必修四培优讲义-教师版

1、精选优质文档-倾情为你奉上第一章 三角函数1任意角：2角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角第一象限角的集合为；第二象限角的集合为；第三象限角的集合为；第四象限角的集合为；终边在轴上的角的集合为；终边在轴上的角的集合为；终边在坐标轴上的角的集合为.3.由角所在象限判断所在象限：、4与角终边相同的角的集合为5长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做弧度6半径为的圆的圆心角所对弧的长为，则角的弧度数的绝对值是7弧度制与角度制的换算公式：，8若扇形的圆心角为，半径为，弧长为，周长为，面积为，则(1)弧长公式：=(为圆心角的角度数)；(2) 扇形的周长：；(3)扇

2、形的面积公式：9.特殊角的三角函数值：度弧度0010-1010-10101不存在-10不存在010.设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是，它与原点的距离是，则，； ；. Pvx y A O M T 11.三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦. 12三角函数线：，正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT.13.三角函数间的基本关系：(1)平方关系： (2)商数关系： (3)乘积关系: 14.三角函数的诱导公式：公式一公式八：记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限1、公式一公式四：记忆口诀：函

3、数名称不变，符号看象限诱导公式一： ，诱导公式二：，诱导公式三：，诱导公式四：，2、公式五公式八：记忆口诀：正弦与余弦互换，符号看象限诱导公式五：，诱导公式六：，诱导公式七： ，.诱导公式八： ，.15(1)的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象(2)函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有

4、点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象16函数的性质：振幅：；周期：；频率：；相位：；初相：函数，当时，取得最小值为 ；当时，取得最大值为，则，17正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：函数性质 图象定义域值域最值当时，；当 时，当时， ；当时，既无最大值也无最小值周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在上是增函数；在上是减函数在上是增函数；在上是减函数在上是增函数对称性对称中心对称轴对称中心对称轴对称中心无对称轴第二章 平面向量18向量：既有大小，又有方向的量 数量：只有大小，没有方向的量有向线段的三要素：起点、方向、长度 零向量：长度为的向量单位向量：长度等于个单

5、位的向量平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量零向量与任一向量平行相等向量：长度相等且方向相同的向量19向量加法运算：三角形法则的特点：首尾相连，首尾连平行四边形法则的特点：作平移，共起点，连对角 三角形不等式：运算性质：交换律：；结合律：；坐标运算：设，则20向量减法运算：三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量坐标运算：设，则设、两点的坐标分别为，则21向量数乘运算：实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作；当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时运算律：；坐标运算：设，则22向量共线定理：向量与共线，当且仅当有唯一 一个实数，使设，其中，则当且

6、仅当时，向量、共线23.平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个 不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使（不共线的向量、作为这一平面内所有向量的一组基底）24.(1)定比分点坐标公式：设点是线段上的一点，、的坐标分别是，当时，点的坐标是（当时，就是中点坐标公式）(2)中点坐标公式：，即点的坐标为.25.重心坐标公式设，则ABC的重心坐标.26.平面向量的数量积：零向量与任一向量的数量积为性质：设和都是非零向量，则当与同向时，；当与反向时，；或运算律：；坐标运算：设两个非零向量，则若，则，或 设，则设、都是非零向量，是与的夹角，则第三章 三角恒等变换27. 两角和或差

7、的公式：(1)；(2)；(3) （）；(4) （）（5）cot(A+B) = cot(A-B) =28.两角的和差化积和积化和差公式（1）和差化积公式：（2）积化和差公式：29.二倍角公式： 升幂公式:降幂公式:， （4）三倍角公式 1. sin3A = 3sinA-4(sinA)3 2.cos3A = 4(cosA)3-3cosA3.tan3a = tana·tan(+a)·tan(-a)30.万能公式：; ; tana=31.半角公式：;. （后两个不用判断符号，更加好用）32.辅助角公式：，asinbcoscos（）其中 (合一变形把两个三角函数的和或差化为“一个三角

