数值分析公式定理等

1、第一章 绪论1. ，如果x|0.5（这里n是使此式成立的最大正整数），则称为x的具有n位有效数字的近似值。2定理：设x的近似值有（1-1）的表示式： （）如果有n位有效数字，则 （）如果，则至少有n位有效数字。第二章 非线性方程根求解1. （零点存在定理）如果f(x)在a,b上连续，使f(a)×f(b)<0，则必存在aÎ(a,b)，使f(a)=0。2.二分法的误差： |3. 局部收敛性：设a是f(x)=0的根，若存在a的一个邻域，当迭代初值属于时，迭代法得到的序列收敛到a，则称该迭代法关于根a具有局部收敛性。4. 收敛速度：设为第i次迭代值，a是f(x)=0的根，令，

2、且假设迭代收敛，即。若存在实数P³1，使 ¹0 ，则称此方法关于根a具有P阶收敛速度。C称为渐近误差常数，渐近误差常数C与f(x)有关。C¹0保证了P的唯一性。对于特殊的函数，C可能为零，此时，由这个函数针对此方法迭代产生的序列收敛得更快。一般情况下，P越大，收敛就越快。当P=1时，我们称为线性收敛。P>1，称为超线性收敛。P=2，称为平方收敛。5.牛顿迭代法：定理3：如果方程f(x)=0的根a是单根，且在a的某领域内f(x)具有二阶的连续导数,则Newton迭代法必是局部收敛的且 （即具有二阶收敛速度）定理4：如果a是方程f(x)=0的r重根（r>1

3、），且f(x)在a的某邻域内具有r阶连续导数，则Newton法具有局部收敛性，且具有线性收敛速度。定理5：如果a是方程f(x)=0的r重根（r>1），且f(x)在a的某邻域内具有r+2阶连续导数，则修正Newton迭代公式：，具有局部收敛性，且具有二阶收敛速度。定理6：设f(x)在f(x)=0的有根区间a,b上二阶导数存在，且满足：（1）f(a) f(b)<0；（2）在a,b中不变号。则对a,b任一使f²(x)f(x)>0的点，都能使Newton迭代法： 得到的序列收敛到方程f(x)=0唯一的根a。6.弦割法：定理：设f(x),f ¢(x),f ²

4、;(x)在包含f(x)=0的根a的某区间上连续，且a是其单根，则如果初始值和选得充分接近a，由（212）产生的迭代序列收敛于a，收敛的阶是，且 第三章 插值法1.定义：设f(x)为定义在a,b上的函数，为a,b上n+1个互不相同的点，为给定的某一个函数类，若上有函数y(x)，满足： (3)，则称y(x)为f(x)关于节点在上的插值函数，点称为插值节点,f(x)称为被插值函数。包含插值节点的区间a,b称为插值区间，条件（3）称为插值条件。2. 定理：设表示次数不超过n次的多项式的全体，则满足插值条件（3）的，属于函数类的插值多项y(x)存在且唯一。3. Lagrange插值多项式：， 定理：设f

5、(x)在a,b上存在n阶连续导数，在（a,b）上存在n+1阶导数，是满足条件（3）属于插值多项式，则对任何，插值余项为：，其中，且依赖于x，推论：满足条件(33)的Lagrange插值基函数：，有如下性质：（1），(k=0,1,n)，特别（2）（k=1,n）4. 差商（均差）与Newton插值法为f(x)关于节点的k阶差商。性质1：性质2：如果是0，1，2，k的一个排列，则=性质3：Newton插值多项式的余项为R(x)=f(x)-=性质4：如果f(x)有n阶导数，则5.差分及插值公式：见教材P31.6.Hermite插值多项式：用Hermite插值多项式去替代f(x)产生的误差为：R(x)=

