第五章选修4课程的定位

1、第五章 选修4课程的定位第一节 选修系列4课程的作用和选择性 一、选修系列4课程的作用对于系列4的定位，“标准”中已讲得很清楚：系列4所涉及的内容都是基础性的数学内容，不仅应鼓励那些希望在理工、经济等方面发展的学生积极选修，同时也应鼓励那些希望在人文、社会科学方面发展的学生选修这些课程。在“标准”中也已指出其作用是：为对数学有兴趣和希望进一步提高数学素养的学生设置的，所涉的内容都是数学的基础性内容，反映了某些重要的数学思想。有些专题是中学课程某些内容的延伸，有些专题是通过典型实例介绍数学的一些应用方法。这些专题的学习有利于学生的终身发展，有利于扩展学生的数学视野，有利于提高学生对数学的科学价值

2、、应用价值、文化价值的认识，有助于学生进一步打好数学基础，提高应用意识。专题力求深入浅出、通俗易懂，进一步提高学生发现和提出问题的能力，分析和解决问题的能力，让学生掌握和体会一些重要的概念、结论和思想方法，体会数学的作用，发展应用意识。另外，“标准”对系列4课程的建设、教学方式、评价方式等，都给出了具体的说明，这里就不一一重复了。在系列4教学中应该注意的几个问题是：系列4是基础，系列4不是学习大学数学的预备课程，也不是为将来准备进入数学系学习的学生做准备。 在系列4的教学中，应该把重点放在介绍基本的数学思想。 在系列4的教学中，要不断地开发资源，把难的东西变容易，用具体来反映一般，用直观来反映

3、抽象。系列4课程是进入高考的课程，学习这部分课程对于提高数学素养、培养学生解决问题的能力和激发学生学习数学的兴趣是十分有用的。各学校可以按照各自的情况有选择性地逐步开设这些专题。二、选择性1. 选择性与系统性 数学课程都是按照一定的体系来设计的，而体系又是根据不同的原则设计的，设计的原则不同，得到的体系就不同，课程标准设计的一个重要的原则就是选择性，所以，在理解整个高中数学课程时，应该对选择性有一个充分的认识。在高中数学课程中，如前面所说，有必修课程、选修系列1、2课程，还有选修系列3、4课程，每一部分课程都有他独立的体系。必修课程、选修1、2系列课程的主要内容都是比较传统的数学课程内容，在某

4、些地方也有一些变化，例如，增加了算法等内容。总的来说，这些内容对教师来说没有太大的困难，前面已经从不同角度分析了应注意的方面。例如，抓住课程的整体性，抓住课程的主线，抓住课程的本质，抓住通性通法，等等。必修课程、选修系列1、2课程的内容大体上也可以按照代数、几何、分析、统计概率进行分类。例如，立体几何初步、解析几何初步、平面向量、空间向量与立体几何等等都是属于几何的内容。函数及其相关内容是属于分析的范畴，等等。这样的一种分类可以与大学课程有机的接轨。选修系列3、4课程可以看作上述分类的一种延续。例如，有关代数的专题有：三等分角与数域扩充，对称与群，信息安全与密码，不等式选讲，坐标系与参数方程，

5、初等数论初步，优选法与试验设计初步，开关电路与布尔代数等。有关几何的专题有：球面上的几何，欧拉公式与闭曲面分类，矩阵与变换，几何证明选讲，统筹法与图论初步等。有关分析的专题有：数列与差分等。有关统计概率的专题有：风险与决策等。这样的分类不一定非常准确，只是一个参考。数学史选讲是一个特殊的专题。当然还有其它的分类原则，例如，可以按照连续数学和离散数学来分类；可以按照纯数学和应用数学来分类；等等。不同的分类形成不同的体系，其目的只有一个就是希望从不同的角度加深对于数学的认识。就数学内容本身来说，有的有先后顺序关系，有的没有先后顺序关系。例如，我们只有引入了自然数，才能介绍自然数的加、减、乘等运算，

6、它们之间有着严格的顺序关系。然而，对于有些数学内容而言，目的不同决定不同的顺序。例如，极限理论和导数及其应用就没有先后的顺序关系。可以先讲极限理论，然后，用极限理论去认识一种重要、特殊的极限导数，现在，数学系课程中的数学分析就是这样安排的；我们也可以先从重要、特殊的极限导数入手，理解这种特殊极限的意义、作用、应用，把它作为认识极限理论的一个阶梯。“标准”是按后者的方式安排的。排列组合和概率也没有先后之分。不同的顺序会有不同的讲授和教材编写方式，可以先讲代数，也可以先讲几何，当然，要符合学生的认知规律。 数学教材是按一定的顺序编写的，学习数学也是按一定的先后顺序进行学习，所以在编写教材时要注意这

7、样的关系。我们在学习数学时，教科书给我们规定了一定的顺序，我们应该很好的理解这种顺序，以及它所反映的知识之间的逻辑关系。但是，我们应该特别注意的是，教材中知识之间的逻辑关系是在一定原则、前提下确定的，选用不同的原则会有不同的逻辑关系，我们再通过一个例子加以说明。例如，刻画直角坐标系中的直线。一点和一个方向可以唯一确定一条直线，如何刻画直线的方向，即直线与x轴的交角。我们可以采取几种方法来刻画：可以用三角函数来刻画，可以用向量来刻画，还可以用导数思想变化率来刻画。按照教材所安排的内容顺序，可以采取不同的方法来刻画直线的斜率。如果在此之前我们学过了三角函数，则可以用正切来刻画斜率；如果在此之前我们

