初中锐角三角函数知识点总结

1、锐角三角函数及其应用榆林第六中学高启鹏一、锐角三角函数中考考点归纳考点一、锐角三角函数1、锐角三角函数的定义如图，在RtABC中，/ C为直角，则/ A为4ABC中的一锐角,/ A的正弦：sin A_.A的对边_ a斜边c/ A的余弦：cos A./A的邻边_ b斜边c/ A的正切：tan A.A的对边_ a.A的邻边b则有2、特殊角的三角函数值(1)图表记忆法(2)规三角公角300045600律记忆法：函数3045 、60角的正弦值的分母都是2,分子1依次为1、江、J3 .30°、45°、60°角余弦值恰好是 60°、4530角的正弦值。(3) 口诀记

2、忆法口诀是：“一、二、三，三、二、一，三、九、二十七，弦 比二，切比三，分子根号不能删.”前三句中的1, 2, 3; 3,2, 1; 3, 9, 27,分别是30° , 45° , 60角的正弦、余弦、正 切值中分子根号内的值.弦比二、切比三是指正弦、余弦的分母 为2,正切的分母为3.最后一句，讲的是各函数值中分子都加 上根号，不能丢掉.如 tan60 =叵=6，tan450 =灸=1.这种33方法有趣、简单、易记.考点二、解直角三角形1、由直角三角形中的已知元素求生其他未知元素的过程，叫做解直角三角形。2、解直角三角形的类型和解法如下表:、知和解法三角形类型已知条件解法步

3、骤B45c两边两直角边（如金，川由即以= 求4 *Z5=90b-ZJj料边，一直角边（如E - G由如且=-1求；ib-ftT摘税角，邻边（如4,6）Z5 =90c -ZA Q =bC-7CO&J捌角，对边（如，a）上3 = 9（产一图 i b = ， mWaC =7an J斜边，锐埼（如-4）Zfi =9C: - Z-A t di=c ' in J ib-c cosd考点三、锐角三角函数的实际应用（高频考点）仰角、俯角、坡度（坡比）、坡角、方向角仰角、俯角在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方 的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角。坡度（坡比）、坡角坡面的铅直身度h和

4、水平宽度l的比叫坡度（坡比），用字 母i表示；坡面与水平线的夹角口叫坡角,i=tanot="l方向角指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90。的锐角叫做方向角.注意：东北方向指北偏东 45方向，东南方向指南偏 东45°方向，西北方向指北偏西 45方向，西南方向指南 偏西45方向.我们一般画图的方位为上北卜南，左西右 东.:、锐角三角函数常见考法（一）、锐角三角函数以选择题的形式出现 例1、（2016?陕西）已知抛物线y=-x2-2x+3与x轴交于A、B两点，将 这条抛物线的顶点记为C,连接AC BC则tan / CAB勺值为（【考点】抛物线与X轴的交点；锐角三角函数的定

5、义.【解析】先求出A B、C坐标，作CDL AB于D,根据tan/ACD黑即可计 AU算.【解答】解：令y=0,则x22x+3=0,解得x=3或1,不妨设A （ 3, 0) , B (1,0),. y= - x2 -2x+3=- (x+1) 2+4,顶点 C ( - 1, 4),如图所示，作CD!AB于D.在 RTACD+, tan/CAD器=1=2,故答案为D.（二）、锐角三角函数以填空题的形式出现 例2、（2016?陕西）请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第 一题计分.A. 一个多边形白一个外角为 45° ,则这个正多边形的边数是8 .B.运用科学计算器计算：3VHsi

6、n73 ° 52' -11.9.（结果精确到0.1 ）【考点】计算器一三角函数；近似数和有效数字；计算器一数的开方；多 边形内角与外角.【解析】（1）根据多边形内角和为360进行计算即可；（2）先分别求 得3T和sin73° 52'的近似值，再相乘求得计算结果.【解答】解：（1） .正多边形的外角和为360这个正多边形的边数为：360 +450 =8 3V17sin73 52' = 12.369 X0.961 =11.9故答案为：8, 11.9例3、 （2015?陕西）如图，有一滑梯 AR其水平宽度AC为5.3米，铅直 高度BC为2.8米，则/ A的