6、f(x)-H(x)。如f(x)在(a,b)中有n+r+2阶导数时，误差可写成如下形式，其中eÎ（a,b）7.三次样条插值定义：如果函数S(x)在a，b区间满足：(1) S(x)在a，b上具有二阶连续导数。(2) 对a，b上的划分,S(x)在每一个区间上，S(x)是一个不高于次的多项式，(i=0,1,n-1)。则我们称S(x)是关于划分的一个三次样条函数。三次样条插值唯一性的条件：（1）第一边界条件：（2）第二边界条件：。特别称为自然边界条件。（3）第三边界条件（周期条件）：当f(x)是以b-a为周期函数时，再增加边界条件：第四章 函数逼近与曲线拟合1.权函数定义：设a,b是有限区间或

7、无限区间，在a,b上的非负函数满足条件：(1)存在且有限（k=0,1,），(2) 对a,b上的非负函数 g(x)，如果，则，则称为权函数2. 最佳平方逼近： ，定理4 设是中的线性无关的函数系，则 存在且唯一。 最优解为 （2-2）其中是下面方程组（称之为正规方程组）的解： （2-3）这里是函数的内积 。 =3.最小二乘曲线拟合：定理5 设已知，这里不妨设，是在上给定的的函数系，则 的解存在。 最优解为 （3-3）其中是下面方程组（称之为正规方程组）的解： （3-4）如果（3-4）中的系数矩阵为非奇异，则（3-2）的解唯一。这里是上向量的加权内积，即：，。4.正交函数与正交项定义6.假设都是内

8、积空间上的线性无关的函数。如果它们两两正交，即，则称连续型函数系是正交系。定理6 (Gram-Schmidt正交化定理)设函数系是内积空间上线性无关的函数系，则：，是上的线性无关的正交函数系。推论1.定理6中的可由唯一表示,也可由唯一表示。，最佳逼近函数，平方误差：。定理9. 对在内积空间上的任一正交多项式系，则在开区间内恰有k个不同的实零点。Legendre多项式：定义7 在，取权函数，称多项式，为Legendre多项式。性质4.（Legendre多项式的正交性）性质5 （奇偶性）Chebyshev多项式：定义8. 在中，称多项式为Chebyshev多项式。性质7.（递推关系）；5.最佳一致

9、逼近：定理14（唯一性定理），设，则在中的最佳一致逼近多项式是唯一的。推论：在区间上所有最高次项系数为1的次多项式中，与零的偏差最小，其偏差为，这里是次Chebyshev多项式。定理15.设，县对，令，则中最优解可如下得到： 其中： ，且满足的解。第五章 线性方程组的直接解法1.矩阵的三角分解 定理：设方阵，记，（k=1,n），称为顺序主子式，如果方阵A的n个顺序主子式都不等于零，则A一定可以解成LU的形式且分解唯一。设：，则得：这里=1，(1)当i£j时，因,得：（j=i,n） （41）(2)当i>j时，因得：（i=j+1,，n）（42）（4-2）中i与j的位置互换得：（j=

10、i+1,n）。2.对称正定矩阵的Cholesky分解性质1：如果A是正定阵，则A必可Doolittle分解：A=LU。性质3：如果A是正定阵，则A可分解成A=，其中是下三角阵。Cholesky分解： （i=1,n）=(j>i)定义：设矩阵，如果满足条件：(i=1,n)，则称此矩阵为严格对角占优阵。定理：如果矩阵A是严格对角占优阵，则detA¹0。推论1：如果A是严格对角占优阵，则A的所有顺序主子式都不为零。推论2：如果A是严格对角占优阵，则A可Doolittle分解。3.方程组的性态、条件数向量的范数：定义1：对任意n维向量x，都定义了一个非负实数，记为，且满足下列三个条件：对

11、任意向量x有³0, =0当且仅当x=0对任意数a，则称为n维向量空间上的一个范数。n维向量空间上常用的向量范数有：（1）；（2）；（）|xi|；（4）性质4（向量范数的等价性） 设为n维向量空间上的任意二个不同的范数，则必存在常数，使对中的任意向量x有 。矩阵的范数：定义3：对任意n阶方阵A，若对应一个非负实数满足：（1）³0，等号当且仅当A=0时成立（2）对任意数a，（3）对任意两个n阶方程A，B有（4）则称是所有n阶方阵所构成的空间上的一个范数（我们这里主要是实的方阵）。设A=()n´n ，常用的矩阵范数有：（3）为ATA的最大特征值（也称2范数）（4） （也

