向量在解析几何中的应用

1、向量在解析几何中的应用作者：嵩明县第一中学：吴学伟解析几何是历年数学高考舞台上必唱“主角”之一。近年来命题人往往以解析 几何的传统内容为载体，融合向量等其它相关知识，设计出与轨迹问题的交汇与整 合、向量与二次曲线方程问题的交汇与整合、向量与有关证明或范围问题的交汇与 整合。一、向量基础知识.(1)、向量的数量积定义：二| a|b |cosr、(3)、(4)、向量夹角公式：a与b的夹角为日,则cos日=向量共线的充要条件：b小量a共驾wr,使ka。两向量平行的充要条件：向量 a二、两向量垂直的充要条件：向量 a_Lbu,y),? = (x2,y2)平行 u x1y2x2y1=0 ab=0 = x

2、1x2 yly2 = 0(6)、向量的坐标运算：向量 a = (x1, y1), b =(x2, y2),则=X1X2 V1V2二、向量的应用1、利用向量证明等式一材料一：已知 口、P 是任意角，求证： cos(a P) =coso( cosP+sina sin P。证明：在单位圆上，以一轴为始边作角口 J边交单位圆于A,以x轴为始边作角P ,终边彳单位圆于 B,有 OA = (cosa,sino(),OB =(cosP,sin P),所以有:OAOB = cos： cos ：, sin 二 sin :q 1 tB = cos： cos :, sin 二 sin :T Tn又 OAOB =|O

3、A|OB|cos. AOB = cos( -)O.即 cos(:工 I ') =cos.： cos l：, sin 备sin :点评：对于某些恒等式证明，形式中含有cos(« -P)或符合向量的坐标运算形式，可运用向量的数量积定义和向量坐标运算来证明。2、利用向量证明不等式材料二：m, n, a, b, c, d 是正数。求证：Vab +Vcd Vma + n证明：设 h =( ma, nc),k =('一，二一)|h |二 ma nc,| k 尸由数量积中与标耳算芈得: 又因为 |h_k|h|k|,mhLkn二：/ab . cd所以 ab cd m ' ma

4、 nb d -一十一成立。m n向量不等式：|a|+|b目a+b|, |a|b|>|闫玲：当求解问题(式可，含看积或乘方时，可巧妙地利用向量数量积坐标表达式: al_b = xX2 +y1y2, |a|b|aLb|,构造向量解之。3、利用向量求值3材料二：已知 cos a +cos P cos(a + B)= ，求锐角 a , P。23-斛析：由条件得(1 -cos - )cos :，sin ：- sin - =- - cos -2T4设 m = (1 cosP,sin P) ， n =(cosa,sina),贝U m|_n = - - cos2由 mn <|m| n |,P ,

5、| m |= J(1 -cos B)2 +sin 2 日=，2 - 2cos B , |n|=1,得 3 - cos22 2 J2 - 2cos 口 ,即(cos P -)2 <0,21- 二二-则cosp =一 ,即P = 一，同理a =(因为a、P为锐角) 233点评：对于求值问题，巧妙地运用向量的数量积定义构造等量关系求值。变式：已知 A、B、C 的坐标分别为 A(3,0)、B(0,3) , C (cosa ,sin a ),(1 )、若 | AC |=| BC |,求角 a 的值；/c、 hFJiK / + 2sin 2 .工,sin 2;(2)、右 ac|_Bc = 1,求)1

6、 tan解析：(1) 7 AC = (cosot3,sin a) , BC ：的值。二(cos： ,sin 1-3)二 3 二院(万，万)。|AC|=J(cos 3) sin 二 '=2| BC |= cos 工，(sin : - 3)由 | AC |=| BC |得 sin a = cosa ,-,10- 6cos 二(2 )、由 ACJc- 10 -6sin 二p，二 3二、又 a u (,),二 a2 2=-1 得(cosot -3)cosa +sin a (sin a _3) = 1二 sin 口 +cosu =(1)3_ _ 2_ _ _ 2_ .p 2sin 工 “ sin

7、 2二2sin 上1 2sin 二 cos-又=；=2sin 久 cosa1 tan ：-1 . sin ;cos -4由(1)式两边平方得 1 2sin二：cos-：92-.5 2sin ' sin 2工52sin a cosa =-,=-91 tan ：-94、利用向量求函数值域材料四：若 TX+Jy-2 =5,求x+y的最小值。解f 吗匕 m=h/x+?,7y-2) , n = (1,1)由 mn <|m|n|,得 Jx+1 7y _2 <，(x+1) +(y -2)V2即 Jx + y 7 之二，二 x + y 2 27 22当且仅当Jx +1 = Jy -2时，x

8、 + y有最小值空2变式：设x是实数，求 Jx2 2x + 2 + Jx2 10x + 34的最小值。解析：二 ”x2 -2x 2尸(x-1)2 12 , . x2 -10x 34 = J(x-5)2 32故可设 a = (x1,1), b=(5x,3).|a b|=4j2, x2 -2x 2x2 -10x 34 =|a| |b|_4.2当士zl =1 ,即x =2时等号成立。5 -x 3所以当x = 2时，v"x2 -2x + 2 +收 10X + 34取最小值4 J2点评：巧妙构造向量，可以解决条件最值问题，特别是某些含有乘方之和或乘积之和式子的 条件最值问题，用向量证明更有独特

