拉格朗日差值

1、拉格朗日差值一线性插值(一次插值）  已知函数f(x)在区间xk ,xk+1 的端点上的函数值yk =f(xk), yk+1 = f(xk+1),求一个一次函数y=P1(x)使得yk =f(xk),yk+1 =f(xk+1), 其几何意义是已知平面上两点(xk ,yk ),(xk+1 ,yk+1 ),求一条直线过该已知两点。 1. 插值函数和插值基函数由直线的点斜式公式可知：        

2、60; 把此式按照 yk 和yk+1 写成两项:          记          并称它们为一次插值基函数。该基函数的特点如下表：          从而        &

3、#160;P1(x) = yklk(x) + yk+1lk+1(x)此形式称之为拉格朗日型插值多项式。其中, 插值基函数与yk 、yk+1 无关，而由插值结点xk 、xk+1 所决定。一次插值多项式是插值基函数的线性组合, 相应的组合系数是该点的函数值yk 、yk+1 .例1: 已知lg10=1,lg20=1.3010, 利用插值一次多项式求lg12的近似值。解: f(x)=lgx,f(10)=1,f(20)=1.3010, 设       &#

4、160;  x0 =10 ,x1 =20 ,y0 =1 ,y1 =1.3010则插值基函数为：          于是, 拉格朗日型一次插值多项式为:          故 :          即lg12 由lg10 

5、和lg20 两个值的线性插值得到,且具有两位有效数字(精确值lg12=1.0792).二二次插值多项式    已知函数y=f(x)在点xk-1 ,xk ,xk+1 上的函数值yk-1=f(xk-1),yk=f(xk), yk+1=f(xk+1), 求一个次数不超过二次的多项式P2(x), 使其满足,    P2(xk-1)=yk-1 ，P2(xk)=yk ,P2(xk+1)=yk+1 .其几何意义为:已知平面上的三个点  &#

6、160;  (xk-1 ,yk-1 ),(xk ,yk ),(xk+1 ,yk+1 ),求一个二次抛物线, 使得该抛物线经过这三点。    1.插值基本多项式有三个插值结点xk-1 ,xk ,xk+1 构造三个插值基本多项式，要求满足：(1) 基本多项式为二次多项式； (2) 它们的函数值满足下表：            

7、60;  因为lk-1(xk)= 0,lk-1(xk+1)=0, 故有因子(x-xk)(x-xk+1), 而其已经是一个二次多项式, 仅相差一个常数倍, 可设         lk-1(x)=a(x-xk)(x-xk+1),又因为     lk-1(xk-1)=>a(xk-1 -xk)(xk-1 -xk+1)=1得       &#

8、160;     从而同理得基本二次多项式见右上图(点击按钮“显示Li”)。 2. 拉格朗日型二次插值多项式由前述, 拉格朗日型二次插值多项式:    P2(x)=yk-1lk-1(x)+yklk(x)+yk+1lk+1(x), P2(x)是三个二次插值多项式的线性组合,因而其是次数不超过二次的多项式,且满足:       P2(xi)=yi , (i=k-1,k,k+1) 。例2 已知： 

9、60;xi    10      15     20 yi=lgxi     1     1.1761    1.3010利用此三值的二次插值多项式求lg12的近似值。解：设x0=10, x1=15, x2=20,则:      故:   

10、         所以      利用三个点进行抛物插值得到lg12的值,与精确值lg12=1.0792相比,具有3位有效数字,精度提高了。 三、拉格朗日型n次插值多项式已知函数y=f(x)在n+1个不同的点x0 ,x1 ,x2 上的函数值分别为y0 ,y1 ,yn ,求一个次数不超过n的多项式Pn(x),使其满足:Pn(xi)=yi , (i=0,1,n),即n+1

11、个不同的点可以唯一决定一个n次多项式。1. 插值基函数过n+1个不同的点分别决定n+1个n次插值基函数     l0(x),l1(x),ln(X)每个插值基本多项式li (x)满足：   (1) li(x)是n次多项式;   (2) li(xi)=1,而在其它n个li(xk)=0 ,(ki)。由于li(xk)=0 ,(ki), 故有因子:         (x-x0)

12、(x-xi-1)(x-xi+1)(x-xn)因其已经是n次多项式，故而仅相差一个常数因子。令:       li(x)=a(x-x0)(x-xi-1)(x-xi+1)(x-xn)由li(xi)=1,可以定出a, 进而得到：          2. n次拉格朗日型插值多项式Pn(x)Pn(x)是n+1个n次插值基本多项式l0(x),l1(x),ln(X)的线性组合,相应的组合系数是y0 ,y1 ,y

13、n 。即:        Pn(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+ynln(x) ,从而Pn(x)是一个次数不超过n的多项式,且满足        Pn(xi)=yi , (i=0,1,2,n). 例3 求过点(2,0),(4,3),(6,5),(8,4),(10,1)的拉格朗日型插值多项式。解 用4次插值多项式对5个点插值。     

14、0;             所以            四、拉格朗日插值多项式的截断误差我们在a,b上用多项式Pn(x) 来近似代替函数f(x), 其截断误差记作      Rn(x)=f(x)-Pn(x)当x在插值结点xi 上时Rn(xi )=f(xi)-

15、Pn(xi)=0,下面来估计截断误差：定理1：设函数y=f(x)的n阶导数y(n)=f(n)(x)在a,b上连续，     y(n+1)= f(n+1)(x)在(a,b)上存在；插值结点为:    ax0 <x1 <<xn b,Pn(x)是n次拉格朗日插值多项式；则对任意xa,b有：       其中(a,b), 依赖于x：n+1(x)=(x-x0)(x-x1)(x-xn)证明：由插值多项

16、式的要求：      Rn(xi)=f(xi)-Pn(xi)=0，(i=0,1,2,n);设      Rn(x)=K(x)(x-x0)(x-x1)(x-xn)=K(x)n+1(x)其中K(x)是待定系数；固定xa,b且xxk ，k=0,1,2,n;作函数       H(t)=f(t)-Pn(t)-K(x)(t-x0)(t-x1)(t-xn)则 H(xk)=0，(k=0,1,2,n),

17、 且H(x)=f(x)-Pn(x)-Rn(x)=0, 所以，H(t)在a,b上有n+2个零点，反复使用罗尔中值定理:存在(a,b),使; 因Pn(x)是n次多项式，故P(n+1)()=0, 而       n+1(t)=(t-x0)(t-x1)(t-xn)是首项系数为1的n+1次多项式，故有        于是        H(n+1)()=f(n+1)()-(n+

18、1)!K(x)得：所以        设 , 则： 易知，线性插值的截断误差为:        二次插值的截断误差为:        下面来分析前面两个例子(例1，例2)中计算lg12的截断误差：在例1中，用lg10和lg20计算lg12,       P1(12)=1.0602,lg12=1.0792       e=|1.0792-1.0602|=0.0190;估计误差：f(x)=lgx,  &#