8、函数，一个角，一次方”的 形式.)33. 解三角形1.正弦定理：及其变形公式有：（1）；（2）；（3）等2.余弦定理： 及其变形：等；三角形面积公式：第一讲 任意象限角与弧度制典型例题【例1】角的终边为射线，求2sin+cos的值。【例2】已知一扇形的中心角是，所在圆的半径是.（1）若，求角所对的扇形的弧长及弧所在的弓形面积；（2）若扇形的周长是一定值，当为多少弧度时，该扇形有最大面积？【例3】若为第三象限角，求、所在象限，并在平面直角坐标系表示出来【例4】已知，证明。 随堂练习题1、已知集合第一象限角，锐角，小于的角，则下列关系正确的是（ ） . 、已知角，在区间内找出所有与角有相同终边的角

9、_.3、的值( ) 小于 大于 等于 不存在4、若，则( ) D 5、若为第一象限角，那么能确定为正值的是( ) cos2 6、集合，则( ) 7、若、为第三象限角，且，则（ ）（A）（B）（C）（D）以上都不对8、函数的值域是_。9、角的终边上有一点，实数，则的值是_。10、某一时钟分针长，将时间拨慢分钟，分针扫过的图形的面积为_。11、_。 12、若 角满足，且，则为第_象限角。13、函数的定义域是_。14、已知角的终边经过点，若，则实数的取值范围是_。15、已知集合，_。16、已知角的终边上一点，且，则tan_。17、给出下列四个命题：（1）若，则；（2）若，则；（3）若，则是第一或第二

10、象限角；（4）若是第一或第二象限角，则这四个命题中，错误的命题有_。18、 已知，求的值及相应的取值范围。第二讲三角函数诱导公式及化简求值例1求下列三角函数值： （1）cos210º； (2)sin例2求下列各式的值： （1）sin()； (2)cos(60º)sin(210º)例3化简 例4已知cos(+)=，<<2，则sin(2)的值是（ ）(A)(B) (C)(D)±例5、求证： 例6 例7 随堂练习题 1.在直角坐标系中，若角与终边互为反向延长线，与之间的关系是（ ）A B C D2.圆内一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角是（ ）

11、A等于1弧度 B大于1弧度 C小于1弧度 D无法判断3. 角的终边上有一点P(a，a)，aR，且a0，则sin的值是()AB-C±D14. 是第二象限角，其终边上一点P（x，），且cosx，则sin的值为（）ABCD5.设角是第二象限角，且|cos|cos，则角是（）A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角6. 已知，则等于（）AB CD7. 函数的值域是（）A0，2 B2，0C2，0，2D2，28. 化简的结果是（ ）A、 B、 C、 D、9. 若，则等于（ ）A、1 B、2 C、-1 D、-210. 若A、B、C为ABC的三个内角，则下列等式成立的是（ ）AB C D 1

12、1. 若，则的值是（ ）A、 B、 C、 D、12. 若、是关于的方程的两个实根，则值为（ ）A、 B、 C、 D、13. 定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数.若f（x）的最小正周期是，且当x0，时，f（x）=sinx，则f（）的值为( ) A. B. C. D.14. 函数的单调递增区间为 ( ) A BC D15. 下列说法不正确的是 ( ) A正弦函数、余弦函数的定义域是R，值域是-1，1；B余弦函数当且仅当x=2k( kZ) 时，取得最大值1； C余弦函数在2k+,2k+( kZ)上都是减函数； D余弦函数在2k-,2k( kZ)上都是减函数16. 若a=sin460,b=

13、cos460,c=tan360，则a、b、c的大小关系是( )A c> a > b B. a > b> c C. a >c> b D. b> c> a18. 若是第四象限角，则是 （ ）A 第一象限 B.第二象限 C. 第三象限期 D.第四象限19.若，则的值为 .20. sintan= _21.若是第二象限的角，则是第 象限的角。22.若角的终边与角的终边相同，则在上终边与的角终边相同的角为 ；23.终边在轴上的角的集合为 ，终边在轴上的角的集合为 ，终边在坐标轴上的角的集合为 。24. 已知，若，求的值。25. 已知，求的值.26. 已知：，

14、求和的值。27. 若cos ，是第四象限角，求第三讲三角函数的定义域与值域二、典例讲解【例题1】求下列函数的定义域（1）； （2）.【例题2】求下列函数的定义域（1）； （2）【例题3】求下列函数的值域（1）； （2）；（3）； （4）；【例题4】求下列函数的值域（1）； （2）.【例题5】求函数的值域.课堂练习题1、在坐标系中，分别画出满足不等式的角x的区域，并写出不等式的解集：（1）_. （2）_.（3）_. （4）_.2、（1）的定义域为_. （2）的定义域为_.3、4、的值域为_，的值域为_.5、当从小到大排列为_.1、若所在的象限是（ ）A第二象限B第四象限C第二象限或第四象限 D第

