2020届河南九师联盟高三上学期9月联考数学试题(解析版)

1、2020届河南九师联盟高三上学期9月联考数学试题一、单选题31 .已知i为虚数单位，则复数(2 -i)i的虚部为()A. 2B.2C. -1D.1【答案】A【解析】根据i2 = -1化简(2 -i)i3= -1 -2i根据虚部的定义即可选出答案。【详解】,._. 3 一一由(2i)i =i(2i) = 1 2i ,所以虚部为2.故选 A.【点睛】本题考查复数的运算，以及虚部的定义，需要注意的是复数z = a + bi的实部为a ,虚部为b ,属于基础题。2,已知集合 A =x| x2 4x , B =x|2 x5,则 AlJ B =()A. x | 0 ： x ： 2 B.x | 4 ： x

2、： 5 C. x 12 ： x ： 4 D. x | 0 ： x : 5【答案】D【解析】解出A集合，再由并集的定义写出AlJ B即可。【详解】由 A =x |x2 4x= A=x|0x4,则 A=B=x|0xc5.故选 D.【点睛】本题主要考查集合的并集，正确求解一元二次不等式，是首要条件。属于基础题3 .埃及金字塔是古埃及的帝王(法老)陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金字塔.令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字巧合”.如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍，得到的商为3.14159,这就是圆周率较为精确的近似值.金字塔底部形为正方形，整个塔

3、形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完成后，底座边长大约230米.因年久风化，顶端剥落10米，则胡夫金字塔现高大约为()A.128.5 米B.132.5 米C.136.5 米D.110.5 米【答案】C【解析】设出胡夫金字塔原高，根据题意列出等式，解出等式即可根据题意选出答案。【详解】230 4230 4胡夫金字塔原图为 h ,则 =3.14159 ,即卜=% 146.4米，2h2 3.14159则胡夫金字塔现高大约为 136.4米.故选C.【点睛】本题属于数学应用题，一般设出未知数，再根据题意列出含未知数的等式，解出未知数,即可得到答案。属于常规题型。4 .函数f(x)=(x1)ln(x1)的图

4、象在点(2,0)处的切线方程为()A. y=x-2b. y=2x-4 c. y =-x 2 d, y = -2x 4【答案】A【解析】根据题意求出f (2) =1 ,再由点斜式写出切线方程，即可选出答案。【详解】由f (x) =ln(x1)+1，则f Q) 1 ,所以函数f(x)的图象在点(2,0)处的切线方程为y =x -2 .故选 A.本题主要考查函数上某点的切线方程，需熟练掌握函数的求导法则，属于基础题。 W 1，、一5.已知向量a = (1,3), bA. 一, ,5若c/(a-2b),则单位向量c =B , I 或,.5,55, 5C.2五5序D.21灭)或他运、I 2 ,2 / 1

5、2, 2【解析】根据a,b计算出a-2b =(-3,4),再根据C/(22b)与% = 1即可解出co因为 a =(1,3), b所以a2b = (-3,4),又c“a 2b ，所以存在实数 九，使C = M：2b)，所以 =囚|：一2：,所以囚=1或。I 55l5 5).故第24页共19页选B.【点睛】 本题考查向量的坐标运算，向量平行，单位向量的定义，属于基础题。6.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（A.2B.3C.4【答案】D【解析】按程序框图计算 -判断-循环即可得出答案。D.5.,1 一 1 一1=1 时，m=, S = 2；221=2时，m=, S = 2, 36.八3531

6、=3 时，m=, S = 2,输出结果为1=5.故选D.8120本题考查程序框图的条件循环，按程序框图依次循环计算即可，属于基础题。8167.记Sn为等比数列an的前n项和，若a2a3 =一，a5 =一，则（932n【答案】D-n 1B. an =3C.Snn )3 -1D. Snn )2 -1【解析】根据题意联立方程组，即可解出a1与q,即可写出an , Sn。2 3aq设公比为q,有4aq89 o9解得16,313,则q = 2,1-22n -1 .故选 D.【点睛】本题考查等比数列的通项公式与前n项和公式,根据题意列出方程组，解出基本量是首要条件，属于基础题。8.从1, 3, 5, 7,