8、学习了向量，则可以用向量来刻画直线的方向；我们也可以利用导数思想变化率，直接刻画直线的方向。但是，三角函数，向量，导数，这三个知识本身没有必然的逻辑关系。通过这个例子，应该引起我们的思考。我们在讲授一个知识点时，应该引导学生去考虑这个知识点与我们所学过的知识之间的联系。就上面这个例子来说，对于直线斜率的理解，可以通过三角函数、向量和导数这三个角度去理解。只有这样，我们才能更好的认识直线的斜率，更好的刻画直线的斜率。无论是学生还是教师，在学习和讲授高中数学课程时，都需要经常的站在整个高中数学的角度，站在整个数学的高度，来看待我们所学习和教授的每一个知识点。而不是把本身相互联系的知识割裂开来。2.

9、 选择性与公平性确定选择性的一个基本的出发点是培养学生的兴趣，我们应该从不同的方面提供培养学生兴趣的途径。另一个基本的出发点是开阔学生的视野，作为学习者，学习知识是重要的。同样的，开阔视野、增长见识也是不可忽视的，有时，这些是无形的，是在不经意中积淀的，但是，它们的作用确是长久的。选修课程为学生开阔视野、增长见识提供了一个开阔的空间。作为数学教育工作者，我们希望能吸引更多的人喜欢数学，希望数学能为学生的发展提供帮助，这应该是数学教育工作者的最高追求。我们应当想方设法让数学课程更有吸引力，也希望学生努力发现并培养自己对数学的兴趣。在以往的数学课程内容中，在一定程度上忽视了培养学生的兴趣、开拓学生

10、的视野。不同人会有不同的兴趣，有人喜欢思考，有人喜欢动手；有人喜欢“理科”，有人喜欢“工科”，有人喜欢“文史科”，有人喜欢“医科”；有人喜欢理论，有人喜欢应用；有人喜欢“电影”，有人喜欢“戏曲”，等等。数学课程应该成为培养学生兴趣的载体，为不同的学生服务。“兴趣”是成功的最持久的动力，有一次，当丁肇中教授被记者问及获得诺贝尔奖的“秘诀”时，只说了两个字“兴趣”。兴趣不仅促进人的成功，而且，她会给人们的生活带来快乐。一旦学生对某些专题有兴趣，他们就会深入这部分专题的学习，难和容易是相对的，“钻进去了”难的东西也会变容易了，“钻不进去”容易的东西也是难的。例如，有人认为数学建模很难，但是有些人就认

11、为不难，关键还是兴趣，有的学生写的数学建模论文连教师都看不明白，觉得有困难，可是学生自己认为很简单，这就是因为他对于自己研究的东西感兴趣，就不觉得难了，而教师不感兴趣所以就会觉得很难。公平也是相对的，没有绝对的公平，我们应该在培养学生兴趣、开阔学生视野这个大前提下来考虑公平性。教师应制定自己的“专业发展计划”，其中一个很重要的内容是提高数学素养，通过开设选修系列3、4这些课程，是掌握这些课程最好的办法，经历这个过程，对数学素养的提高是非常重要的。当然教师可以制定一个计划来逐步的开设这些课程。例如，第一年，可以开设一个自己熟悉的专题，同时，选择一个学习的专题，制定一个学习计划，包括：专题结构、内

12、容理解、问题思考、习题解答、知识拓展、读书报告，以及学生可能出现的问题，等等。扎扎实实的掌握一个专题，同时，学会学习一个自己不熟悉内容的方法和步骤。第二年，开设自己学习的专题，积累经验；同时再学习一个新专题。如此下去，逐渐形成自己的特色。学校应制定“学校选课发展计划”，根据不同教师的特点、爱好，分工合作，可以组织相同专题备课小组。经过23年的建设，逐渐成本校选课特色。利用校外的资源，建立校际合作关系，应该是“学校选课发展计划”的重要组成部分。我们希望省、地、县各级教育局、教研室积极促进建立校际合作，制定有利于建立校际合作的机制。利用网络资源，建立交流网络平台也应该纳入“学校选课发展计划”。现在

13、，很多省、市都建立了网络资源平台，很多出版社也建立了资源库，充分地利用这些资源，对学校选课发展有重要意义。下面我们按专题介绍：背景，知识结构和内容定位，重、难点，教学要求和参考文献。第二节 各专题的定位2.1 几何证明选讲一、背景 几何课程主要有平面几何、解析几何、向量几何、仿射几何、微分几何、拓扑学等分支。这些几何课程不光是研究的对象，有的还是研究几何的方法，例如，解析几何的研究方法、向量几何的研究方法。在中学我们还用综合几何的方法（通常称综合法）来研究几何，即综合所学的几何知识（公理、定理、推论等）来解决问题。本专题希望进一步介绍综合几何的方法。几何类课程在高中数学课程中占有非常重要的地位

14、。它能帮助学生逐步形成空间想象能力；运用直观的图形语言刻画、描述、洞察、论证问题的能力和逻辑推理能力。这些能力不仅仅是在几何课程中，而是在整个高中数学课程中都是非常重要的能力。在“几何证明选讲”中，主要选择了两个内容，一个是直线与圆、圆与四边形的位置关系，利用相似来讨论它们之间的关系；另一个是圆锥曲线，利用综合几何的方法来探索圆锥曲线的性质。希尔伯特、库朗、阿诺德等一批大数学家认为：这些内容是利用综合几何的方法讨论几何问题的很好的载体，他们建议把这些内容放到中学数学课程中。二、知识结构和内容定位1知识结构框图 2内容定位本专题的第一部分内容，在过去传统的中学教材中可以找到。尽管有些定理很重要，

