第二章机器人原理

1、机器人技术数学基础机器人技术数学基础Mathematic Preparation for Robotics2.1 2.1 位置和姿态的表示位置和姿态的表示2.2 2.2 坐标变换坐标变换2.3 2.3 齐次坐标变换齐次坐标变换2.4 2.4 物体的变换及逆变换物体的变换及逆变换2.5 2.5 通用旋转变换通用旋转变换Robotics 数学基础数学基础2.1 2.1 位置和姿态的表示位置和姿态的表示1.位置描述 在直角坐标系A中,空间任意一点p的位置(Position)可用3x1列向量(位置矢量)表示:2.方位描述 空间物体B的方位(Orientation)可由某个固接于此物体的坐标系B的三个单

2、位主矢量xB,yB,zB相对于参考坐标系A的方向余弦组成的3x3矩阵描述. TzyxApppPRobotics 数学基础数学基础2.1 2.1 位置和姿态的表示位置和姿态的表示 上述矩阵称为旋转矩阵,它是正交的.即 若坐标系B可由坐标系A,通过绕A的某一坐标轴获得,则绕x,y,z三轴的旋转矩阵分别为10000),(00100),(00001),(cssczcsscycsscxRRR11BBRABTABAB333231232221131211rrrrrrrrrABRRobotics 数学基础数学基础2.1 2.1 位置和姿态的表示位置和姿态的表示 这些旋转变换可以通过右图推导这是绕Z轴的旋转.

3、其它两轴只要把坐标次序调换可得上页结果.pBpApBpBpApBpBpAzzyxyyxxcossinsincospBpBpBpApApAzyxzyx1000cossin0sincosRobotics 数学基础数学基础2.1 2.1 位置和姿态的表示位置和姿态的表示旋转矩阵的几何意义:1) 可以表示固定于刚体上的坐标系B对参考坐标系的姿态矩阵.2) 可作为坐标变换矩阵.它使得坐标系B中的点的坐标 变换成A中点的坐标 .3) 可作为算子,将B中的矢量或物体变换到A中.RABRABpBpARABRobotics 数学基础数学基础2.1 2.1 位置和姿态的表示位置和姿态的表示3.位姿描述 刚体位姿(

4、即位置和姿态),用刚体的方位矩阵和方位参考坐标的原点位置矢量表示，即 0BAABpRB Robotics 数学基础数学基础2.2 2.2 坐标变换坐标变换平移坐标变换平移坐标变换 坐标系A和B具有相同的方位,但原点不重合.则点P在两个坐标系中的位置 矢 量 满 足 下 式 :0BABAPPPRobotics 数学基础数学基础2.2 2.2 坐标变换坐标变换2.2.旋转变换旋转变换 坐标系A和B有相同的原点但方位不同,则点P的在两个坐标系中的位置矢量有如下关系:PRPBABATABABBARRR1Robotics 数学基础数学基础2.2 2.2 坐标变换坐标变换3.3.复合变换复合变换 一般情况

5、原点既不重和,方位也不同.这时有: (2-13)0BABABAPPRPRobotics 数学基础数学基础2.2 2.2 坐标变换坐标变换例例2.12.1 已知坐标系B的初始位姿与A重合,首先B相对于A的ZA轴转30,再沿A的XA轴移动12单位,并沿A的YA轴移动6单位.求位置矢量APB0和旋转矩阵BAR.设点p在B坐标系中的位置为BP=3,7,0,求它在坐标系A中的位置.0612;1000866.05 .005 .0866.0)30,(00BAABzRpR0562.13908.1106120562. 7902. 00BABABAppRpRobotics 数学基础数学基础2.3 2.3 齐次坐标

6、变换齐次坐标变换1.1.齐次变换齐次变换 (2-13)式可以写为: (2-14)P点在A和B中的位置矢量分别增广为:而齐次变换公式和变换矩阵变为: (2-15,16)11010PPRPBBAABATBBBBTAAAAzyxzyx1,1PP10,0BAABABBABAPRTPTPRobotics 数学基础数学基础2.3 2.3 齐次坐标变换齐次坐标变换2.2.平移齐次坐标变换平移齐次坐标变换 AA分别沿B的X、Y、Z坐标轴平移a、b、c距离的平移齐次变换矩阵写为：用非零常数乘以变换矩阵的每个元素，不改变特性。例例2-3:求矢量2i+3j+2k被矢量4i-3j+7k平移得到的新矢量.1000100