15、一或第三象限2、若为锐角，则的取值范围是（ ）ABCD3、在第三、四象限，的取值范围是（ ）A（1，0）B（1,）C（1,）D（1，1）4、函数的值域是（ ）A2，2B1，1C0，2D0，15、（1）已知的定义域为_.（2）设的定义域为_.6、的值域为_，的值域为_， 的值域为_.7、求下列函数的定义域（1）（2）8、求下列函数的定义域（1）（2）9、求下列函数的值域 （1）（2）10、求下列函数的值域 （1）（2）11、求下列函数的值域 （1）（2）12、求1、若，求的取值范围。2、 设、为锐角，且+，讨论函数的最值。第四讲 三角函数的图像与性质1函数最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位

16、是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。2由ysinx的图象变换出ysin(x)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。3由yAsin(x)的图象求其函数式： 4五点法作y=Asin（x+）的简图：典例解析 例1（2013全国，5）函数yxcosx的部分图象是（ ）例2试述如何由y=sin（2x+）的图象得到y=sinx的图象。例3（2009上海春，15）把曲线ycosx+2y1=0先沿x轴向右平移个单位，再沿y轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是（ ）A（1y）sinx+2y3=0 B（y1）sinx+2y3=0 C（y+1）s

17、inx+2y+1=0 D(y+1)sinx+2y+1=0例4（2003上海春，18）已知函数f（x）=Asin（x+）（A>0，>0，xR）在一个周期内的图象如图所示，求直线y=与函数f（x）图象的所有交点的坐标。例5（1）已知f（x）的定义域为0，1，求f（cosx）的定义域；（2）求函数y=lgsin（cosx）的定义域；例6求下列函数的单调区间：（1）y=sin（）；（2）y=sin（x+）。例7关于x的函数f（x）=sin（x+）有以下命题：对任意的，f（x）都是非奇非偶函数；不存在，使f（x）既是奇函数，又是偶函数；存在，使f（x）是奇函数；对任意的，f（x）都不是偶函数

18、。其中一个假命题的序号是 . 例8设的周期，最大值，（1）求、的值；（2）。例9函数y的最大值是（ ）A1 B1 C1 D1随堂练习题1、的最小正周期是 、对称轴是 、单调递增区间是 、单调递减区间是；振幅是 、相位是 、初相是 。用五点法作出该函数的图象。并说明该函数怎样由变化而来。2、求的单调递减区间。3、比较大小j；k4、求的最大值、最小值及对应的x的取值范围。5、求的最值及对应的x的取值。6、若的最大值是，最小值是，求的值。7、为了得到的图象，只须将的图象向平移个单位。8、若，在其一个周期内的图象上有一个最高点和一个最低点，求这个函数的解析式。10、求的值域第五讲 三角函数的图像平移及

19、周期性例1、（北京）若角的终边经过点P(1,-2),则tan 2的值为.例2、(天津)把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ）ABCD例3、（重庆理数）已知函数的部分图象如题（6）图所示，则（ ）A.=1 = B. =1 =- C. =2 = D. =2 = -例4、（福建理数）已知函数和的图象的对称轴完全相同。若，则的取值范围是 例5、（广东题）已知函数 的图象在y轴上的截距为1，它在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为，（）求函数的解析式；（）求函数的单调递增区间随堂练习题1、若点P在的终边上

20、，且OP=2，则点P的坐标（ ）ABDC2、（陕西理）对于函数，下列选项中正确的是 （ ） （A）f（x）在（，）上是递增的 （B）的图像关于原点对称 （C）的最小正周期为2 （D）的最大值为23、（全国卷2）为了得到函数的图像，只需把函数的图像（ ） A.向左平移个长度单位 B.向右平移个长度单位C.向左平移个长度单位 D.向右平移个长度单位4、函数的图象的一条对称轴方程是 （ ） AB C D 5、函数为增函数的区间是（ ）A B CD6、（海南宁夏卷）函数的最小值和最大值分别为（ ）A. 3，1B. 2，2C. 3，D. 2，7、函数以2为最小正周期，且能在时取得最大值，则的一个值是 （

