北师大九年级上册特殊的平行四边形讲义

1、一、知识点串讲1、多边形的内角和定理：n边形的内角和等于（n3，n是正整数）；2、平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分；平行四边形的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。3、矩形的性质：（除具有平行四边形所有性质外）矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等；矩形的判定：有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；4、菱形的特征：（除具有平行四边形所有性质外菱形的四边相等；菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角

2、线平分一组对角；菱形的判定：四边相等的四边形是菱形；5、正方形的特征：正方形的四边相等；正方形的四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；正方形的判定：有一个角是直角的菱形是正方形；有一组邻边相等的矩形是正方形。6、平面图形的镶嵌：任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面；考点一1.会根据条件选择适当方法判定平行四边形典型例题例1如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，当E、F满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形（ ）AOE=OF BDE=BF CADE=CBF DABE=CDF【分析】虽然判别平

3、行四边形可从“边、角、对角线”三个角度来考虑，但此例图中已有对角线，所以最适当方法应是“对角线互相平分的四边形为平行四边形”考点二会用“阶梯型”思路判定特殊平行四边形典型例题例2如图，在RtABC中，ACB=90°，BAC=60°，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E，又点F在DE的延长线上，且AF=CE求证：四边形ACEF为菱形考点三会解决与特殊平行四边形有关的动手操作问题典型例题例3如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3，BC=6，沿EF折叠后，点C落在AB边上的点P处，点D落在点Q处，AD与PQ相交于点H，BPE=30° （1）求BE、QF的长（2）求四边

4、形PEFH的面积【分析】折叠型试题是近年中考试题的热点，要想解好此类题，考生必须有想像力，抓住折叠的角与边不发生变化，必要时需要考生剪一个四边形实际折叠一下帮助理解考点四平行四边形中的一题多解及其变式练习典型例题例4.已知：如图，平行四边形ABCD中，BEAC于E，DFAC于F，求：BE=DF【分析】欲证线段相等，通常转化证三角形全等结合平行四边性质，找到证法一。证法一：在平行四边形ABCD中，AB=DC，ABDC， BAE=DCF BEAC，DFAC AEB=CFD=90° 在ABE与CDF中 AB=DC BAE=DCF AEB=CFD ABECDF BE=DF【分析】由题设发现S

5、ABC=SADC。便萌生计算三角形面积公式，便可得到证法：证法二：在平行四边形ABCD中，SABC=SCDA AC·BE=AC·DF BE=DF一、选择题1.下列四边形中，对角线一定不相等的是（ ）A.正方形 B.矩形 C.等腰梯形 D.直角梯形2.从菱形的钝角顶点向对角的两条边作垂线，垂足恰好是该边的中点，则菱形的内角中钝角的度数是（ ）A.150° B. 135° C. 120° D. 100°4、在菱形ABCD中， 且E、F分别是BC、CD的中点，那么（ ） A、 B、 C、45 D、10、正方形具有而菱形不具有的性质是（ ）

6、A、四个角都是直角 B、两组对边分别相等C、内角和为 D、对角线平分对角3、下列条件中，能判定一个四边形为菱形的条件是( )A、对角线互相平分的四边形 B、对角线互相垂直且平分的四边形C、对角线相等的四边形 D、对角线相等且互相垂直的四边形4、下列对矩形的判定：“（1）对角线相等的四边形是矩形；（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（3）有一个角是直角的四边形是矩形；（4）有四个角是直角的四边形是矩形；（5）四个角都相等的四边形是矩形；（6）对角线相等，且有一个直角的四边形是矩形；（7）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（8）对角线相等且互垂直的四边形是矩形”中,正确的个数有

7、（） A、3 个 B、4个 C、5个 D、6个5、过四边形ABCD的顶点A、B、C、D作BD、AC的平行线围成四边形EFGH,若EFGH是菱形,则四边形ABCD一定是( ) A、平行四边形 B、菱形 C、矩形 D、对角线相等的四边形6、矩形的内角平分线能够组成一个（ ） A、矩形 B、菱形 C、正方形 D、平行四边形7.顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形中满足条件的是（ ）平行四边形;菱形;等腰梯形;对角线互相垂直的四边形.A. B. C. D.8、矩形的一条长边的中点与另一条长边构成等腰直角三角形，已知矩形的周长是36，则矩形一条对角线的长是（ ） A、 B、5 C、