15、但在这里我们侧重的不是知识点，而是证明的思想和方法。要想很好地培养学生的逻辑推理能力，需要选择典型的例题，强调通性通法。题目本身要有意义，证明的思想清楚，方法最好有一般性。题目不应太难，也不应该太繁，例如，有的题目的解法不是很直接，常常需要添加多条辅助线才能解决，像这样的问题应该尽量避免出现。更不要出现偏题、怪题。几何的证明题有很多，本专题不是让学生去做大量的几何题，只是希望通过几何图形这个载体，提高学生推理论证的能力。学生演绎论证能力的提高，不是短时间就能完成的，也不是仅仅靠作几何题来培养的，和传统教材比，我们要把握好“度”。本专题的第二部分内容，主要培养学生空间想象能力和演绎推理的能力。并

16、且需要把这两者有机的结合起来，好的几何直观可以帮助我们形成逻辑推理的思路。例如，把两个球放入圆柱内，使它们位于平面的两侧，且每一个球既与圆柱相切，又与平面相切,我们把这样的球称为“焦球”(又称Dandelin球).图18 c才如图18所示，这两个球与圆柱面切于二圆和，平面与两球分别切于两点和，与圆柱面相交的曲线.为，在上取任意一点，连接.过点的圆柱的母线与两圆、交于两点.由于是一个球过点的两条切线，所以有 .同理，.由此得出.由圆柱面的对称性知与曲线上选择的点位置无关(实际上就是两圆所在两个平行平面的距离).因此曲线上的所有点到点距离之和都相等.即 常数 .我们希望通过本专题的学习，能够进一步

17、养成学生用直观的图形语言去描述、刻画、洞察和论证问题的习惯。建议教师帮助学生养成这样一种习惯，并把这种习惯带到学习数学知识的过程中。在这部分的教学中，是从问题出发，最终探索出结论。需要不断地提出问题，需要自己给出定义、定理，并由自己给出证明。这种探索式学习方式是人们研究问题最自然的方式，教师应该给予引导，鼓励学生提出问题、主动地去思考和解决问题、查阅资料。如果学生一时做不出来，可以暂时放下，在以后的学习过程中，再不断地完善，使得教师的教学和学生的学习都有较大的拓展空间。三、重、难点重点：通过直线与圆的位置关系的讨论，平面与柱面、锥面位置关系的讨论，体会运用综合几何的思想方法，发现、提出、分析和

18、解决几何问题。 难点： 运用综合几何的方法讨论圆锥曲线性质。四、教学要求1在教学中，教师要引导学生发现并提出问题，在此基础上分析和解决问题。2在教学中，教师应注意培养学生的空间想象能力和几何直观能力，并把它们用于讨论问题的过程中。3在教学中，教师应注意把握合情推理和演绎推理的有机联系，帮助学生形成完整的思维方式。五、文献参考1 D. 希尔伯特 和 S. 康福森：直观几何，王联芳译，人民教育出版社，19592 R. 柯朗 和 H. 罗宾：什么是数学，左平等译，复旦大学出版社，20053 项武义：基础几何学，人民教育出版社，20044 F. 阿诺德：为什么我们要学习数学关于这一点数学家是怎么想的，

19、数学译林，第21卷 第1期2.2 矩阵与变换一、背景变换是函数思想的拓展，其思想本质是映射的思想。通过“矩阵与变换”的学习，可以使我们更好地理解变换的思想，可以用变换的观点来看待数学中的有关内容，比如，平面中几何图形的变换、求解方程组、变换的不变量等。在大学的学习中，线性代数（高等代数）是数学系的基础课程，也是理工科学生的必修课程，矩阵是线性代数的核心概念。无论是在数学中、还是在自然科学、工程技术中，矩阵作为线性变换的基本表示工具，有着广泛的应用。学习矩阵有两种处理方法，一种是作为代数的研究对象，强调它的“运算”规律。另一种是强调矩阵的几何背景，作为几何变换的表示，强调矩阵和矩阵相关概念的几何

20、意义，二维空间中的变换可以用矩阵表示，我们可以从几何变换的角度来学习矩阵。这种用几何的观点来研究矩阵的方式既便于学生的理解，又不失一般性。本专题采取了后一种处理方式，以二维矩阵为载体，介绍了有关矩阵的知识。二、知识结构和内容定位1知识结构框图2内容定位1）通过初中的几何学习，已经对于对称变换、轴对称变换、中心对称变换（旋转180度的旋转变换）、平移变换、放缩变换等有了一定的了解。从本质上来讲，这些变换都是把平面上的一个点变成平面上的另一个点。2）本专题中，我们引入了一种反映变换的代数形式二阶矩阵。二阶矩阵作用在一个向量上可以得到一个新的向量。例如，第一个例子是否要删去，请考虑，因为没有得到新的

21、向量。 可以看出，二阶矩阵把平面上的每一个点都变成唯一的点。它是平面到平面的映射。 3）用矩阵来刻画一些几何变换：反射、压伸、切变、旋转、投影等。这些矩阵都不复杂，应该让学生通过操作来确认这些矩阵变换的几何意义。例如，表示向量在y轴上的投影。表示向量关于y轴对称。 4）我们还应让学生认识到，矩阵表示的是线性变换，它把直线变成直线。5）变换的复合（合成），即连续实施两个线性变换相当于一个新的线性变换。例如，我们可以先旋转再平移，也可以先平移再旋转。对应这种变换的复合可以用矩阵的运算来表示，即矩阵的乘法运算。6）矩阵的乘法不满足交换律，即当连续实施一系列变换时，改变变换的次序将改变变换的结果。例如

