高二培优班数学测试题2015—1—24

1、高二培优班数学测试题 20151241已知复数（其中是虚数单位），则复数在坐标平面内对应的点在 （ ）A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D.第四象限2已知，则的大小关系是（ ）A. B. C. D.3将函数图像上所有的点向左平行移动个单位长度，再把图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图像的解析式为（ ）A. B. C. D.4“”是“函数存在零点”的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件5若空间几何体的三视图如图所示，则该几何体体积为（ ）A. B. C. D.86下列四个判断：某校高三（1）班的人和高三（2）班的

2、人数分别是，某次测试数学平均分分别是，则这两个班的数学平均分为；从总体中抽取的样本则回归直线必过点；已知服从正态分布,且,则其中正确的个数有（ ）A.0个 B.1个 C.2个 D.3个7将5名学生分到三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中学生甲不到宿舍的不同分法有（ ）A.18种 B.36种 C.48种 D.60种8已知点是圆：内任意一点，点是圆上任意一点，则实数（ ）A.一定是负数 B.一定等于0 C.一定是正数 D.可能为正数也可能为负数9等差数列的前项和为，公差为，已知，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D.10如图，在等腰梯形中，,且,设,以为焦点且过点的双曲线的离心率为，以

3、为焦点且过点的椭圆的离心率为，设=则的大致图像是（ ） 11曲线=(0x)与坐标轴所围成的图形面积是_.12执行如图所示的程序框图，若输入的值为2，则输出的值是 .13观察下面两个推理过程及结论：若锐角满足,以角分别为内角构造一个三角形，依据正弦定理和余弦定理可得到等式：,若锐角满足，则，以角分别为内角构造一个三角形，依据正弦定理和余弦定理可以得到的等式：.则：若锐角满足，类比上面推理方法，可以得到的一个等式是_.14在平面直角坐标系下中，直线的参数方程是 (参数).圆的参数方程为(参数)则圆的圆心到直线的距离为 _.15设若不等式对任意实数恒成立，则的取值集合是_.16南昌市为增强市民的交通

4、安全意识，面向全市征召“小红帽”志愿者在部分交通路口协助交警维持交通，把符合条件的1000名志愿者按年龄分组：第1组、第2组、第3组、第4组、第5组，得到的频率分布直方图如图所示：（1）若从第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取12名志愿者在五一节这天到广场协助交警维持交通，应从第3、4、5组各抽取多少名志愿者？（2）在（1）的条件下，南昌市决定在这12名志愿者中随机抽取3名志愿者到学校宣讲交通安全知识，若表示抽出的3名志愿者中第3组的人数，求的分布列和数学期望.17已知向量，（1）当时，求函数的值域：（2）锐角中，分别为角的对边，若，求边.18右表是一个由正数组成的数表，数表中各行依次成等差数

5、列，各列依次成等比数列，且公比都相等，已知（1）求数列的通项公式；（2）设求数列的前项和。19如图已知：菱形所在平面与直角梯形所在平面互相垂直，点分别是线段的中点. （1）求证：平面平面;（2）点在直线上，且/平面，求平面与平面所成角的余弦值。20已知椭圆C：的离心率等于，点P在椭圆上。（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左右顶点分别为，过点的动直线与椭圆相交于两点，是否存在定直线：，使得与的交点总在直线上？若存在，求出一个满足条件的值；若不存在，说明理由.21已知函数（1）当时，讨论函数的单调性：（2）若函数的图像上存在不同两点，设线段的中点为，使得在点处的切线与直线平行或重合，则说函数是“中