7、 9中任取两个数，从0, 2,4, 6, 8中任取2个数，则组成没有重复数字的四位数的个数为（A.2100B.2200C.2160D.2400【解析】因为四位数的千位数不能是0,故需讨论4个数中是否含有0,分别计算出再224C5C 4A 4 = 1440 ；这 4求和即可得出答案。这4个数中没有零时，组成没有重复数字的四位数的个数为个数中有零时，组成没有重复数字的四位数的个数为C2c4A3A3 =720 .所以组成没有重复数字的四位数的个数为 1440 + 720 = 2160.故选C.本题考查排列组合与简单的计数问题，其中还涉及分步计数原理与分类计数原理，解本题的关键在于又寺殊数字 0的处理

8、。属于基础题。B.C.【答案】CD.【解析】根据函数为奇函数排除B,再由xw(0,n), f(x)0排除D,再由x 1x+1, , f(x)，3r0,可得 f(x)0,排除 D；当 xW(0,ir)时，0x+sinx, x+1,当 xwn,代)时，0 x-Wx + sinx x+1 ,故当 x= (0,y)时x 1x+10x+sinx, x+1,此时f (x),m0),右对任息的头数 x, f(x), f .一 恒成立， I 3)则6取最小值时，f(D=()A. ,2B. 13C. -2D. - .3【答案】B【解析】对任意的实数 x, f (x), f .一 恒成立即说明f(x)在x=一处取

9、最大值，即可6.QJ6求出切的最小值，即可求出 f(%)的值。【详解】Qn ) nkn由题意可知 sin .一8-=1 ,得0 一一 =2kn + (k w Z),则63632值=12k +5(k eZ),可得0的最小值为J n5,此时 f (x) = 2sin 15x - 3, , . . . （_兀）一. 兀r 一、人一f （二）=2sin I 5二- =2sin = . 3 .故选 B. ,33【点睛】本题考查三角函数值，其关键在于根据其在 x=J取最大值解出三角函数，属于基础题。611.已知以正方体所有面的中心为顶点的多面体的各个顶点都在球O的球面上，且球O的表面积为20n ,则该正方

10、体的棱长为（）A. 2,5B.5C.2 6D.6【答案】A 【解析】根据球的表面积可求出其半径，再由多面体与正方体的位置关系可知正方体的棱长为其外接圆半径的 2倍，即可得出答案。 【详解】设球。的半径为R,有4nR2=20n ,可得R=J5,由正方体的中心到多面体的各个顶点的距离都相等， 得球。为该正方体的内切球， 所以正方体的棱长为 2R=2j5 .故 选A.【点睛】本题考查根据正方体内切球表面积求正方体的棱长，读懂题意，理解其位置关系是解本题的关键，属于基础题。212 .已知双曲线C：x2 与=180）的左、右焦点分别为 Fl, F2,过F2的直线与双 b2曲线交于A, B两点，若&ABF

11、,为等边三角形，则b的所有取值的积为（）A.痴B.2、3C. 14D.4【答案】B【解析】根据过 F2的直线与双曲线交于 A, B两点，则分A, B都在双曲线的右支上与A,B在双曲线的两支上，根据题意分别求出其对应的b值，再求积即可得出答案。【详解】设双曲线C的焦距为2c.如图，当直线 AB与双曲线C右支和交于两点时，设AF21 = m,则AF1 =AF2|+2 = m+2.由AABFi为等边三角形，有 BE, = AB =m + 2 ,可得BF? = 2 .又由双曲线的性质知 BFi BF2 = AB BF2I =m = 2,故BF2 = AF?, 所以 AB _L F1F2,可得 2c=2