22、，表示点（a,b）先逆时针转90度，再关于y轴反射，得到的点为：（b，a）；而表示点（a,b）先关于y轴反射，再逆时针旋转90度，得到的点为：（-b,-a）。7）如果变换是一一对应的，变换就有逆变换，这种逆变换对应着矩阵的逆矩阵。但是，投影变换没有逆变换。例如，的逆变换就是再作一次关于y轴的反射。用矩阵表示即为：。 变换的逆和矩阵的逆本质上体现了一一对应的思想。8）在本专题中，我们还用变换的思想来认识二元一次方程组。 例如，方程组，可以用矩阵表示为： 。解方程的问题就变成：已知变换和某个点在这变换下的像，求该点（原像）的问题。9）要认识变换中的不变量特征向量，以及矩阵的特征值和特征向量的概念，

23、并用特征向量解决一些实际问题。 可以看出，函数映射的思想是贯穿本专题始终的重要思想。三、重、难点重点：变换是数学中一个基本的概念，它是指平面中的点到平面的映射，建立这个概念是学习本专题的重点之一。认识矩阵和相关概念的几何意义是本专题的另一个重点，例如，矩阵的特征向量的几何意义是指某向量在矩阵作用下，其变换的像与该向量是平行的。 难点： 用矩阵来表示线性方程组 矩阵的特征向量四、教学要求1在本专题的教学中，教师应该强调矩阵及相关概念的几何意义，这也是贯穿始终的思想。2矩阵是一个比较抽象的数学概念，建议教师通过具体的实例来介绍矩阵，通过学生熟悉的几何变换来引出矩阵表示。五、文献参考1 COMAP：

24、数学的原理与实践，申大维等译，高等教育出版社和施普林格出版社，1998 2 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组：高等代数，高等教育出版社，19992.3 数列与差分一、背景数列是一种特殊的函数。有时候也把它称为“离散”的函数。它不仅是数学中一种重要的研究对象，也是研究数学问题的一种重要的方法和工具。这种方法我们常常称之为离散的方法。从20世纪中期以后，科学技术迅猛发展，科学技术的发展对数学提出了越来越多的要求，不仅希望数学能够证明一些规律的存在性，而且希望能够把这些规律构造出来直接为社会发展服务。例如，微分方程是反映自然规律的重要的数学模型，在实际中，不仅需要用微分方程来刻画规律，而且需要

25、求出它的满足一定精度的近似解，利用这些近似解直接为实际服务。离散的思想方法对于求近似解是一种基本的思想方法，它在解决实际问题中将发挥越来越大的作用。 数列是特殊的函数，是函数的离散形式。差分是微分的离散形式，差分方程是微分方程的离散形式，我们知道导数与微分在微积分中的重要地位，导数和微分方程有着广泛的应用，自然的，差分和差分方程就变得非常重要了。从另一方面说，差分和差分方程比导数和微分方程更容易理解，而且可以通过计算或利用计算机求出它们的近似解。二、知识结构和内容定位1知识结构框图2内容定位1）结合函数（数列）的图像，给出数列的 “差分”概念。2）利用一阶差分和二阶差分的特点来判断数列的增减性

26、、凹凸性。3）对于差分方程，只要给定了初始条件，利用“迭代法”不难给出方程的数值解。虽然用迭代法解方程并不难，但这是数学中的一个既基本又重要的方法，教师应给予充分的关注，务必使学生掌握。4）对于一阶线性差分方程，学生应结合过去学过的等差数列和等比数列来认识它的解。在这里，非齐次方程的通解、特解与齐次方程通解的关系，是难点。5）一阶差分方程组的问题和一阶差分方程的问题是类似的，只是对一阶差分方程组的要求更低。三、重、难点重点：对差分的理解，差分在研究数列变化中的作用齐次方程中通解的作用和非齐次方程中特解的作用迭代法在解差分方程中的作用难点： 齐次方程通解非齐次方程中的通解的表示 差分方程的应用，

27、难在如何根据实际问题建立差分方程并根据实际问题的背景讨论解的意义。四、教学要求对于中学生来说，学习“数列与差分”不仅是因为这部分内容本身很有用，而且有助于学生理解导数与微分。有助于今后学习微分方程等知识。教师有必要帮助学生体会差分的作用，以及它给我们带来的好处。教师在教学中，不应该追求差分方程的系统性，而应该着重介绍差分方程的基本思想。突出函数的思想是贯穿在本专题始终的基本思想。在教学过程中，教师应当帮助学生梳理学过的有关函数的知识、技能和思想方法。这样可以有效地提学生对于函数思想的认识。这样做也可以提高对这部分内容的理解。五、文献参考 1 COMAP：数学的原理与实践，申大维等译，高等教育出

28、版社和施普林格出版社，19982.4 坐标系与参数方程一、背景1637年6月8日，笛卡儿的方法论出版，这一天就是解析几何的诞生日。笛卡儿是一位伟大的数学家，也是一位伟大的哲学家。笛卡儿把物质运动的概念作为科学的哲学基础，从而把运动带进了数学。在笛卡儿之前，常量数学占主导地位，在笛卡儿之后，运动进入了数学和其他科学，辩证的思想进入了数学。正如恩格斯所评论的：“数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学。”解析几何的基本思想是数形结合，坐标是数形结合的桥梁，坐标方法建立了方程与曲线之间的联系。因此，坐标方法，以及方程与曲线的思想是解析几何的核心内容。坐标方法