6、值平衡函数”，切线叫做函数的“中值平衡切线”。试判断函数是否是“中值平衡函数”？若是，判断函数的“中值平衡切线”的条数；若不是，说明理由.参考答案1A【解析】试题分析：因为，复数所对应的的点的坐标为，所以在在第一象限.考点：1.复数的运算；2.复数和复平面内点的对应关系.2A【解析】试题分析：设函数，是减函数，容易得出，又知，所以.考点：1.指数函数的单调性；2.对数式的计算.3B【解析】试题分析：将函数的图像向左平移个单位长度，得到,横坐标扩大为原来的2倍，得 ，故选B.考点：三角函数图像的平移.4A【解析】试题分析：函数存在零点，则有解，即有解，所以，所以“”是“函数存在零点”的充分不必要

7、条件.考点：1.函数零点问题；2.充分必要条件.5C【解析】试题分析：通过三视图可以看出几何图形如图：，故选C.考点：三视图.6B【解析】试题分析：的平均分为，所以错；必过（3,3.5）；对，故选B.考点：1.平均数；2.回归方程；3.正态分布.7D【解析】试题分析：当甲一人住一个寝室时有：种，当甲和另一人住一起时有：，所以有种.考点：排列组合.8A【解析】试题分析：令，又因为小于1，所以必定是负数.考点：1.三角函数式的化简；2.三角函数最值.9C【解析】试题分析：通过求导易知，.所以；，可求出，得出.考点：等差数列的性质.10D【解析】试题分析：以为轴建系，设双曲线为，设，则代入双曲线有，

8、当时，易知D选项正确，故选D. 考点：1.建立直角坐标系；2.双曲线.113【解析】试题分析：.考点：积分求面积.124【解析】试题分析：,因此答案是4.考点：程序框图.13.【解析】试题分析：根据提示，容易得出 .考点：类比推理法.14【解析】试题分析：化参数方程为普通方程，直线：；圆：.根据点到直线的距离公式得：.考点：1.参数方程与普通方程的互换；2.点到直线的距离公式.15或【解析】试题分析：，所以最大值为3，从而，解出.考点：1.恒成立问题；2.基本不等式.16（1）第3组6人，第4组4人，第5组2人；（2）分布列详见解析，.【解析】试题分析：(1)先通过频率分步直方图求出每一组中的

9、总人数,再用分层抽样求出每组中所需抽取的人数；(2)先分别求出每种情况的概率，再列分布列，利用分布列求期望.试题解析：（1）由题意可知，第3组的人数为，第4组的人数为，第5组的人数为。 3分所以利用分层抽样在名志愿者中抽取名志愿者，每组抽取的人数为：第3组，第4组，第5组 6分（2）的所有可能取值为0,1,2,3， 10分所以，的分布列为：所以的数学期望 12分考点：1.分层抽样；2.分布列；3.数学期望.17（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）先利用倍角公式、两角差的正弦公式将解析式化简，将已知代入，求值域；（2）先通过第一问的解析式求出，再通过凑角求出，用余弦定理求边.试题解析：（1）

10、，所以， 3分即， 4分当时，所以当时，函数的值域是； 6分（2）由，得，又，所以， 8分因此, 9分由余弦定理，得， 11分所以：。 12分考点：1.三角函数式的化简；2.降幂公式；3.余弦定理.18（1）；（2）为偶数时，为奇数时，.【解析】试题分析：（1）通过读表得到表达式，利用等差等比数列的通项公式将表达式展开，求出，得到数列的通项公式；（2）将第一问的结论代入，先用分组求和法，将式子分成两组，再用错位相减法求第一部分，第二部分用并项法求和.试题解析：（1）设第一行依次组成的等差数列的公差是，等比数列的公比是，则， 2分， 4分解得：，所以：； 6分（2）， 8分记，则，两式相减得:,

11、所以, 10分所以为偶数时，为奇数时，。 12分考点：1.等差等比数列的通项公式；2.分组求和法；3.错位相减法；4.并项法.19(1)证明详见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）先证，由面面垂直的性质定理得到平面，所以，由勾股定理证，所以由线面垂直的判定定理得平面，所以面面垂直的判定定理得平面平面；（2）首先建立空间直角坐标系，再写出各点坐标，由共面向量定理，得，所以求出，得出点的坐标是:，由（1）得平面的法向量是，根据条件得平面的法向量是，所以.试题解析：（1）证明：在菱形中，因为，所以是等边三角形，又是线段的中点，所以，因为平面平面，所以平面，所以； 2分在直角梯形中，得到：，从而，所