21、 ）A B C D8、（全国卷理）若动直线与函数和的图像分别交于两点，则的最大值为（ ） A1 BC D2 9、函数的部分图象如图，则 的值分别为 。10、（湖南卷理6）函数在区间上的最大值是 。 11、函数有意义，则x的取值范围为 。12、函数 （）以2为最小正周期，且能在时取得最大值，则的值是 。 13、（辽宁卷理16）已知，且在区间有最小值，无最大值，则_。 14、（陕西卷理17）已知函数（）求函数的最小正周期及最值；（）令，判断函数的奇偶性，并说明理由。第六讲 三角函数单调性及求最值问题一、 基础知识：求三角函数最值的常用方法： 通过适当的三角变换，把所求的三角式化为的形式，再利用正弦

22、函数的有界性求其最值。 把所求的问题转化为给定区间上的二次函数的最值问题。 对于某些分式型的含三角函数的式子的最值问题（如）可利用正弦函数的有界性 利用函数的单调性求。例1已知函数是以5为最小正周期的奇函数，且，则对锐角，当时，_例1：例2已知则的最大值是_例2： 2例3函数取最小值的的集合为_例3：例4函数的最大值和最小值的和为_.例4：例5函数的最大值为_例5：1例6函数的最大值是_例6：例7函数有最大值2，最小值，求的最小正周期。例7：例8已知函数的定义域是，值域是，求的值。例8：或例9已知函数的图象关于直线对称，求的值。例9：例10已知是常数，且的最小正周期为2，并且当时，取最大值为2

23、。 （1）求表达式； （2）在区间上是否存在的图象的对称轴？若存在，求出其方程；若不存在，说明理由。例10：（1） （2）的对方程为，由 故存在。例11已知函数是R上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求的值。例11：03高考天津卷例12已知定义在区间上的函数的图象关于直线xyo···-1对称，当时，函数，其图象如图所示.（1）求函数在的表达式；（2）求方程的解. 参考答案：例12：（1）当时，当时随堂训练：1有四个函数，其中周期为，且在上是增函数的函数个数是（ ） 2设函数（为实常数）在区间上的最小值是,则的值是（ ） 3的图像中一条对称

24、轴方程是（ ）4定义在R上的偶函数f(x)满足f(x) = f (x+2)，当x3，4时，f(x) = x2，则（ ）Af (sin) < f (cos) Bf (sin) > f (cos) Cf (sin1) < f (cos1) Df (sin) > f (cos)5将函数y=f(x)sinx的图象向右平移个单位后，再作关于x轴对称的曲线，得到函数 y=12sin2x, 则f(x)是 （ ） Acosx B2cosxCsinxD2sinx 6曲线和直线在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依 次记为P1，P2，P3，则|P2P4|等于 （ ） A B2 C3 D47设，

25、恒有成立，且，则实数m的值为 A B C1或3 D3或18使函数是奇函数，且在上是减函数的的一个值是_9已知函数的最大值为，其最小正周期为。（）求实数a与的值。（）写出曲线的对称轴方程及其对称中心的坐标。强化练习：1 C 2 C 3 C 4 C 5 B 6. A 7. D 8. 9. （1） 。y的最小正周期T=。 =1。， a=1。（2）由（）知a=1，=1，。曲线y=f(x)的对称轴方程为。对称中心的坐标为。高一年段数学培优教材第五讲 平面向量（1）二、 基础知识：1向量的运算： 加法：设则 减法：设则 实数与向量的积： 向量与的关系； 设则 向量的数量积： 是与的夹角）； 设则2向量的关

26、系： 不等关系： （注意等号的条件） 设 则 3平面向量的基本定理：如果是同一平面内的不共线向量，那么对于这个平面内的任一向量，有且只有一对实数，使。 相关结论：如果是同一平面内的不共线向量，且，则 点O、A、B、C在同一平面内，A、B、C共线的充要条件是：4常用公式： 中，M为BC边的中点，G为重心， 则三、 综合应用：例1：求证：三角形的三条中线交于一点。例2：设外心为O，取点M，使，求证M是的垂心，且此三角形的外心、垂心、重心在一条直线上。例3：在三角形ABC中，点M分所成的比为2，点N分所成的比为，设线段CM和BN交于点P，直线AP和BC的交点为Q，且，用表示例4：已知O为内一点，设且