29、，即在引进坐标系之后，平面上的点P可以与一对有序实数之间建立一一对应.方程与曲线的思想，即未知数表示的某个代数方程可以看成一条曲线；反之，一条曲线可以用曲线上任意点坐标之间的方程关系来表示。 解析几何的坐标方法、曲线与方程思想是本专题的核心内容，希望学生通过本专题的学习进一步体会解析几何数形结合的基本思想。二、知识结构和内容定位1知识结构框图2内容定位1）本专题是中学的传统内容，在内容上没有太大的变化。2）建立坐标系和在坐标系中建立曲线与方程的关系，这是解析几何的两个核心内容，是联系几何和代数的重要桥梁，也是数学中的重要思想。3）在这部分，我们引入了另外几种坐标系极坐标系、柱坐标系、球坐标系等

30、等，并讨论了一些简单曲线在这些坐标系中的方程。学生应该明白引入这些坐标系的好处。并能在这些坐标系之间进行转换。4）本专题的第二部分讨论的是参数方程。在许多情形，参数方程的引入是十分自然的，学生应体会参数方程的好处以及参数的直观意义，学会参数方程和普通方程的转化。5）与传统教材内容相比，在这里我们更加强调应用，例如，摆线的应用。三、重、难点重点：不同坐标系的作用坐标系的选择，同一曲线在不同坐标系下的表示，以及曲线与方程的关系难点：坐标系的选择，以及在实际问题中的应用四、教学要求1在教学中，教师应该采取类比的方法教授各种不同的坐标系。2本专题可以拓展的空间是很大的，教师可以鼓励学生收集相关的资料，

31、拓宽视野，又可以鼓励学生对自己感兴趣的问题进行积极的探索。2.5 不等式选讲一、背景1. 利用不等式和不等式组可以刻画数学中的某些“区域”。例如，用不等式组就可以表示下图所示的平面区域。2. 每一个好的不等式都有重要的数学背景，特别是重要的几何背景。应该帮助学生认真体会和认识不等式的几何背景，以及这些几何背景在证明不等式的过程中发挥的作用。例如，基本不等式2ab,它有着重要的几何背景。如图所示： 令AF=a,BF=b,则AB2=a2+b2,而S正方形ABCD4SABF即，a2+b24×a×b，所以，a2+b22ab，当AF=BF时，正方形EFGH缩为一点，S正方形ABCD=

32、4SABF 3. 不等式的证明也提高学生逻辑思维能力的有利载体。通过综合法、分析法、反证法、放缩法等方法进行不等式的证明，不但可以提高学生的逻辑思维能力，掌握证明的基本方法，而且可以进一步加深对于不等关系和不等式的理解。4. 对于教师来说，应该了解不等式在将来的学习中，会发挥重要的作用。例如，不等式是描述度量空间的工具。度量空间（x,d），其中d是一个二元非负实值函数，d满足三个条件：一是反身性，x=y当且仅当d(x,y)=0；二是对称性，d(x,y)=d(y,x)；第三个条件就是以不等式的形式给出的，即d(x,y)+d(y,z) d(x,z)，通常称之为三角不等式。又例如，在解决极限问题时，

33、最经常使用的方法就是利用不等式的性质进行“放大”和“缩小”，估计无穷小量的级别。好的不等式都是有重要背景的，对于这些教师应该心中有数，不必在教学中体现。二、知识结构和内容定位1知识结构框图2内容定位应该认识到：恒等关系是数学中的一种重要关系，不等关系也是数学中一种重要关系，并且以不等式的形式渗透在数学的各个学科。在不等式的学习中，由运算思想所体现的恒等变换的能力，是一种重要的逻辑推理的能力，提高这种能力是学习不等式的基本定位之一。但是，形式化的演算能力并不能等同于理解，因此，要避免过分繁难的、人为地制造出许多无意义的不等式，避免过分地追求解题的技巧训练。在本专题中，应强调的是解决不等式问题的通

34、性通法，通过典型的例题，能对比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等，有所体会并能初步加以应用。好的不等式都有着重要的数学背景。例如，许多不等式有其几何背景。我们希望学生对重要的不等式，不只停留在背诵记忆的层次上，而是应该认清其背景，特别是其几何背景。三、重、难点重点：几个基本不等式不等式的基本证明方法难点： 不等式的基本证明方法 排序不等式 不等式的应用四、教学要求教师在教学中应该注意的是，形式化的演算能力并不能等同于理解，在过去的不等式教学中，有一种过分繁难的倾向，人为地制造出许多无意义的不等式，过分地追求解题的技巧，这不是我们在本专题中所倡导的。在本专题中，强调的应是解决不等

35、式问题的通性通法，通过典型的证明不等式的例题，能对比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等基本的不等式的证明方法，有所体会并能初步加以应用。在教学中，不仅要通过不等式的数学背景，而且要从本质上帮助学生掌握重要的、好的不等式，而不是形式的记忆和生搬硬套。教师还应该注意：如何帮助学生总结、概括高中阶段有关不等关系的内容，并能写出一个好的读书报告进行交流，总结在不等关系学习中的重要的数学思想和方法。2.6 初等数论初步一、背景 数论是一门古老而又悠久的数学学科。它的一个特点是，问题本身很简单、很容易被人理解，但解决起来却很难。例如，费马大定理，哥德巴赫猜想等。数论研究的是数学中最基本的概