7、010001),(cbacbaTrans190612321000710030104001Robotics 数学基础数学基础2.3 2.3 齐次坐标变换齐次坐标变换3.3.旋转齐次坐标变换旋转齐次坐标变换将上式增广为齐次式：10000),(00100),(00001),(cssczcsscycsscxRRR100001000000),(100000001000),(100000000001),(cssczcsscycsscxRRRRobotics 数学基础数学基础2.3 2.3 齐次坐标变换齐次坐标变换 引入齐次变换后，连续的变换可以变成矩阵的连乘形式。计算简化。 例2-4 ：U=7i+3j+2

8、k,绕Z轴转90度后，再绕Y轴转90度。例2-5：在上述基础上再平移（4，-3，7）。1273; ; ;1237; ; ;1000010000010010)90,(zR1372; ; ;1273; ; ;1000010100100100)90,(yR; ; ;1000710030104001)7 , 3, 4(TransRobotics 数学基础数学基础2.3 2.3 齐次坐标变换齐次坐标变换 由矩阵乘法没有交换性，可知变换次序对结果影响很大。1000701030014100)90,()90,()7 , 3, 4(zRotyRotTransRobotics 数学基础数学基础2.4 2.4 物体

9、的变换及物体的变换及 逆变换逆变换1.1.物体位置描述物体位置描述 物体物体可以由固定于其自身坐标系上的若干特征点描述。物体的变换也可通过这些特征点的变换获得。Robotics 数学基础数学基础2.4 2.4 物体的变换及逆变换物体的变换及逆变换1.1.物体位置描述物体位置描述11111144000011111144664411111100220044000011111110000010000141001000001000014100)90,()90,()0,0,4(zRotyRotTransTRobotics 数学基础数学基础2.4 2.4 物体的变换及逆变换物体的变换及逆变换2.2.齐次坐

10、标的复合变换齐次坐标的复合变换B相对于A: ABT; C相对于B: BCT;则C相对于A:1010100000BACBABBCABCBBCBAABBCABACppRRRpRpTTTTRobotics 数学基础数学基础2.4 2.4 物体的变换及逆变换物体的变换及逆变换3.3.齐次坐标的逆变换齐次坐标的逆变换B相对于A: ABT; A相对于B: BAT;两者互为逆矩阵.求逆的办法:1.直接求ABT-12.简化方法0ppRpTpRRpRT000100)(1010ABBABABABABBATABTABABBABARobotics 数学基础数学基础2.4 2.4 物体的变换及逆变换物体的变换及逆变换3

11、.3.齐次坐标的逆变换齐次坐标的逆变换一般,若则1000zzzzyyyyxxxxpaonpaonpaonT10001apopnpTzyxzyxzyxaaaooonnnTzyxTzyxTzyxTzyxaaaooonnnpppaonp,Robotics 数学基础数学基础2.4 2.4 物体的变换物体的变换 及逆变换及逆变换3.3.变换方程初步B:基坐标系T:工具坐标系S:工作台坐标系G:目标坐标系 或工件坐标系满足方程TTTTGTSGBSBTRobotics 数学基础数学基础习题习题: :P43, P43, 题题2.32.3P44, P44, 题题2.92.9Robotics 数学基础数学基础2.