9、之处。5、利用向量解决析几何问题材料六：过点M (-2,0)T 1 1OP -OA+ OB 。，作直线l交双曲线x2 y2=1于A、B不同两点，已知(1)、解析： 代入X求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。是否存在这样的直线， 使|OP|=| AB|?若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由。(1)、设直线l的方程为y =k(x + 2),2222222 -y2 =1 得(1-k2)x2 -4k2x-4k2 -1 = 0,224k4k 1当 k # ±1 时，设 A(x1, y1), B(x2, y2),则 x1 +x2 =2，x1x2 = -21-kk -1kl 4k24k%

10、y2 =k(X1 2) k(x2 2)5 4k 2T T T 一设 P(x, y),由 OP=OA + OB ,则24k 4k 、(x,y) =(x X2, y1 v2 =(2 ,2)1-k 1-k4k2x 二1 -k4ky21 -k一一 X再将一=k代入y4k22E(x 2-=41)当k =0时，满足(1)式；当斜率不存在是，易知 P(-4,0)满足(1)式，故所求轨迹方程为 (x + 2)2 - y2 = 4,其轨 迹为双曲线；当k = ±1时，l与双曲线只有一个交点，不满足题意。U)二 |OP田AB | ,所以平行四边形OAPB为矩形，OAPB为矩形的充要条件是OAJOB =

11、0,即 X1X2 +y/2 = 0。当k不存在时，A、B坐标分别为(-2J3) , (-2,-J3),不满足上式。又 X1X2 V1V2 =平2 k2(xi 2)(X2 )二(k2 1)(4k2 1) 2k214kk2-1k2 -12- 4k2 = 0，川口 k21、1一,化简彳导:ky=0 ,此方程无实数解，故不存直线k2 -1点评：平面向量和平面解析几何是新老教材的结合点， 类题应注重从向量积的定义和向量的加减法的运算入手， 共同点，综合运用解析几何知识和技巧，使问题有效解决。l使OAPB为矩形。也是近几年高考常考查的热点，解此还应该尽量联系向量与解析几何的22x y .变式：已知双曲线C

12、：=1 (a >0,b >0) , B是右顶点，F是右焦点，点A在X轴a b正半轴上，且满足|OA|、|OB|、|OF成等比数列，过f作双曲线c在第一象限的渐近线的垂线(1)(2)l ,垂足为P,如图所示。求证：PApP=PALFP;若l与双曲线C的左、右两支分别交于点D、E,求双曲线C的离心率e的范围。解析:(1 )直线l的方程为：y =-a(x-c),由解得P匡生)c cTjT*.1|OA|、|OB|、|OF|成等比数列，2 a 二A(一,0),故PA_Lx轴，如图所不。从肥利Op _pafp =PA_OF =0paOp = paLFpaz c、s、晶 y(xc)/曰 J 2(

13、2)、由 b二得b x2 22 22. 2b x -a y =ab4 a b2(x -c)2b2,444a2 2aao即(b -r)x丁cx2(x-c)b bb4 2a c 2 2-(-2- a2b2)b4K” =4<0, b2 ab下a2 = e2 2= e . 2点评：本题是平面向量的数量积、二次曲线、等比数列等知识的交汇与整合，近几年的高考解析几何题中，多次考到了证明题或范围问题，因而在复习中对这类题要给予一定的重视。随着复习的继续与深入，我们还可以看到平面向量与概率、导数、复数等知识的交汇与整合, 为命题者施展了优化创新试题的陈地，也为我们分析、解决问题的切入点开辟了新的视角。注

14、：解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：(1)给出直线的方向向量 u=(1,k陋u=(m,n )，要会求出直线的斜率；(2)给出OA + OB与AB相交，等于已知OA + OB过AB的中点；(3)给出PM +PN =0,等于已知P是MN的中点；(4)给出AP+AQ = MBP+BQ)等于已知p,q与ab的中点三点共线； _ - (5)给出以下情形之一： gB/_AC ；存在实数 七使AB =.AC ;若存在实数口，久且久十P =1,使OC =o(OA + POB,等于已知A,B,C三点共线.(6)给出OP = OA + "OB ,等于已知P是AB的定比分点,九为定比，即AP=?uP

15、B1 (7 ) 给出mA 'MB = 0 ,等于已知MA _L MB ,即NAMB是直角，给出MA MB = m < 0,等于已知AMB是钝角，给出MA MB = m > 0,等于已知AMB 是锐角。(8)给出m JMA +JMB = MP ,等于已知MP是/AMB的平分线/JMAI Bb (9)在平行四边形 abcd中，给出(AB + AD).(ABAD)=o,等于已知 abcd是菱(10)在平行四边形 ABCD中，给出 iAb aDihABAD|,等于已知 ABCD是矩形；222(11)在AABC中，给出OA =OB =OC ,等于已知O是AABC的外心(三角形外接 圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点)；(12)在AABC中，给出OA + OB+OC = 0 ,等于已知O是AABC的重心(三角形 的重心是三角形三条中线的交点)；(13)在mbc中，给出OA OB = oB OC =