12、称Frobenius范数）向量范数与矩阵范数之间有如下的关系：。方程组的性态、条件数：；cond(A)=。第六章 线性方程组的迭代法x(k)=Bx(k-1)+g，B为迭代矩阵1简单迭代.定理1：简单迭代格式（63）收敛的充要条件是B(k)®0(k®¥)。定义2：设n´n阶矩阵B的n个特征值为，称r(B)为矩阵B的谱半径。定理2：n´n阶矩阵A，有Ak®0(k®¥)的充要条件是r(A)<1定理3：设为上定义的一个范数, 如果, 则。定理4：如果简单迭代法（63）的迭代矩阵B满足下列条件之一（1）；（2）（3），

13、则简单迭代法、Seidel迭代法都收敛，这里B=（bij）n´n2. Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代Jacobi迭代，B=I，g=b，D=diag(a11,，ann)定理：Jacobi迭代（611）收敛的充要条件是r（）<。定理2：若方程组Ax=b的系矩阵满足下面条件中的任何一条，则其Jacobi迭代法及Gauss-Seidel迭代法都收敛。（） 为行对角占优阵，即：（i=1,2,n）（） 为列对角占优阵，即： (j=1,2,n)的元素满足： ，(j=1,2，,n)Gauss-Seidel迭代，B=(DLU，常数项为(DLb，收敛的充要条件是r（(DLU)<

14、;1，L=定理4：若方程组系数矩阵为正定阵，则其Guass-Seidel迭代收敛。定理5：设具有正对角线元素的对称矩阵，则解线性方程组Ax=b的Jacobi迭代法的收敛的充要条件是和都是正定阵。易知与的差别仅是非对角线元素的符号不同(D=diag(a11,，ann)。3.SOR (j=1,n) ，SOR方法收敛的充要条件是r（Bw）<1定理1：SOR方法收敛的必要条件是：0<w<2定理2：如果A是正定对称阵，且0<w<2，则解方程组Ax=b的SOR方法收敛。定理3：若A为严格对角占优阵，则当0<w£1时，SOR方法收敛。第七章 数值积分和数值微分1

15、.数值积分及代数精度Q(f)= ，xi (i=0,1,n) （71）是互异的，Ai (i=0,1,n)与f(x)无关的。误差：En(f) =定义：如果求积公式（71）对所有次数不超过k次的多项式f(x)能精确成立（即E（f）=0)，而至少存在一个k+1次多项式g(x)是不成立，即E(g)¹0，则称该公式具有k次代数精度。定理71：求积公式（71）有k次代数精度的充要条件是对f(x)=1,x，xk：都精确成立，而对f(x)= xk+1不成立。定理72：求积公式（71）的代数精确度不超过2n+1。2.等距节点的Newton-Cotes公式 （i=0,1,n）误差： =性质1：有n+1个节

16、点的插值型求积公式（73）的代数精度至少有n次。性质2：有n+1个节点的插值型求积公式（73）的求积系数满足：梯形公式（n=1）：»Simpson公式（n=2）：»Cotes公式（n=4）：性质3：对固定的n，Newton-Cotes系数满足(n³1)：3.公式的误差分析梯形公式的误差分析：=Simpson公式的误差分析：E2(f)= 4.复合求积公式复合梯形求积公式：，xk=a+kh，h=，k=0,1,n。误差：，hÎa，b复合Simpson求积公式：，（k=1,2,2n-1）误差：，hÎa，b4.Guass型求积公式把用a，b上的n+1个节点（互不相同的）xk(k=0,1,n)而使的代数精确度达到2n+1的公式（726）称为Gauss型求积公式。称此组节点为Gauss点。定理：插值型数值积分公式（726）中的节点是Gauss节点的充要条件是n+1次