36、念：“整数”。表面看好像很容易，但由于没有太多的几何背景，完全要靠演绎推理，实际上，对学生是有难度的。例如，除法是学生从小学就熟悉的运算，但抽象地讨论带余除法，还是会给学生造成困难。学习数论可以很好地培养学生的逻辑推理能力和抽象概括能力。 “初等数论初步”主要围绕除法展开，讨论整除和带余除法。 1. 我们需要表示整数，于是就出现了进制，例如，十进制（符号、位值），二进制，十进制和二进制的换算等。 2. 有了除法，人们就会考虑是否除尽的问题，如果能够除尽，随之就出现了因子、素因子、互素等相关的概念，由此引出了算数基本定理。 如果不能除尽，那么就会出现商和余数等相关概念。于是就出现了一种很重要的分

37、类方法，即用余数对整数进行分类，具有相同的余数（同余）的整数归为一类。3. 利用辗转相除法，可以求出两个以上整数的最大公因数、最小公倍数。 4. 在数论中提出了很多不定方程、同余方程组等问题，这样就产生了很多数学的分支，例如，代数数论、代数几何。5. 数论是数学发展的源泉，例如，在信息安全中，数论起了基本的作用。二、知识结构和内容定位 1知识结构框图2内容定位初等数论的知识是中学教师比较熟悉的。但是在以往的教学活动中，主要是强调数论知识在数学竞赛中的技巧，本专题的定位一定不是挑选少数人去培训，去参加竞赛。而是希望学习这个专题的学生，在数学的思想和方法上都有所提高、有所收获。本专题应该教会学生从

38、具体到抽象地来理解所学的内容。即，让学生有意识地通过具体的例子来理解一般的概念和定理。本专题应该在训练学生的演绎推理、表达论证上下功夫。这里的定理证明都不长，但要把问题说清楚，并不容易。教师应在这方面加强对学生的要求。本专题中出现的一些证明方法都是数学上最基本的方法。例如，证明素数有无穷多个的反证法、证明孙子定理的插值法等。在本专题的学习中，最重要的是让学生掌握这些方法，体会这些方法的意义。一定不要去追求技巧，做难题、怪题。（原文中的内容定位更多的是关于教学要求的，而原来的教学要求作为内容定更为恰当些，所以更换了一下）三、重、难点重点及难点：几个基本概念：整除、素数、互素、同余、同余方程辗转除

39、法及其应用求解同余方程的基本方法 四、教学要求本专题的内容分为两个主要的部分：带余除法和同余。在带余除法这部分，要介绍算术基本定理。素数是数论的一个核心概念，是学生学习的重点。有了它才能很好地理解整除的性质，理解算术基本定理。辗转相除法也是一个重点，利用它可以求两个数的最大公因数，并能用两个数的线性组合来表示其最大公因数。在这里，要区分素数和互素的不同，后者谈的是两个数之间的关系，并不要求它们是素数。同余反映了整数之间的一种新的关系。同余概念是本专题的又一个重点。同余类为我们提供了一种新的运算平台。教师应帮助学生运用类比的思想去探索同余运算与一般运算的异同。同余方程是一种新的方程形式。教师应引

40、导学生采用类比的方式，把我们学过的方程与同余方程比较。探索它们在概念、求解等方面是如何体现数学思想的。例如，求解一元二次方程的主要方法是配方和降幂，求解二元一次方程组的主要方法是消元。那么，在同余方程中，反映的是哪种数学思想呢？同余方程组的求解是本专题的重点内容之一， 教师应该通过具体实例介绍大衍求一术的求解步骤，并且指导学生体会大衍求一术的思想本质，最好与拉格朗日插值法进行比较，让学生体会插值法的本质。在本专题的学习中重要的是，指导学生理解初等数论给我们提供的重要的数学思想，而不在于数学的技巧。这是开设好本专题内容的关键所在。五、文献参考1 闵嗣鹤 严士健：初等数论（第三版），高等教育出版社

41、，20032 冯克勤：初等数论及应用，北京师范大学出版社，20033 张顺燕：数学的源与流，高等教育出版社，20004 R. 柯朗 和 H. 罗宾：什么是数学，左平等译，复旦大学出版社，20052.7 优选法与实验设计初步一、背景著名数学家华罗庚先生把数学方法创造性地运用到国民经济领域，选择了以改进工艺为主的“优选法”和以改善组织管理为目的的“统筹法”，并加以普及。他撰写的以这两种方法为内容的小册子，深入浅出，普通工人也能读懂。优选法在实际生产中显示了巨大的威力，取得增产、降耗、优质的效果。通过华罗庚先生的创造性工作，使数学从书本走向生产实践，在应用数学的推广方面取得了举世瞩目的成绩。本专题在

42、华罗庚先生的“优选法”基础上，介绍了优选法和实验设计。优选法，准确的说是“选优法”，主要是要确定“优”在哪里?优选法的适用范围是单峰值的问题，而“峰值”可能出现在任何位置，每增加一次试验就可以缩减掉一个区域。优选法的原理简单、应用广泛。试验设计，主要是如何设计试验方案，用最少的时间得到最好的试验结果。其基本原理是均衡搭配。使用的主要工具是拉丁方和正交表。试验设计的适用范围很广泛，对于学生以后的发展是十分有益的。二、知识结构和内容定位1知识结构框图2内容定位本专题介绍的第一部分内容是试验设计。“试验设计”是研究如何设计试验方案，使得能用最少的试验次数来达到最好的试验目的。在现实生活中和科学试验中

