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文档简介

1、§2 数集. 确界原理(一) 教学内容：实数的区间与邻域；集合的上、下界，上确界和下确界；确界原理难 点： 上、下确界定义的理解、数集确界的证明二) 教学目的：1）正确使用区间和邻域概念，掌握集合的有界性的证明；2）初步理解上下确界的定义及确界原理的实质。（三）基本要求：1）掌握实数的区间与邻域概念；分清最大值与上确界的联系与区别；结合具体集合，能指出其确界；2）能用定义证明集合的上确界为即：有，且 使得 (三) 教学建议：(1) 此节重点是确界概念和确界原理不可强行要求一步到位，对多数学生可只布置证明具体集合的确界的习题(2) 此节难点亦是确界概念和确界原理对较好学生可布置证明抽象

2、集合的确界的习题一 区间与邻域: 区间邻 域设与是两个实数，且，称点集 为点 的邻域，记作 称点集 为点 的去心邻域记作的右邻域 的右空心邻域 的左邻域 的左空心邻域 邻域 邻域 邻域 二 有界数集 . 确界原理:1. 有界数集: 定义(上、下有界, 有界) 设 S为实数R上的一个数集，若存在一个数M（ L）, 使得对一切 都有 ，则称S为有上界(下界)的数集。若集合S既有上界又有下界，则称S为有界集。例如，区间 、为有限数）、邻域等都是有界数集，集合 也是有界数集. 无界数集: 若对任意，存在 ，则称S为无界集。 例如，有理数集等都是无界数集, 例1 证明集合 是无界数集.证明：对任意, 存

3、在 由无界集定义，E为无界集。MM+1确界，先给出确界的直观定义：若数集S有上界，则显然它有无穷多个上界，其中最小的一个上界我们称它为数集S的上确界，记作 ；MM2M1上确界上界同样，有下界数集有无穷多个下界，称最大下界为该数集的下确界，记作 。 m2mm1下确界下界精确定义定义2 设S是R中的一个数集，若数 满足以下两条：（1） 对一切 有 ，即 是数集S 的上界；（2） 对任意，存在 使得（即是S的最小上界），则称数为数集S的上确界。记作 S定义3 设S是R中的一个数集，若数 满足以下两条：（3） 对一切 有 ，即 是数集S 的下界；（4） 对任意，存在 使得（即是S的最大下界），S则称数

4、为数集S的下确界。记作 例2 （1） 则 （2） 则注1 由确界定义，若数集S的上（下）确界存在，则一定是唯一的，且 注2 由上面例子可知，数集S的确界可以属于S，也可以不属于S。例3 设数集S有上确界，证明 证明 （略）定理1.1 (确界原理). 设 S 为非空数集，若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界。证明 不妨设 S包含非负数，S有上界 存在自然数 ，使得1）； 2）存在在 内作10等分，分点分别为： 存在自然数 使得 1） 2）存在 1） 2）存在 按上述办法无限作下去，得到实数 ，可以验证。例4 设和是非空数集. 若对和都有 则有 证 和都有 是的上界, 而 是的最小上界 此式又是的下界, （B的最大下界）例5 和为非空数集, 试证明: 证 有 或 由 和 分

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