7、度数约为 27.8（用科学计算器计算，结果精确到0.1 ° ）.【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题.【解析】直接利用坡度的定义求得坡角的度数即可.【解答】 解：tan / A卷等|=0.5283 ,./A=27.8 ,故答案为：27.8 .【点评】本题考查了坡度坡角的知识，解题时注意坡角的正切值 等于铅直高度与水平宽度的比值，难度不大.例4、（2014?陕西）用科学计算器计算： ,+3tan560弋10.02 （结果精确到0.01 ）【考点】 计算器一三角函数；计算器一数的开方.【分析】 先用计算器求出何、tan56°的值，再计算加减运 算.【解答】 解： 收=5.5

8、678, tan56 = 1.4826,贝U技+3tan56 - 5.5678+3 X 1.4826 10.02故答案是：10.02.【点评】 本题考查了计算器的使用，要注意此题是精确到 0.01 .例5、 （2014?陕西）如图，在正方形 ABC前，AD=1将 AB璘 点B顺时针旋转45°得到 A' BD ,此时A D'与C位于点 E,则DE的长度为_2-a .【考点】旋转的性质 【分析】 利用正方形和旋转的性质得出 A D=A E,进而利用勾股定理得出BD的长，进而利用锐角三角函数关系得出 DE的长 即可.【解答】 解：由题意可得出：/ BDC=45 , / DA

9、' E=90° , . / DEA =45 , .A' D=A E, 在正方形ABC师，AD=1 .AB=A B=1,.BD=".A' D=72- 1, 在 Rt/XDA E中，DE= D£ 口 =2 sin45故答案为：2-庭.【点评】此题主要考查了正方形和旋转的性质以及勾股定理、 锐角三角函数关系等知识，得出 A D的长是解题关键.（三）、锐角三角函数定义以解答题的形式出现例6、 （12分）（2015?陕西）如图，在每一个四边形 ABCDK 士Wt AD/BC CDL BC /ABC=60 , AD=8 BC=12(1)如图，点M是四边

10、形ABCtD* AD上的一点，则 BMC勺面积为24m _；(2)如图，点N是四边形ABCDi AD上的任意一点，请你求出 BN调 长的最小值；(3)如图，在四边形 ABCD勺边AD上，是否存在一点P,使得cos/BPC 的值最小？若存在，求出此时 cos/BPC勺值；若不存在，请说明理由.【考点】四边形综合题.【专题】综合题.【解析】(1)如图，过A作An BQ可得出四边形AEC咙矩形，得到EC=AD BE=BG EC在直角三角形 ABE中，求出AE的长，即为三角形 BMC勺高，求 出三角形BMC®积即可；(2)如图，作点C关于直线AD的对称点C',连接C' N,

11、C' D, C' B交 A叶点 N',连接 CN ,则 BN+NC=BN+NC BC =BN +CN ,可彳#出4 BNC 周长的最小值为 BN C的周长=BN +CN +BC=BC +BQ求出即可；(3)如图所示，存在点P,使得cos/BPC的值最小，作BC的中垂线PQ 交BC于点Q 交AD于点巳连接BP, CP,作 BPC的外接圆O,圆O与直线 P仅于点N,贝U PB=PC圆心。在PN上，根据ADW BC平行，彳导至U圆。与AD 相切，根据PQ=DC判断得到PQ大于BQ可得出圆心。在BC上方，在AD上 任取一点P',连接P' B, P' C,

12、 P' B交圆O于点M连接MC可彳BPC= ZBMO/BP' C,即/BPCM小，cos/BPC的值最小，连接 OB求出即可.【解答】解：(1)如图，过A作AU BC四边形AEC时矩形，EC=AD=8 BE=BG EC=12- 8=4,在 RtMBE中，/ ABE=60 , BE=4 .AB=2BE=8 AE=Jg2_ 产4«,贝U Sabmc=1bC?AE=243;2故答案为：24/3;(2)如图，作点C关于直线AD的对称点C',连接C' N, C' D, C' B交A叶点 N',连接 CN ,贝U BN+NC=BN+NC B

13、C =BN +CN , .BNCW长的最/4值为 BN C 的周长=BN +CN +BC=BC +BC. AD/BQ AEBC /ABC=60 ,过点 A 作 AU BC 则 CE=AD=8 .BE=4 AE=BE?tan60 =4点， .CC =2CD=2AE=8, .BC=12BC =JbC，C。' J®.BNCW长的最小值为4 +12;(3)如图所示，存在点P,使得cos/BPC的值最小，作BC的中垂线PQ交BC于点Q 交AD于点P,连接BP, CP,彳zBPC的外接 圆Q 圆O与直线PQ交于点N则PB=PC圆心O在PN上， . AD/ BQ 圆O与AD相切于点P, .