12、*，有 c = J3, b = J2.如图，当直线 AB与双曲线C两支相交于两点时，设 BF2 =n，则BFi |=BF2 |+2 = n+2.由AABFi为等边三角形，有 AFi = AB =n+2,可得 AF2 =2n + 2,由双曲线的性质知 AF2 - AFi =(2n+2)(n+2) = 2,可得n = 2,则 |AFi| = 4, AF2 =6.在 AAFif 中，2c =2+62 -2父 4M6cos60、2万，得 c = ，b =粕由知b的所有取值的积为 J2J6=2J3.故选B.【点睛】本题主要考查利用双曲线与直线的位置关系解双曲线的标准方程，其中涉及到利用余弦定理的使用，属

13、于中档题。二、填空题13 .已知 a=2log32, b = log317 Tog34 ,则 a,b 的大小关系为 .(用“”连接)【答案】b . a【解析】根据对数的性质，将其化简作差与0比较，即可判断大小关系。【详解】由 a = log3 4 ,有 a b =2log 32 (log317 log3 4) = log316 log 3I = 0 .所以17a : b.【点睛】本题考查利用作差法比较大小，解本题的关键在于熟练掌握同底对数的运算性质，属于基础题。14 .驾驶员 科目一 ”考试，又称科目一理论考试、驾驶员理论考试，是机动车驾驶证考核的一部分.根据机动车驾驶证申领和使用规定，考试内

14、容包括驾车理论基础、道路安全法律法规、地方性法规等相关知识.考试形式为上机考试100道题，90分及以上过关.考试规则是：若上午第一次考试未通过，当场可以立刻补考一次；如果补考还没过，那么出了考场缴费后，下午可以再考，若还未通过可再补考一次.已知小王每一次通过考试的概率均为 0.5,且每一场考试与补考是否通过相互独立，则当天小王通过科目一 ”考试的概率为.15【答案】16【解析】根据题意知小王当天有4次机会通过考试，且每次考试通过的概率都为0.5,小王要通过考试考试，4次机会中只需通过一次，而不通过，则需4次机会全部不过，这天考试小王只会出现两种结果，过与不过，因此可先求出其不通过的概率。再算通

15、过的概率。【详解】1115小王当天没有通过考试的概率为 -1 ,则小王当天通过考试的概率为1 -彳=15 .【点睛】本题考查随机事件的概率，本题若正面去求小王通过考试的概率，则需要讨论小王第次考试就通过、第二次才通过、第三次才通过、第四次才通过；但是根据对立事件的概 念，即可先求出其不通过的概率，再求通过的概率，这样就简化了解题思路，属于基础 题。15 .已知等差数列 心口的前n项和为Sn,且a5=az+a3, 3a+a4=14,贝u10 1 -=.i 1 Si10【答案】11【解析】先根据等式，建立ai与d的方程组，解出廿=2与d=2 ,写出S = n（n+1）,r10 1再利用裂项相消求及

16、可求出 。 1 设等差数列an的公差为d,有a1 4d = 2a1 3d4a3d =14,a1 = 2解得所以d =2,【详解】a=2+2(n1) = 2n,所以 Sn = n(2 22r)=n(n+1),则1,11111(110g = 11十 一+ f+| + 十f=1 =.4 (1).22310111111【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，等差数列前n项和公式，利用裂项相消求方法前n项和，正确解出Sn =n（n+1）是本题的关键，属于基础题。22x y16 .如图，已知椭圆C :=+J=1（a Ab0）,点A,B分别是椭圆C的上、下顶点, a2 b2点P是直线y = -2b上的一个动点

17、（与 y轴交点除外），直线PB与椭圆C交于另一点Q,直线AP , AQ的斜率的乘积恒为 -2 ,则椭圆C的离心率为 3【解析】设出Q （m，n）,根据B （0,七）与y = -2b可得到P bm ,-2b 即可计算 .n b小，n - b出 kAQ =，mkAP = n b） ,再根据点Q（m,n）在椭圆上与kAQ ap = -2 ,求出3b2 = 2a2,再结合a2 =b2 +c2化简即可得出答案。【详解】22222设点Q的坐标为(m, n),有，+ n2 = 1 ,可得m2 = a (b1n )点a的坐标为(0, b), a bb点B的坐标为(0, 4),直线BQ的斜率为n7，可得直线PQ