43、，人们往往需要用做试验的办法去解决问题。例如：我们要对某一艾滋病易感人群进行检测。设人群有1000人，其中共有10个感染者。我们希望通过血样检验的方法，找出这10个感染者。对这个问题，我们可以有不同的做法。比如，一个一个的进行检验，在最坏的情况下，需要做999次检验。也可以采用分组化验的办法。即把几个人的血样混在一起，先化验一次。若化验合格，则说明这几个人全部正常；若混合血样不合格，说明这几个人中有病人，再对他们做进一步的化验(逐个化验，或者分成小组化验)。一般来说，后一种方法可以减少化验次数。试验设计这部分内容主要介绍的是正交实验设计，即利用正交表来进行设计。和目前人们常用的方法相比，这个方

44、法有许多优越性，而且操作简单。这一方法曾在一些工业企业和农村中推广，效果显著。在本专题中介绍这个方法，也是希望能把这方法进一步推广。在本专题中，我们通过实际的案例，具体给出了设计试验方案的步骤及分析试验结果的方法。我们要求学生能了解 “正交试验设计”的思想，即“均衡搭配，综合比较”的思想。本专题的第二部分内容是优选法。在生产实践和科学试验中，人们为了达到优质、高产、低消耗等目的，需要对有关因素的最佳点进行选择。这些选择最佳点的问题，都称之为选优问题。解决这些选优问题的方法称为优选法。上世纪70年代，我国著名数学家华罗庚在全国推广和普及了优选法，大大地提高了我国科技工作者、管理工作者、普通大众的

45、科学素养和数学水平。例如，在某化工生产中，一种产品的产量随加工的温度而变化。生产中，通常选用的加工温度在之间，随着温度的升高，产量随之加大。但当温度达到一定程度以后，随着温度的升高，产量反而降低了。现在，我们考虑通过做试验的方法，找到这个最佳温度，那么，如何设计我们的试验呢？分析这个例子可知，对试验结果产生影响的因素只有一个温度。实际上，产量与温度的关系可以用一元函数来刻画，其中为温度，为产量。但是函数的具体表达式是不知道的。在这个例子中，我们可以得到以下结论： 产量是温度的函数。 随着自变量的增加，函数的变化趋势是，先单调递增，再单调递减。这样的函数我们通常称之为单峰函数，但是峰在哪儿，我们

46、并不知道，它可以出现在定义域的任何地方。 先做一次试验得到一个结果，再做一次试验再得到一个结果。如下图（1）所示， （1） （2） （3）当在x2的产量大于x1时，就有如上图（2）、（3）的两种峰值的情况，我们可以根据这两次试验的情况，缩小因素的取值范围。用做试验的办法解决单因素选优问题，并不是同时做好几个试验，而是先做两次试验，通过对试验结果的比较，去掉不含最佳点的区间，缩小因素的取值范围。再将第三次试验的结果与上次保留的试验结果加以比较，再次去掉不含最佳点的区间。如此继续下去，不断的缩小因素的取值区间，可以迅速地找到最佳点。这就是解决单因素选优问题的基本思想。根据这样的基本思想，如果限定试

47、验次数，我们设计了分数法。如果不限制试验次数，我们又设计了0.618法。对于单因素的情况，还有二分法等其他方法。对于两个因素情况的优选法，也可以介绍几种优选的方法。例如，纵横对折法和平行线法等。三、重、难点重点： 试验设计中“均衡搭配”的思想，优选法中“选优”的思想。 拉丁方和正交表的使用难点： 在试验设计中“均衡搭配”的思想 分数法的证明思想四、教学要求教师应该通过对具体实例的分析，帮助学生体会“均衡搭配”的思想。在这部分内容的教学中，教师应引导学生把握优选的基本思想。教师还可以引导学生把这种方法和在必修1中所学的二分法求方程的解作比较，探索它们之间的本质联系。我们建议教师引导学生对于本专题

48、的内容进行分析和整理，写出一个好的读书报告，这对于学生学习能力的提高是个好的途径，也便于一个好的学习习惯的养成。五、文献参考1 华罗庚：优选法平话及其补充，科学出版社，19712 华罗庚：优选学，科学出版社，1981年3 陈希孺：机会的数学，清华大学出版社和暨南大学出版社，20004 中国现场统计会三次设计组等：正交法和三次试验设计，科学出版社，19852.8 统筹法与图论初步一、背景统筹法，即合理安排我们要做的事情，提高我们的工作效率，使得做事情不忙乱，有条理。在管理科学中，统筹法成为基本的方法。项目管理的理论基础是统筹法、图论、统计概率。图论是离散数学的一个分支，主要讨论的是离散数学的问题

49、。图论是数学中有广泛实际应用的一个分支。心理学、化学、电工学、运输规划、管理学、销售学以及教育学等各个不同领域内的许多问题都可以描述为图论的问题。在本专题中我们只能介绍一些初步的图论知识，讨论有关图论的基本概念和图论中的几个基本问题。例如，最短路问题、最小生成树问题等。体会图论反映的基本数学思想及其在其它领域中的广泛应用。图论与传统数学不同，它是“一事一法”，很少有通法，但是它的应用非常广泛，并且和算法的联系比较紧密。 二、知识结构和内容定位1知识结构框图2内容定位统筹方法是我们日常生活、生产实践中常用的一种数学方法，它可以帮助我们合理安排人力、物力等资源。1964年，中国著名数学家华罗庚在全