12、以， 4分所以平面，又平面，所以平面平面； 6分（2）由（1）平面，如图，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则， 7分设点的坐标是，则共面，所以存在实数使得：，得到:.即点的坐标是:, 8分由（1）知道：平面的法向量是，设平面的法向量是，则：， 9分令，则，即，所以， 11分即平面与平面所成角的余弦值是. 12分考点：1.面面垂直的判定定理；2.线面平行的判定定理；3.面面垂直的判定定理；4.向量法.20（1）；（2）存在，.【解析】试题分析：（1）由，点代入椭圆方程，二者联立可以解出；（2）以的存在性分两种情况：不存在，直线:,易证符合题意；存在时，设直线:，用直线方程和椭圆方程

13、联立方程组，消参得一元二次方程，利用韦达定理得，又因为共线，有，由得，得出，由于成立，所以点在直线上，综上:存在定直线:,使得与的交点总在直线上,的值是.试题解析：（1）由， 2分又点在椭圆上， 4分所以椭圆方程是：； 5分（2）当垂直轴时，则的方程是：，的方程是：，交点的坐标是：，猜测:存在常数,即直线的方程是:使得与的交点总在直线上, 6分证明：设的方程是，点，将的方程代入椭圆的方程得到：，即：， 7分从而：， 8分因为：，共线所以：， 9分又，要证明共线，即要证明， 10分即证明：，即：，即：因为：成立， 12分所以点在直线上。综上:存在定直线:,使得与的交点总在直线上,的值是. 13分

14、考点：1.椭圆的离心率；2.韦达定理；3.分类讨论法解题.21（1）函数的递增区间是,递减区间是；（2）当时，函数是“中值平衡函数”且函数的“中值平衡切线”有无数条，当时，函数不是“中值平衡函数”.【解析】试题分析：(1)对进行讨论，求导数，令导数大于0或小于0，求单调递增或递减区间；（2）先假设它是“中值平衡函数”， 设出两点，讨论和的情况，看是否符合题意.试题解析：（1） 1分当即时，函数在定义域上是增函数； 2分当即时,由得到或， 4分所以：当时，函数的递增区间是和，递减区间是； 5分当即时，由得到：，所以:当时,函数的递增区间是,递减区间是； 7分（2）若函数是“中值平衡函数”，则存在

15、（）使得即，即，（*） 4分当时，（*）对任意的都成立，所以函数是“中值平衡函数”，且函数的“中值平衡切线”有无数条； 8分当时，设，则方程在区间上有解， 10分记函数，则， 12分所以当时，即方程在区间上无解，即函数不是“中值平衡函数”. 14分考点：1.求切线的斜率；2.用导数求函数的单调性；3.分类讨论思想.0124参考答案A A B A C B D A C D113 124 13.14 15或16（1）第3组6人，第4组4人，第5组2人；（2）的所有可能取值为0,1,2,3， 10分所以，的分布列为：所以的数学期望 12分17 （1）；（2）.18（1）；（2）为偶数时，为奇数时，.19(1)证明详见解析；（2）.20.（1）由， 2分又点在椭圆上， 4分所以椭圆方程是：； 5分（2）当垂直轴时，则的方程是：，的方程是：，交点的坐标是：，猜测:存在常数,即直线的方程是:使得与的交点总在直线上, 6分证明：设的方程是，点，将的方程代入椭圆的方程得到：，即：， 7分从而：， 8分因为：，共线所以：， 9分又，要证明共线，即要证明， 10分即证明：，即：，即：因为：成立， 12分所以