18、的方程为y =b x-b，代入y = -2b ,可求得点P的坐标为1-bm,-2b l;直线AQ的斜 m. n b3(n b)m率为一八，3b则直线AP的斜率为变 n：；b3b2=-2一422_22n -b 3(n b) 3(n -b )3(n -b )二2二27 m mm a (b - n )b可得 3b2 =2a2 ,有 3a2 3c2 =2a2 ,得 e =立.3【点睛】本题考查根据椭圆中两直线斜率为定值求其离心率，设出点Q ,用点Q表示出kAQ与kAP是解本题的关键，属于中档题。三、解答题17 .在 AABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c, J3asin B 十 bc

19、os A = 2b .(1)求角A的大小；(2)若c = 3, MBC的面积为3J3，求a .【答案】(1) ； ；(2) a =A .【解析】(1)利用正弦定理，将J3asinB+bcosA =2b中的边化为角，化简再利用辅助角公式即可求出角 A的值。1 .(2)根据S&BC =bcsinA可求出b=4,再利用a边的余弦定理即可求出 a的值。【详解】(1)因为J3asin B+bcosA =2b ,所以由正弦定理，得/3sin Asin B +sin BcosA = 2sin B ,因为 0 B 0,所以if 冗)J IT73 sin A +cosA = 2,即 sin l A + =1,又

20、0An ,所以 A+ = 一 ,所以 662JTA =一3(2)由 S.abc1 1. A 1 二 3, 3b=bcsin A =父 36sin =3j3 ,佝 b = 4.2234由余弦定理，得a 7b之 +c2 +2bccosA = ,42 +32 -2x4x3xcos = J9 + 1612 =S3 .【点睛】 本题考查解三角形，正弦定理一般用于等式两边为边或角正弦值的齐次式时边角的互 化，余弦定理一般用于等式两边含有角的余弦值时或具有两边的平方和减第三边的平方 的时候，属于基础题。18.如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，点M, N分别为线段AC1 , AB的中点,冗AC=BC=

21、4, AA1=1, /ACB= .2(1)证明：AC .L MN ;(2)求平面AAB1B与平面MNB1所成锐二面角的大小.【答案】(1)证明见解析；(2).4【解析】(1)取线段AC的中点P，连接PM , PN .通过说明PM 1 AC , PN -LAC即AC _L平面PMN ,来说明AC -LMN 。(2)以点C为坐标原点，CA, CB, CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系C -xyz,由题意知CN =(2, 2,0)为平面AA1B1B的法向量，计算出平面MNB1的法向量n =(2,1,2),再利用公式 8sCN n产即可计算出平面CN】nAAiBiB与平面MNBi所

22、成锐二面角。【详解】(1)证明：如图，取线段 AC的中点P ,连接PM , PN . . AM=MCi, AP = PC, .PM/CC1.在直三棱柱 ABC AB1cl中，CC1 _L AC ,PM _L AC .AP=PC, AN=NB, PN/BC. BC _L AC , PN _L AC . MPcPN=P, MPU 平面 PMN, NPu 平面 PMN, . AC _L 平面 PMN . MN u 平面 PMN , AC _LMN .(2)解：如图，以点 c为坐标原点，CA, CB, CCi所在直线分别为x轴、y轴、轴建立如图所示空间直角坐标系C -xyz,则 C(0,0,0) ,

23、A(4,0,0) , B(0,4,0) , Ci(0,0,1) , N(2,2,0) , Bi(0,4,1), M (2,0,1)AC=BC, AN=BN, CN .L AB . CN _L AA1. . . CN _L 平面 AA1B1B , 故CN =(2,2,0)为平面AA1B1B的一个法向量.设平面 MNB1 的法向量为 n=(x,y,z),由 BM = (2,4,0) , NM = (0, -2,1), i则陋所以!x = 2y,取丫 = 1则%(2,1,2)NM n = -2y z =0, z =2y,可得 CN I =6，又 |CN =2&，n|=3,cosCN,n)=-6=.6