50、国对这种方法进行了大力推广，提高了广大科学工作者、管理人员和普通群众的科学素养。本专题将通过实例介绍统筹方法的数学原理和应用。我们用一个例子来介绍统筹法。例如，生活中经常需要沏茶。如果当时的情况是：没有开水，开水壶、茶壶、茶杯都要洗，还需要准备茶叶，应该怎么安排？办法甲：先做好准备工作：洗开水壶、茶壶、茶杯，拿茶叶。一切就绪后，灌水，烧水，等水开了泡茶喝。办法乙：洗净开水壶后，灌水，烧水。等水开了之后，洗茶壶、茶杯，拿茶叶，泡茶喝。办法丙：洗净开水壶后，灌水，烧水。利用等待水开的时候，洗茶壶、茶杯，拿茶叶，等水开了泡茶喝。哪种办法节省时间？显然是办法丙，因为前两种办法都“窝工”了。事实上，洗开

51、水壶是烧开水的先决条件；没开水，没茶叶，不洗茶壶、茶杯，就不能泡茶，因而这些都是泡茶的先决条件。而烧开水，洗茶壶、茶杯，拿茶叶没有严格的先后关系。我们可以用下图来直观地表示以上三种办法。甲：乙：丙： 假设洗开水壶需要分钟，把水烧开需要10分钟，洗茶壶、茶杯需要分钟，拿茶叶需要分钟，而泡茶需要分钟。从图中可以看出，办法丙总共要1分钟，而办法甲、乙需要1分钟。如果要缩短工时，提高效率，主要是烧开水这一环节，而不是拿茶叶这一环节；同时，洗茶壶、茶杯，拿茶叶总共需要4分钟，完全可以利用“等水开”的时间来做。这虽是小事，却引出一种计划和管理的有效方法。从事一项生产或工程，如果工作环节太多，关系复杂时，这

52、样做就非常必要，它可以避免由于一、两个零件没完成，而耽误一架复杂机器的出厂时间，也不会由于抓的不是关键环节，连夜加班，急急忙忙的完成这一环节，却又坐等别的环节完成才能继续。由这个例子可以看出统筹法有几个关键的步骤： 要学会确定工序和工序的结构，即要知道哪道工序是哪道工序的紧前工序。 应该学会用统筹图把工序之间的关系清晰直观的描述出来。 要学会确定统筹图中的关键路线，并且知道每个工序的最迟发生时间。这样就可以适当的安排人力物力保证整个工程的进度。统筹方法在数学上没有太大的难度，可是建立统筹思想却是非常重要的。图论中的图是由有限个点和有限条边组成的，如下图所示： 通常我们把这个图表示为：G（V，E

53、），其中：点的集合为：V=北京，上海，广州，重庆，西安。 边的集合为：E=（北京，上海），（北京，广州），（北京，重庆），（北京，西安），（上海，广州），（西安，重庆），（重庆，广州）。 我们需要研究这种图可以提供给我们哪些好处？图的最小生成树问题和最短路问题都有着广泛的应用。在这部分内容中，我们关心的是：解决问题的一般算法。即寻找一个算法，使得对于任意给定的一个图，都可以用这个算法找出该图的最小生成树（最短路）。图论属于离散数学的范畴，在日常生活中经常会碰到离散数学的问题。因此，我们对离散数学的初步了解，对于以后的生活和自身发展都是有意义的。教师应把这样一种思想渗透给学生。这种思想在高中的其

54、他课程中也有体现，比如，数列、差分等问题，都体现了用离散的方法去讨论问题的思想。三、重、难点重点及难点： 统筹与图论中的算法思想 四、教学要求在本专题的教学中，教师应该利用具体实例帮助学生建立统筹思想，并能运用到日常生活中去解决一些简单的问题。图论这部分内容的难点在于对算法思想的理解，这方面是教师在教学中特别要注意的地方。教师应该通过具体实例帮助学生来理解求解问题的算法。五、文献参考1 华罗庚：统筹方法平话及补充，中国工业出版社，1962 H. A. 塔哈：运筹学，吴立煦等译，上海人民出版社，19853 COMAP：数学的原理与实践，申大维等译，高等教育出版社和施普林格出版社，19982.9

55、风险与决策一、背景这是一个数学应用的专题。在现代社会中，人们面临着各种问题，针对着各种情况要做出决策。而无论何种决策都会有不确定的情况出现。例如，经济上的投资，设计面对自然灾害的预防方案等等。这样的例子在日常生活和生产实践中比比皆是，这些决策问题都是有风险的。了解有关风险决策的基本知识，形成风险意识，对每一个学生来说都是非常重要的，在一定意义上，可以提高人的生活质量，也是在现代生活中的一种基本素质。二、知识结构和内容定位1知识结构框图 2内容定位1）风险决策问题要用到一些概率的知识，我们可以通过实际问题的解决过程，引入相关的知识。根据学生不同的知识背景可以选择不同的处理方法。2）决策与决策的“损失”是密不可分的。我们可以用数量来表示这个“损失”（为方便起见，我们把收益也统一称为损失，即，负的损失）。由于我们面对的是随机现象，损失是随机的，“损失”的可能性的估计是一个比较复杂的问题，在我们所讨论的风险决策问题中，一般都由问题直接给出，例如在“台风问题”的例题中，尽管我们已经确定了防备台风的方案，但台风带来的损失是随机的，依赖