产出处于不确定之中。一、假定产出价格可能分别以的概率实现n种不同的价格之一，。厂商的期望利润：令产出的导数为零，则： （451）（5-20）是价格期望值。为了最大化期望利润，企业家将使期望价格等于边际成本，不确定性的导入，对分析没有太大影响