24、.2231 故平面AA1B1B与平面MNB1所成锐二面角的大小为 一.4【点睛】本题考查异面直线垂直，两平面所成锐二面角的大小。几何法证明线线垂直，需先证明线面垂直，根据线面垂直的性质定理说明线线垂直。若用向量法，则直接建系，利用两向量的数量积为 0来说明两直线垂直。 要求面面角一般利用平面的法向量公式来求。属于基础题。19.已知抛物线C ：y2 =4x的焦点为F,过点D(2,0)的直线l与抛物线C相交于A, B 两点.(1)若MBF的面积为3,求直线l的方程；(2)试判断以线段 AB为直径的圆与点 F的位置关系，并说明理由.【答案】(1) 2x y 4 = 0或2x+y4 = 0； (2)点

25、F在以线段AB为直径的圆内.【解析】(1)设直线l为x = my + 2,再与抛物线联立方程，即可得到y1+y2 = 4m ,yi y2 = -811再利用 Za 式SBF =SDFSDF=2 DFy2 y1- 2( y2+ y1)- 4 yly2 =3 解出即可。2(2)令 A =(x，y)，B =(x2,y2),则由(1)知 x1x2 =4 , x1 一 x? = 4m + 4 ,判断*FA FB的正负即可说明点F与以线段AB为直径的圆的位置关系。【详解】(1)由题意知焦点F的坐标为(1,0).设A, B两点的坐标分别为(x1,y1), (x2, y2),直线l的方程为x = my + 2

26、 . 2、 y = 4x,、2.联立万程消去x,整理得y24my 8 = 0,可得y#y2=4m,x = my 2,y1 y2 = -8 ,_1 _S卷BF =SDF +S&DF =_2 M DF 乂、2 -、1 =1. (y2 yi)2 -4yiy2 =；16m2 32 t 2 m2 21由MBF的面积为3,可得2dm2 +2 =3，解得m = ，故直线l的方程为2x - y-4 = 0或2x+y-4 = 0 .2 2(2)由(1)知 x1x2 =_y_yl = 4 , 8 X2 =m(y + y2)+4 =4m2 + 4 .16uir又由 FA=(x1,y) , FB - -旧， I可得

27、FA FB =(x -1)(x2 -1) y1y2 = x1x2 -(x2 x2) y1y2 -1，=4 -(4m2 +4) -8 +1 = -4m2 -7 0 .故NAFB为钝角，点F在以线段AB为直径的圆内【点睛】本题考查根据抛物线与直线相交三角形的面积求直线方程，利用向量的数量积小于 0说明点在圆的外面。属于中档题。且各袋牛20.某超市采购了一批袋装的进口牛肉干进行销售，共 1000袋，每袋成本为30元，销售价格为50元，经过科学测定，每袋牛肉干变质的概率为 肉干是否变质相互独立.依据消费者权益保护法的规定：超市出售变质食品的，消费者 可以要求超市退一赔三.为了保护消费者权益，针对购买到

28、变质牛肉干的消费者，超市 除退货外，并对每袋牛肉干以销售价格的三倍现金赔付，且把变质牛肉干做废物处理， 不再进行销售.(1)若销售完这批牛肉干后得到的利润为X,且7500 E(X ) 10000 ,求p的取值范围；1 (2)已知p=，若超市聘请兼职员工来检查这批牛肉干是否变质，超市需要支付兼20职员工工资5000元，这样检查到的变质牛肉干直接当废物处理，就不会流入到消费者手中.请以超市获取的利润为决策依据，判断超市是否需要聘请兼职员工来检验这批牛肉干是否变质？11【答案】()一 p5000 ,以超市获取的利润为决策依据，故2016超市需要聘请兼职员工来检验这批牛肉干是否变质.【解析】(1) Y

