第五讲导数及其应用(精)

1、同步讲台（ 5）第五讲 导数及其应用知点考点答点导数由有限向无限的发展.初等数学无法有效地处理无限问题，解决这类问题的基本方法是借助微积分，而微积分的入门知识便是极限与导数 .导数的经典定义是：如果函数 yfx 在点 x0 的某个邻域有意义，则对于自变量x 的任一改变量x ，相应的函数改变量yf x0xf x0，如果极限limy 存在，则称函数 fx在点 x0 处可导，并称这个极限值为 fx 在点 x0 的导数（或x 0x微商） .记作 ylimf xx fx .x 0x函数 fx在点 x0 的导数的几何意义，是曲线fx在该点切线的斜率 .【例 1】 设 fx 为可导函数，且满足f1f12xl

2、im2x1 ，则过曲线 y=x 0f x 上点 1, f1处的切线斜率为（）A.2B.-1C.1D.-2【思考】本题中作为解题条件的极限式，不是导数定义的标准形式.所以解题的第一步，应该将这个极限式变形为标准形式.f1f12x1.这里 x=1，而【解析】由条件得：lim1(12x)x 0x 12x ，可知： fx在该点切线的斜率f11.选 B.导数的应用之1 一 -求曲线的切线方程 .【例 2】与直线 4xy 30 平行的抛物线 y2x2 的切线方程是（）A.4 x-y+1=0B.4x-y-1=0C.4x-y-2=0D.4x-y+2=0【思考】切线的斜率已知，要点是求切线的切点.【解析】所求切

3、线与直线4 xy30 平行，斜率k=4.由 y2 x2y4 x .令 y4x4 ，得 x1 ，从而 y2122 ，知切点为- 1 -M （1， 2），所求切线方程为：y 2 4 x1 ，即 4xy 20 ，故选 C.【反思】由于是选择题，本题在求出切点后，也可直接将M（ 1， 2）代入各选项，仅 C适合，故选 C.导数的应用之2 一 -求函数的单调区间和极值点 .【例 3】函数 yx2 233 （）A. 在 x2 处有极值B. 在 x 0 处有极值C. 在 x2 处有极值D. 在 x2,0处都有极值【解析】显然 y33是偶函数 .x2 2 y6 xx2220 时 y0；当 x 0 时 y0 .

4、即函数 y3, 当 xx2 23 在0,上递增，在,0 上递减 . x0 是唯一极值点 .选 B.6x x220, 得 x 0,2 .据此选答 D 就错了 .这是因为【反思】本题若直接解方程2方程 y0 的解只是该点成为极值点的必要条件.只有曲线在该点存在平行于x 轴的切线，才能称为极值点 .【例 4】已知函数 f xax3 x2 bx2a,b,c R且a0 在区间,0 上都是增函数，在（ 0， 4）上是减函数 .（ 1） 求 b 的值；（ 2）求 a 的取值范围 .【解析】 由条件知 x0 是函数 yfx 的极值点 . f x 3ax2 2x b ，令 f 0 0，得 b 0 .已求 b 0

5、， fx3ax2 2x .令 f x0 ，得 x0,2 .由条件知 x 03 a为极大值点，则 x2应为极小值点 .又知曲3 a- 2 -线在区间（ 0， 4）上是减函数 . 24 ，6a 10 ，得 a 0, 1.3a3a6【归纳】高于二次的多项式函数，确定其单调区间的基本方法是确定该函数的极值点.但是，已知函数的单调区间，则其端点处不一定是该函数的极值点.如在本例中， 不能断定 x4即为极小值点，有可能该点x2在 x4的右边 .3a导数的应用之 3解不等式 .【例 5】 设 fx , gx均是定义在 R 上的奇函数， 当 x0 时，f x g x f x g x0，且 f 20 ，则不等式

6、fxgx0 的解集是（）A.2,02,B.2,2C., 22,D.,20,2【解析】设F xfxg x ，则.当 f x, g x 都是 R 上的奇函数时，F x f x g x 是 R 上的偶函数 . f2 0，F 2 F2 0. x 0 时， F x f x g x f x g x0， F x 是 R- 上的增函数，从而是 R+ 上的减函数 .F x 的大致图象如右图所示：故不等式fxg x0 的解集是： C., 22,，选 C.【归纳】只要根据导数知识确定函数的增减区间，再画出简易图形，那么写出有关不等式的解集是轻而易举的事 .导数的应用之4求函数的最值.【例 6】ABC 中， O 为中

7、线 AM 上的一个动点，若 AM =2，则 OA（ OB+OC ）的最小值是.【解析】延长AM 到 D，使 MD=OM ，连BD ，CD .则 OB+OC=OD =2OM .令 OA=t ，(0<t<2).- 3 -则 OM =2-t. 于是OA（OB+OC） =2 OA OM =-2t（ 2-t） .令 f t2t24t ，则 f t4t4 .再令 ft0，得 t=1. 于是f t=2-4=-2.min【评注】本题中向量的数量积实质是二次函数，其图象是0 t 2 内的抛物线部分，它有唯一的极值点，在这种情况下，极值也是最值.导数的应用之 5求函数的解析式32cx在点 x0 处取得

8、极大值5，其导函数 yf x 的图【例 7】已知函数 f x axbx象经过点（1， 0），（2， 0）如图所示 .求：（ 1） x0 的值；（2） a、 b、c 的值 .【思考】右图是fx 的导函数的图象，它说明：f x 0 的解集，也就是函数的极值点为x=1 和 x=2； x,12,时， fx0， fx在区间,12,是增函数 . x1,2时， fx0， fx 在区间 1,2上是减函数 .【解析】函数fx的增减变化如下表：x,111,222,fx+0-0+fx极极大小（ 1） fx在 x=1 处由增变减，故f 1 为极大值，即 x0 =1.（ 2）由于 fx3ax22bx c ，f103a2

9、bc0a2f2012a4bc0b9f15abc5c12- 4 -通法 特法妙法【例 7】已知函数fx是区间 -1， +）上的连续函数.当 x0 时， f x1x1 ，则3 1x1f 0等于（）A.0B.1C.0或 1D.1或 166【解析】fx1121 1x21 1x 211x31x 311121 1x31 1x211x 31x 31211x11x 31x 3111 x11x 21211x 31x 3111x 21f01113故选 A112【解析2】 f0lim1x1lim1x13 1 x 1x 0x 03 1 x 111xlim2x 011x3122312 31 23【归纳】解法1 是通法 .为解决求 0 型的函数的极限问题，只须约去当x0 时，分子、0分母中可以为0的因式.解法 2 是特法 .即将分子、分母先分别取导数然后再求极限.【例 8】设 fxx x 1 x 2x n ，其中 nN ，则 f0（）- 5 -A.0 B.n n 1C.n ！ D.1nn ！2【解析】fx的表达式