14、PQ=DC=4>6, .PQ>BQ /BPG：90 ,圆心O在弦BC的上方，在AD上任取一点P',连接P' B, P' C, P' B交圆O于点M,连接MC ./ BPC= BMO / BP C,BPCt大，cos / BPC勺值最小，连接 OB 则/ BON=2BPN=BPC/ob=op=4- OQ在RtzBOQK 根据勾月定理得：0Q+62= (m-OQ ：解得：0Q喙.OB4,. .cos / BPC=coM BOQ=,OB 7则此时cos/BPC的值为L7【点评】此题属于四边形综合题，涉及的知识有：勾股定理，矩形的判定与 性质，对称的性质，圆

15、的切线的判定与性质，以及 锐角三角函数定义，熟练 掌握定理及性质是解本题的关键.例7、(10分)(2014年陕西省)已知抛物线C: y=-x2+bx+c经过A(-3,0)和B (0, 3)两点，将这条抛物线的顶点记为 M它的对称轴与x轴的 交点记为N.(1)求抛物线C的表达式；(2)求点M的坐标；(3)将抛物线C平移到C ,抛物线C'的顶点记为M ,它的又t称轴与x 轴的交点记为N'.如果以点M N M、N'为顶点的四边形是面积为16 的平行四边形，那么应将抛物线 C怎样平移？为什么？【考点】 二次函数图象与几何变换；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式；平行四边

16、形的性质.菁优网版权所有【分析】(1)直接把A(-3, 0)和B0, 3)两点代入抛物线y=-x2+bx+c, 求出b, c的值即可；(2)根据(1)中抛物线的解析式可得出其顶点坐标；(3)根据平行四边形的定义，可知有四种情形符合条件，如解答图所示.需要分类讨论.【解答】 解：(1) .抛物线y=-x2+bx+c经过A ( 3, 0)和B (0, 3) 两点，.19-先+方0,解得产-2,、c=31c=3故此抛物线的解析式为：y= x2- 2x+3;(2) .由(1)知抛物线的解析式为：y= x2-2x+3, .当 x=一2=- =-1 时，y=4, xKb 1.C om2a 2X ( -1)

17、，)， M ( - 1, 4).(3)由题意，以点M N、Mf、N'为顶点的平彳f四边形的边 MN勺对边只 能是M N', .MN/ Mf N'且 MN=MN'. .MN?N N=16, .NN =4.i)当M N、Mf、N'为顶点的平行四边形是？MNN Mf时，将抛物线C向 左或向右平移4个单位可得符合条件的抛物线 C'ii )当M N M'、N'为顶点的平行四边形是？MNMN'时，将抛物线C 先向左或向右平移4个单位，再向下平移8个单位，可得符合条件的抛物 线C'. 上述的四种平移，均可得到符合条件的抛物线C&

18、#39;.【点评】 本题考查了抛物线的平移变换、平行四边形的性质、待定系数法及二次函数的图象与性质等知识点.第(3)问需要分类讨论，避免漏 解.例8、 (12分)(2014?陕西)问题探究(1)如图，在矩形 ABC师，AB=3 BC=4如果BC边上存在点P,使4 AP阴等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰三角形 APD并求出 此时BP的长；(2)如图，在 ABC中，/ABC=60 , BC=12 AD是BC边上的高，E、F 分别为边AB AC的中点，当AD=6寸，BC边上存在一点 Q使/ EQF=90 ,求此时BQ的长；问题解决(3)有一山庄，它的平面图为如图的五边形 ABCDE山庄保卫人

19、员想在 线段CD上选一点M安装监控装置，用来监视边 AR现只要使/ AM改约为 60° ,就可以让监控装置的效果达到最佳，已知/ A=/ E=/ D=90 , AB=270m AE=400m ED=285m CD=340m问在线段 CD上是否存在点 M,使 /AMB=60 ?若存在，请求出符合条件的 DM勺长，若不存在，请说明理 由【考点】圆的综合题；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理；三角形中位线定理；矩形的性质；正方形的判定与性质；直线与圆的位置关系；特殊角的三角函数值菁优网版权所有【专题】压轴题；存在型【分析】(1)由于APADM等腰三角形，底边不定，需三种情况

20、讨论，运用三角形全等、矩形的性质、勾股定理等知识即可解决问题(2)以EF为直径作。O,易证。O与BC相切，从而得到符合条件的点 Q唯一，然后通过添加辅助线，借助于正方形、特殊角的三角函数值等知识即可求出BQ长.(3)要满足/ AMB=60 ,可构造以AB为边的等边三角形的外接圆，该圆 与线段CD的交点就是满足条件的点，然后借助于等边三角形的性质、特 殊角的三角函数值等知识，就可算出符合条件的DM长.【解答】 解：(1)作AD的垂直平分线交BC于点P,如图，贝U PA=PD .PADM等腰三角形. 四边形ABC星矩形， .AB=DC / B=/ C=90 .; PA=PD AB=DC/.RtAA