29、表示这1000袋牛肉干中变质牛肉干的数量，首先计算出1000袋牛肉干变质的期望值E(Y) =1000 p ,再代入E(X) =(1000E(Y)(50 30) E(Y)m(30+50 父3),再解出不等式即可。(2)对这批牛肉干来说，变质牛肉干不管数量有多少，未变质牛肉干销售后产生的利润与变质牛肉干作废物处后产生的费用是不变的.是否聘请兼职员工来检查这批牛肉干是否变质，产生的费用是工资和给消费者赔付的费用.即只需判断赔付费用与工资的大小关系即可说明是否需要聘请兼职员工。【详解】(1)令Y表示这1000袋牛肉干中变质牛肉干的数量.由题意有 YB(1000, p),则 E(Y)=1000p,故 E

30、(X) =(1000 -1000 p)(50 -30) -1000 p 父(30+50 M 3) = 20000 -200000 P .由 7500 E(X) 10000 ,有 7500 20000-200000P 10000,解得:1 1一 p 一 .201611故当7500 cE(X) 10000时，p的取值范围为 p 20162 2)11当 p =时，由(1)知，E(Y)=1000x = 50 .2020设需要赔付给消费者的费用为2元，有刈2)=50父3父50 = 7500 .由7500 A5000,以超市获取的利润为决策依据，故超市需要聘请兼职员工来检验这批牛肉干是否变质.【点睛】本题

31、考查根据数学期望求概率，数学期望在实际生活中的应用，读懂题意理解数学期望的意义是解本题的关键，属于中档题。 x一五一)21.已知函数 f(x)=e cosx x= .|，收 .，2 刀(1)证明：函数f (x)在区间 ,0存在唯一的极小值点 x0,且x= -一 ,0 ;24(2)证明：函数f (x)有且仅有两个零点.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.一,*一、，、(冗)、,一，一，冗、八【解析】(1)求出f (x),再说明f (x)在区间.12,0 W调递增，且f (-)23=84 ,可得兀=e4.211.2-ee4、2.2e44-0 ,故存在唯一的x0“使得.31所以当x - I

32、, x02|时 g(x) 0,即 f (x) 0 ,即一 f 冗 .f (x) 0 ,所以函数f (x)在区间.一一，x0上单倜递减，在区间(x0,0)上单调递增,2所以函数f(x)在区间.-,0 |存在唯一的极小值点 xq,且x。二n J .-,0 .4(2)由f (0) =e cos0=0,可得x = 0是函数f(x)的一个零点;当 xW(0, Z)时，cosx, 1 , ex 1,可得 f(x)=excosxA0 ,此时函数 f(x)没有零点;JT )，由f 2I Ji一 cos I -2=e0, f(0) =0 .由(1)知f(x)mn =f(x。)f(0)毛，可得函数f(x)在区间,

33、一,x0 上有且仅有 2个零点.综上，函数f(x)有且仅有两个零点.【点睛】f(x)的异号零点，函2cos 二: 2sin 二卜45本题考查利用导数求函数的极值点与零点，需要区分极值点是 数的零点是f(x)=0的解。属于难题。八.x = -4 2t,22 .在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点Oy = -t为极点，x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方4程为p2二4.3sin i 1(1)求直线l和曲线C的直角坐标方程；(2)若点P为曲线C上任一点，求点 P到直线l的距离的最大值，并求此时点P的坐标.【答案】(1) x+2y+4=0,x

34、l + y2=i ；4斤2加,仿41452【解析】(1)将直线l消参即可得到直线l的直角坐标方程，利用公式x = ？ cos 22化简即可得出答案。,x2 y2 y = : sin . ax+by + c(2)写出曲线C的参数方程，再代入点到直线的距离公式 d= j，化简计,a2 b2算即可得出最大值，以及此时的P点的坐标。【详解】(1)将直线l的参数方程消去参数t可得直线l的直角坐标方程为 x + 2y + 4 = 0.2将P2 =x2 + y2, y = PsinH代入曲线C的极坐标得x2+4y2 = 4 ,即上 + y2 =1，42故曲线C的直角坐标方程为土 + y2 = 1 .4x = 2cos ,- rc c、(2)设曲线