8、 D、38、已知正方形ABCD的边长是10cm，是等边三角形，点P在BC上，点Q在CD上，则BP的边长是（ ） A、cm B、cm C、cm D、cm9、菱形的周长为20,两邻角的比为21，则一组对边的距离为（）A、B、C、3D、4.已知一矩形的两边长分别为10 cm和15 cm，其中一个内角的平分线分长边为两部分，这两部分的长为（ ）A.6 cm和9 cm B. 5 cm和10 cm C. 4 cm和11 cm D. 7 cm和8 cm5.如图，在矩形中，分别为边的中点.若，则图中阴影部分的面积为（ ）A.3 B.4 C.6 D.8第6题图第5题图6.如图，在菱形中，则对角线等于（ ）A.2

9、0 B.15 C.10 D.57.若正方形的对角线长为2 cm，则这个正方形的面积为（ ）A.4B.2C.D.8.矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）A.每一条对角线平分一组对角B.对角线相等C.对角线互相平分D.对角线互相垂直9.如图，将一个长为，宽为的矩形纸片先按照从左向右对折，再按照从下向上的方向对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下（如图（1），再打开，得到如图（2）所示的小菱形的面积为（ ）A.B.C.D.第10题图第9题图（1）（2）10.如图是一张矩形纸片，若将纸片沿折叠，使落在上，点的对应点为点，若，则（）A.B.C.D.二、填空题（每空1分，共11分）6、将长为1

10、2，宽为5的矩形纸片ABCD沿对角线AC对折后，AD与BC交于点E，则DE的长度为_.7、从矩形的一个顶点作一条对角线的垂线，这条垂线分这条对角线成1:3两部分，则矩形的两条对角线夹角为_.8、菱形两条对角线长度比为1:,则菱形较小的内角的度数为_.9、正方形的一条对角线和一边所成的角是_度.10、已知四边形ABCD是菱形，是正三角形，E、F分别在BC、CD上，且，则_.12.如图，在菱形ABCD中，B60°，点E，F分别从点B，D同时以同样的速度沿边BC，DC向点C运动.给出以下四个结论：; 当点E，F分别为边BC，DC的中点时，AEF是等边三角形； 当点E，F分别为边BC，DC的

11、中点时，AEF的面积最大.上述正确结论的序号有13.如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使，则BCE的度数是_.14.如图，矩形的两条对角线交于点，过点作的垂线，分别交，于点，连接，已知的周长为24 cm，则矩形的周长是_cm. 15.已知，在四边形ABCD中，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是_.16.已知菱形的周长为，一条对角线长为，则这个菱形的面积为_.17.如图，矩形的对角线，则图中五个小矩形的周长之和为_.18.如图，在矩形ABCD中，对角线与相交于点O，且，则BD的长为_cm，BC的长为_cm.三、解答题（第1、2小题各10分，第3、4小题各5分，

12、共30分）1、如图3，AB/CD，E是AB的中点，CE=CD，DE和AC相交于点F.求证：（1）；（2）.2、如图4，ABCD为平行四边形，DFEC和BCGH为正方形.求证：.2、如图6，在矩形ABCD中，E是BC上一点且AE=AD，又于点F，证明：EC=EF.3、如图7，已知P是矩形ABCD的内的一点.求证：.19.（8分）如图，在ABC中，AB=AC，AD是ABC外角的平分线，已知BAC=ACD.（1）求证：ABCCDA；（2）若B=60°，求证：四边形ABCD是菱形.20.（8分）如图，在ABCD中，E为BC边上的一点，连接AE、BD且AE=AB.（1）求证：ABE=EAD；（2）若AEB=2ADB，求证：四边形ABCD是菱形.22.（8分）如图，正方形ABCD的边长为3，E，F 分别是AB，BC边上的点，且EDF=45°.将DAE绕点D逆时针