12、5 2.5 通用旋转变换通用旋转变换1.通用旋转变换公式求:绕从原点出发的f旋转角时的旋转矩阵.S:物体上固接的坐标系T:参考坐标系C:Z轴与f重合的辅助坐标系xTYTZTTCSzSf, ZcO),(fRotRobotics 数学基础数学基础2.5 2.5 通用旋转变换通用旋转变换在S上取一点p,其坐标为向量P,它绕T中直线f旋转角。1）将S上p点坐标变换到T中，其坐标为2）直接计算绕f旋转的坐标为， 目前上式在T无法直接求。采取如下步骤：3）建立辅助坐标系C，使其Z轴与f重合。这样问题 变为绕ZC旋转。将S中的点p变换到C中，变换 为：4）在C中绕Z轴旋转有：5）将C中坐标变换回T中有，pT

13、ST),(pfRotTST pTSCTTT),(pzRTSCTTT),(pzTRTSCTTCTTRobotics 数学基础数学基础2.5 2.5 通用旋转变换通用旋转变换步骤2）和5）中的结果应该相同，即：由于C的Z轴与f重合,所以),(),(pfRotpzTRTSTSCTTCTTT1),(),(),(TTTCTCCTTCzTRzTRfRot10000001000010000001000000zyxzyxzyxzzzyyyxxxaaaooonnncsscaonaonaonzzyyxxfafafaRobotics 数学基础数学基础2.5 2.5 通用旋转变换通用旋转变换根据坐标轴的正交性, ,有

14、令 ,则ona1222zyxzyxyxzyxzxzyxzyzyxaaafnoonafnoonafnoonacos1)(vers1000000),(cversffsfversffsfversffsfversffcversffsfversffsfversffsfversffcversfffRotzzxzyyzxxyzyyzyxyxzzxyxxRobotics 数学基础数学基础2.5 2.5 通用旋转变换通用旋转变换2.等效转角与转轴给出任一旋转变换,能够由上式求得进行等效旋转角的转轴.已知旋转变换R,R,令令R=R=Rot(f,),即有将上式对角线元素相加,并简化得10000001000000cv

15、ersffsfversffsfversffsfversffcversffsfversffsfversffsfversffcversffaonaonaonzzxzyyzxxyzyyzyxyxzzxyxxzzzyyyxxxccversfffaonzyxzyx213)(222) 1(21xyxaoncRobotics 数学基础数学基础2.5 2.5 通用旋转变换通用旋转变换非对角元素成对相减,有平方后有设 ,sfonsfnasfaozxyyzxxyz22222221)()()(xyzxyzonnaaoso18001)()()(tan222zyxxyzxyzaononnaaosonfsnafsaofx

16、yzzxyyzx2/)(2/)(2/)(Robotics 数学基础数学基础2.5 2.5 通用旋转变换通用旋转变换例2-7 一坐标系B与参考系重合,现将其绕通过原点的轴 转30,求转动后的B.以 ,代入算式,有Tf0707. 0707. 0ozyxfff0 .300 . 0707. 010000866. 0354. 0354. 00354. 0933. 0067. 00354. 0067. 0933. 0)30,(okRotRobotics 数学基础数学基础2.5 2.5 通用旋转变换通用旋转变换一般情况,若f不通过原点,而过q点(qx,qy,qz),则齐次变换矩阵为:其中,1000),(Cc

17、versffsfversffsfversffBsfversffcversffsfversffAsfversffsfversffcversfffRotzzxzyyzxxyzyyzyxyxzzxyxxzyxzzxzyyzxxyzyyzyxyxzzxyxxzyxqqqcversffsfversffsfversffsfversffcversffsfversffsfversffsfversffcversffqqqCBARobotics 数学基础数学基础2.5 2.5 通用旋转变换通用旋转变换例2-8 一坐标系B与参考系重合,现将其绕通过q=1,2,3T的轴 转30,求转动后的B.以 ,代入算式,有Tf0

18、707. 0707. 03210 .300 . 0707. 0zyxozyxqqqfff100004. 0866. 0354. 0354. 013. 1354. 0933. 0067. 013. 1354. 0067. 0933. 0)30,(okRotRobotics 数学基础数学基础MatlabMatlab使用与矩阵计算使用与矩阵计算Matlab是美国Mathworks公司推出的数值计算软件.在数值计算及科学研究中,是其它语言无法相比的.其主要特点有:1.1.语言简洁紧凑语言简洁紧凑, ,使用方便灵活使用方便灵活, ,库含数极其丰富库含数极其丰富. .2.2.具有非常多的矩阵函数具有非常多