27、，试用表示。例5：（1）已知三个顶点A、B、C及平面内一点P，若，则点P在（ ）A 内部 B 外部 C 在直线AB上 D 在直线AC上（2）O是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足 则P的轨迹一定通过ABC的（ ）A外心B内心C重心D垂心（3）在四边形ABCD中，设，若，则该四边形一定是（ ） A 矩形 B 正方形 C 菱形 D等腰梯形三、强化训练：1 已知A、B、C三点在同一直线上，O在直线外，且存在实数，使成立，求点C分所成的比及的值。2 若P分有向线段所成的比为，则有。3 已知，当为何值时：（1）与平行？平行时是否同向？（2）与垂直？4如图，在平行四边形ABCD中

28、,设以为基底表示5 设O为内一点，且满足，求6中，M是AB的中点，E是CM的中点，延长AE交BC于F，作MHAF，求证：BH= HF =FC。7如图，在平面斜坐标系，平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若，其中分别为与x轴y轴同方向的单位向量，则p点斜坐标为.若p点斜坐标为（2，2），求p到O的距离|PO|；8已知向量的对应关系用表示。（1）证明：对任意向量及常数，恒有成立； （2）设，求向量的 坐标。 （3）求使为常数)的向量的坐标。参考答案：例1：略例2：三点共线。说明：外心为O，取点M，使成立的充要条件是 M为的垂心ABCO例3：例4： 如图建立直角坐标系： 设 例5：（1）

29、D （2）B （3）A 强化练习：1 2略3（1）反向          （2）45 367（2）     （3）高一年段数学培优教材第六讲 平面向量（2）例1：（1）点P是的外心，且，则角C的大小为_（2）在中，其中G为的重心，则的形状是_（3）设的外心为O，H是它的垂心，求证：（4）已知O为所在平面内的一点，且满足，求证：点O是的垂心。（5）O为所在平面内的一点，则O为的垂心的充要条件是：例2：已知向量，且与之间有关系式：，其中k0 （1）证

30、明： ；（2）试用k表示 例3：已知平面上的三个向量的模均为，它们相互之间的夹角都是，（1） 求证：（2）若，求的取值范围。例4：已知向量，存在实数，使得向量且，（1）试将表示为得函数；（2）求得最小值。例5已知向量 （1）向量是否共线？（2）求函数的最大值。例6：在RtABC中，已知， BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问的夹角取何值时的值最大？并求出这个最大值.强化训练：1已知满足，则的形状是（ ）A 等边三角形 B 锐角三角形 C 直角三角形 D 钝角三角形2已知为非零的平面向量. 甲：甲是乙的（ ）条件A充分条件但不是必要 B必要条件但不是充分 C充要条件 D既非充分也非必要

31、3已知平面上直线l的方向向量点O（0，0）和A（1，2）在l上的射影分别是和，则，其中= （ ）A BC2 D24已知是夹角为的两个单位向量，则的夹角为_5如果向量与 的夹角为，那么我们称为向量与的“向量积”，是一个向量，它的长度，如果，则_6对于个向量，若存在个不全为零的实数，使得成立，则称向量是“线性相关”的。按此规定，能说明“线性相关”的实数的一组取值为_7设向量 _8已知向量，向量与的夹角为，且，则=_9在内求一点P，使的值最小。10已知，是否存在实数，使与的夹角为锐角？说明你的理由。11 已知向量. （1）求的值； （2）若的值12 已知向量.（1）求函数的最小正周期； （2）求函数

32、的单调减区间；（3）画出函数的图象，由图象研究并写出的对称轴和对称中心.参考答案例1：（1） （2） 等边三角形 （3） 如图，联结BO并延长交三角形外接圆于点D，则 为（4） 略 （5）略例2：（1） （2）例3：（2）例4：（1）  （2），当时取最小值例5：（1）共线 ； （2）；例6：04湖北高考题，所以当时，取最大值0强化练习：1 C 2 B 3 D 4 5 6 7 8 或9设，则所以当时取最小，易证此时点P为三角形ABC的重心。1011（1） （2） 12解： （1）（2） x0y02020（3）从图象上可以直观看出，此函数有一个对称中心（），无对称轴第二章 平面向量|。