21、BFRtA DCP(HD . .BP=CP; BC=4 .BP=CP=2以点D为圆心，AD为半径画弧，交BC于点P',如图，.贝U DA=DP . .P' AD是等腰三角形. 四边形ABC星矩形， .AD=BC AB=DC /C=90 . . AB=3 BC=4 .DC=3 DP =4. CP =43 2=/.BP =4一板.点A为圆心，AD为半径画弧，交BC于点P，如图，贝U AD=AP .P AD是等腰三角形.同理可得：BP'=.综上所述：在等腰三角形 ADP中，若 PA=PD 贝U BP=2若 DP=DA 贝U BP=4-近；若 AP=AD 贝U BP*.(2)

22、£、F分别为边AB AC的中点， .EF/BQ EF=BC .BC=12 .EF=6.以EF为直径作。O,过点O作OQL BC垂足为Q连接EQ FQ如图./ADIBQ AD=6 EF与BC之间的距离为3. .OQ=3 .OQ=OE= 3.。0与BC相切，切点为 Q .EF为。O的直径,. / EQF=90 .过点E作EG! BQ垂足为G,如图.VEG!BQ OQLBQ . EG/ OQ: EO/ GQ EG/ OQ / EGQ=90 , OE=OQ 四边形OEGQb正方形. .GQ=EO=3EG=OQ=3./ B=60 , / EGB=90 , EG=3 .BG枳.BQ=GQ+BG=

23、3+ 当/EQF=90 日BQ的长为 3r5(3)在线段CD上存在点 M 使/ AMB=60 .理由如下：以AB为边，在AB的右侧作等边三角形ABG作GnAB,垂足为P,彳AK! BG垂足为K.设GP与AK交于点O,以点O为圆心，OA为半径作。O, 过点O作OHL CD垂足为H,如图.则。O是ABG勺外接圆，: ABG等边三角形，G2 AB, .AP=PB=AB.2 .AB=270 .AP=135 .ED=285 /.OH=285- 135=150.: ABG等边三角形，AK! BG / BAKh GAK=30 . .OP=AP?tan30二135X :3=45 二. .OA=2OP=9O.

24、.O比 OA OO与CD相交，设交点为 M连接MA MB如图. ./AMB=AGB=60 , OM=OA=90. . OH_ CD OH=150 OM=9诉， HM= Y I=:）；1=30工 . AE=400 OP=45， .DH=400 45正.若点M在点H的左边，则 DM=DH+HM=4045用+30匹.400-45点+30e>340,.DM> CD 点M不在线段CD上，应舍去.若点M在点H的右边，则 DM=DHHM=400 453-30/2.400-45仃-30&<340, .DMk CD 点M在线段CD上.综上所述：在线段CD上存在唯一的点M使/ AMB=6

25、0 ,此时 DM勺长为（400- 456-30立）米.X|k | B| 1 . c |O |m【点评】本题考查了垂直平分线的性质、矩形的性质、等边三角形的性质、正方形的判定与性质、直线与圆的位置关系、圆周角定理、三角形的 中位线定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识，考查了操作、探究等能力，综合性非常强.而构造等边三角形及 其外接圆是解决本题的关键.三、三角函数易错点解析三角函数是初中数学的重要内容，三角函数是学生在初中阶段第一次 接触角函数，这部分知识的学习对于学生来说有一定的难度，下面就三角 函数教学中容易出现的几种“错误”进行分析：1.对应关系混淆【1】如图9,

26、先进村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为a米，那么这两树在坡面上的距离 AB为（）A. a cos a 米B.米cos工C. asina米D. a米sin ;解析：分别过点B, A作平行水平面的直线和垂直于水平面的直线相交于点C。则AABCg直角三角形，且/ C=90° , ZCBA=x ,二 cosa =BC =-a- AB =-a-, 故选 B。AB ABcos ;D图10错因分析：部分学生在解答本题时没有分清锐角的正弦、余弦是哪个边与斜边AB的比，造成错选，也有学生在变式时错误2.专用名词不清 如图10,斜坡AC的坡度（坡比）为1:V3, AG= 10米.坡顶有一旗杆BQ旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB= 14米