19、的矩阵函数, ,矩阵计算异常方便矩阵计算异常方便. .3.3.具有多种功能的工具包具有多种功能的工具包. .4.4.具有与具有与FORTRANFORTRAN、C C等同样多的运算符和结构控制指令的同等同样多的运算符和结构控制指令的同 时，语法限制却不严格，使程序设计很自由时，语法限制却不严格，使程序设计很自由. .5.5.图形功能强大图形功能强大, ,数据可视化好数据可视化好. .6.6.原程序和库函数代码公开原程序和库函数代码公开. .但但. .程序执行效率较低程序执行效率较低. .本节主要介绍其矩阵计算在机器人分析中的应用本节主要介绍其矩阵计算在机器人分析中的应用. .Robotics 数

20、学基础数学基础MatlabMatlab使用与矩阵计算使用与矩阵计算矩阵的输入:1)矩阵的直接输入.(操作) 以 作为首尾,行分隔用”;”,元素分隔用”,”或空格.2)矩阵编辑器.(操作) 先在工作区定义矩阵,用编辑器修改矩阵.3)用函数创建矩阵,如.(操作) zeros(m,n):zeros(m,n):零矩阵零矩阵 ones(m,n):ones(m,n):全部元素都为全部元素都为1 1的矩阵的矩阵 eye(m,n):eye(m,n):单位阵单位阵 randn(m,n):randn(m,n):正态分布的随机矩阵正态分布的随机矩阵 vander(A):vander(A):由矩阵由矩阵A A产生的产

21、生的VandermondeVandermonde矩阵矩阵Robotics 数学基础数学基础MatlabMatlab使用与矩阵计算使用与矩阵计算矩阵的计算矩阵的计算.(操作)1)1)加减加减2)2)转置转置3)3)乘法乘法4)4)除法与线性方程组除法与线性方程组5)5)逆逆6)6)幂和指数幂和指数Robotics 数学基础数学基础MatlabMatlab使用与矩阵计算使用与矩阵计算例: 计算:100001000000)60,(100000001000)45,(100000000001)45,(2123232102222222222222222zRotyRotxRotoo)45,()45,()60

22、,()60,()45,()45,(ooooooxRyRzRzRyRxRRobotics 数学基础数学基础习题习题:2.3:2.3坐标系坐标系BB初始与初始与AA重合重合, ,让让BB绕绕Z ZB B旋转旋转角角; ;然后再然后再绕绕X XB B转转角角. .求把求把B BP P变为变为A AP P的旋转矩阵的旋转矩阵. .cscsccsssscc0Robotics 数学基础数学基础习题习题:2.3:2.3变化变化坐标系坐标系BB初始与初始与AA重合重合, ,让让BB绕绕Z ZB B旋转旋转角角; ;然后再然后再绕绕X XA A转转角角. .求把求把B BP P变为变为A AP P的旋转矩阵的旋

23、转矩阵. .cscssscccssc0Robotics 数学基础数学基础习题习题:2.3:2.3变化变化坐标系坐标系BB初始与初始与AA重合重合, ,让让BB绕绕Z ZB B旋转旋转角角; ;然后再然后再绕绕X XA A转转角角. .求把求把B BP P变为变为A AP P的旋转矩阵的旋转矩阵. .cscssscccssccssccssczRotxRot01000000001),(),(Robotics 数学基础数学基础习题习题:2.9:2.9将图将图(a)(a)变换到变换到(b).(b).Robotics 数学基础数学基础习题习题:2.9 :2.9 解一解一1000001001000001)

24、90,(oxRot1000010000010010)90,(ozRotRobotics 数学基础数学基础习题习题:2.9 :2.9 解一解一10000100100100001)0 ,10, 0(1Trans1000010090100001)0 , 9, 0(2TransRobotics 数学基础数学基础习题习题:2.9 :2.9 解一解一1000001001000001)90,(oxRot1000010000010010)90,(ozRotRobotics 数学基础数学基础习题习题:2.9 :2.9 解一解一1000010000102001)0 , 0 , 2(2Trans10000100100100001)0 ,10, 0(1TransRobotics 数学基础数学基础习题习题:2.9 :2.9 解一解一1000001000010100)90,()90,()0 ,10, 0()0 ,10, 0(ooxRotzRotTransTrans1140110