33、二、基础例题【必会】1向量定义和运算法则的运用例1 设O是正n边形A1A2An的中心，求证：【证明】 记，若，则将正n边形绕中心O旋转后与原正n边形重合，所以不变，这不可能，所以例2 给定ABC，求证：G是ABC重心的充要条件是【证明】必要性。如图所示，设各边中点分别为D，E，F，延长AD至P，使DP=GD，则又因为BC与GP互相平分，所以BPCG为平行四边形，所以BGPC，所以所以充分性。若，延长AG交BC于D，使GP=AG，连结CP，则因为，则，所以GBCP，所以AG平分BC。同理BG平分CA。所以G为重心。例3 在凸四边形ABCD中，P和Q分别为对角线BD和AC的中点，求证：AB2+BC

34、2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2。【证明】 如图所示，结结BQ，QD。因为，所以=·= 又因为同理 ， ， 由，可得。得证。 2证利用定理证明共线例4 ABC外心为O，垂心为H，重心为G。求证：O，G，H为共线，且OG：GH=1：【证明】 首先=其次设BO交外接圆于另一点E，则连结CE后得CE又AHBC，所以AH/CE。又EAAB，CHAB，所以AHCE为平行四边形。所以所以，所以，所以与共线，所以O，G，H共线。所以OG：GH=1：2。3利用数量积证明垂直例5 给定非零向量a, b. 求证：|a+b|=|a-b|的充要条件是ab.【证明】|a+b|=|a-b|(a+b)

35、2=(a-b)2a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2a·b=0ab.例6 已知ABC内接于O，AB=AC，D为AB中点，E为ACD重心。求证：OECD。【证明】 设，则，又，所以a·(b-c). （因为|a|2=|b|2=|c|2=|OH|2）又因为AB=AC，OB=OC，所以OA为BC的中垂线。所以a·(b-c)=0. 所以OECD。4向量的坐标运算例7 已知四边形ABCD是正方形，BE/AC，AC=CE，EC的延长线交BA的延长线于点F，求证：AF=AE。【证明】 如图所示，以CD所在的直线为x轴，以C为原点建立直角坐标系，设正方形边

36、长为1，则A，B坐标分别为（-1，1）和（0，1），设E点的坐标为（x, y），则=(x, y-1), ，因为，所以-x-(y-1)=0.又因为，所以x2+y2=2.由，解得所以设，则。由和共线得所以，即F，所以=4+，所以AF=AE。三、趋近高考【必懂】1.（2011.湖南卷14）在边长为1的正三角形中，设，则。【解析】：由题，所以。2.（2011.江苏卷10）已知是夹角为的两个单位向量， 若，则k的值为【解析】：由得：k=23.（2011.广东卷3）若向量满足且，则A4 B3 C2 D0解析：依题意得，则 故选D4.（2011.四川卷4）如图，正六边形ABCDEF中，=(A)0 (B) (

37、C) (D)答案D【解析】：5.（成都市2010届高三第三次诊断理科）已知向量a(3,2),b(2,1),则|a2 b|的值为( )(A)3(B)7 (C) (D)【答案】C【解析】因为a2 b(1,4) 故|a2 b|6. (绵阳市2010年4月高三三诊理科试题)已知向量a、b不共线，若向量a+b与b+a的方向相反，则=（ C ）（A）1（B）0 （C）-1 （D）±1 7（雅安市2010届高三第三次诊断性考试理科）已知为非零向量，函数，则使的图象为关于轴对称的抛物线的一个必要不充分条件是( C ) w_w w. k#s5_u.c o*mABCD8（资阳市20092010学年度高三

38、第三次高考模拟理）已知平面直角坐标系内的点A(1，1)，B(2，4)，C(1，3)，则 （ B ）（A）（B）（C）8（D）109（泸州市2010届高三第二次教学质量诊断性考试理科）如图：正六边形中，下列命题错误的是（ C ）A B C D10.（四川省攀枝花市2010年4月高三第二次统考文科试题）已知，则向量与向量的夹角是（ C ）A. B. C. D. 11(成都市石室中学2010届高三三诊模拟理科)已知是非零向量且满足，则的夹角是（ A ）w_w w. k#s5_u.c o*mABCD13.（眉山市2010年4月高三第二次诊断性考试理科）设是平面内的四个单位向量，其中与的夹角为，对这个平

39、面内的任一个向量，规定经过一次“斜二测变换”得到向量，设向量，则经过一次“斜二测变换”得到向量的模是_.14（省泸州市2010届高三第二次教学质量诊断性考试理科）已知向量， ，则 5 .11（泸州市2010届高三第二次教学质量诊断性考试文科）已知向量，若与垂直，则 2 .15.（四川省攀枝花市2010年4月高三第二次统考文科试题）已知点和向量，若，则点的坐标为. 高一年段数学培优教材第三讲 三角恒等变换四、 基础知识：1 三角的恒等变化：要注意公式间的内在联系和特点，审题时要善于观察差异，寻找联系，实现转化；要熟悉公式的正用和、逆用和变形应用。化简三角函数式可以采用“切化弦”来减少函数种类，采

40、用“配方法”和“降次公式”来逐步降低各项次数，并设法去分母、去根号、利用特殊值来向目标靠拢。 2 常见的变形公式： 3 通过对角的变换推出万能公式和半角公式以及和差与积的互化公式。如常见的角的拆并有等五、 综合应用：例1：已知角的终边上一点，则的弧度数为_ 已知，则_ 函数的最大值是_ 化简_例2：已知，求的取值范围。例3：求的值。例4：已知其中是适合的常数，试问取何值时，的值恒为定值？例5：求值：例6：已知；（1）求证：；（2）求的最大值，并求当取得最大值时的值。例7：已知，且，求证：例8：已知当时，不等式恒成立，求的取值范围。六、 强化练习：1.若角满足条件，则在（ ）A 第一象限 B 第

41、二象限 C 第三象限 D 第四象限2.以下命题正确的是( )（A）都是第一象限角，若，则 （B）都是第二象限角，若，则 （C）都是第三象限角，若，则 （D）都是第四象限角，若，则3.若，则等于 （A） （B） （C） （D）4.在（0，）内，使成立的的取值范围是 （A）（，） （B）（，） （C）（，） （D）（，）5.设是一个钝角三角形的两个锐角，则下列四个不等式中不正确的是 （A） （B） （C） （D）6.已知，则的值为( ) A0 B1 C. D以上都不对7.在ABC中，已知A、B、C成等差数列，则_8.已知点P(，tan)在第一象限，则在0，2)内的取值范围是_9.的值为 10.已知

42、，求的值。11.已知cos(-)=,sin(-)= ,0,求cos(+)之值.12.求值：13.是否存在锐角，使得；同时成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由。参考答案：例1：; ; ; 例2：法1：法2：例3：多种方法。（构造对偶式）设例4：恒为定值，考虑到（提示：本题也可以用赋值法：令）例5：1 （本题要总结公式 例6：（2）例7：例8：令则，令则 故原不等式化为强化练习： 1. B 2. D 3. C 4. C 5. D 6. A 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 存在四、课后巩固：1.【高考安徽文7】要得到函数的图象，只要将函数的图象( )（A） 向左平移1个单位

43、（B） 向右平移1个单位（C） 向左平移 个单位 （D） 向右平移个单位2.【高考新课标文9】已知>0，直线和是函数f(x)=sin(x+)图像的两条相邻的对称轴，则=( )（A） （B） （C） （D）3.高考山东文8】函数的最大值与最小值之和为( ) (A)(B)0(C)1(D)4.【高考全国文3】若函数是偶函数，则( )（A） （B） （C） （D）5.【高考全国文4】已知为第二象限角，则( )（A） （B） （C） （D） 6.【高考重庆文5】( )（A）（B）（C） （D）7.【高考辽宁文6】已知，(0，)，则=( )(A) 1 (B) (C) (D) 18.【高考江西文9】已知若a=f（lg5），则( )A.a+b=0 B.a-b=0 C.a+b=1 D.a-b=19.【高考全国文15】当函数取得最大值时，_. 10.【高考江苏11】设为锐角，若，则的值为