谷城一中2014届高三数学试卷（文科）（13916）

1、谷城一中2014届高三数学试卷（文科）（13.9.16）一选择题：.本题每小题5分，满分50分.1设A，B是非空集合，定义A×Bx|x(AB)且x(AB)，已知Ax|0x2，By|y0，则A×B等于()A(2，) B0,12，) C0,1)(2，) D0,1(2，)答案A解析由题意知，AB0，)，AB0,2所以A×B(2，)2. 已知集合M(x，y)|y1k(x1)，x，yR，集合N(x，y)|x2y22y0，x，yR，那么MN中()A有两个元素 B有一个元素 C一个元素也没有 D必含无数个元素答案A解析y1k(x1)表示经过定点(1,1)，斜率为k的直线，不包括

2、通过(1,1)与x轴垂直的直线即x1.x2y22y0，可化为x2(y1)21，表示圆心在(0,1)半径等于1的圆，又(1,1)是圆上的点，直线与圆有两个交点，故选A.3yx2cos x的导数是()A2xcos xx2sin x B2xcos xx2sin x C2xcos x Dx2sin x【解析】y2xcos xx2sin x.【答案】B4“m2”是“直线2xmy0与直线xy1平行”的()A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件【解析】m2时，直线2xmy0与直线xy1平行，故充分性成立；反之，直线2xmy0与直线xy1平行时，m2，故必要性成立所以“m2”是

3、“直线2xmy0与直线xy1平行”的充要条件【答案】A5. 已知命题p：mR，m10，命题q：xR，x2mx1>0恒成立若pq为假命题，则实数m的取值范围是()Am2 Bm2 Cm2或m2 D2m2答案A解析由pq为假命题可知p和q都是假命题，即非p是真命题，所以m>1；再由q：xR，x2mx1>0恒成立为假命题知m2或m2，m2，故选A.6具有性质f()f(x)的函数，我们称为满足“倒负”交换的函数，下列函数：f(x)x；f(x)x；f(x)中满足“倒负”变换的函数是()A B C D只有答案B解析f()xf(x)满足f()xf(x)不满足0<x<1时，f()x

4、f(x)，x1时，f()0f(x)，x>1时，f()f(x)满足故选B.7右图中，有一个是函数f(x)x3ax2(a21)x1(aR，a0)的导函数f(x)的图象，则f(1)()A. B C. D或【解析】f(x)x22ax(a21)导函数f(x)的图象开口向上又a0，其图象必为第(3)个图由图象特征知f(0)0，且a0，a1.故f(1)11.【答案】B8已知点A(1,3)，B(2，1)若直线l：yk(x2)1与线段AB相交，则k的取值范围是()Ak Bk2 Ck或k2 D2k【解析】(数形结合法)由已知直线l恒过定点P(2,1)，如下图若l与线段AB相交，则kPAkkPB，kPA2，k

5、PB，2k.【答案】D9如下图中的多边形均为正多边形，M、N是所在边上的中点，双曲线均以F1，F2为焦点，设图1，图2中双曲线的离心率分别为e1，e2，则()Ae1e2 Be1e2 Ce1e2 D以上皆非【解析】(数形结合法)由题意|F1F2|为双曲线的焦距，由正三角形、正方形的性质，探求|PF1|，|PF2|与|F1F2|的关系，再利用双曲线定义及离心率定义求出离心率e1，e2.2a|F2M|F1M|，由图1，知e11，由图2，知e2，所以e1e2，故选A.【答案】A10如图所示，椭圆1(a>b>0)的离心率e，左焦点为F，A、B、C为其三个顶点，直线CF与AB交于D点，则tan

6、BDC的值等于()A3 B3 C. D.【解析】由e知，.由图知tanDBCtanABO，tanDCBtanFCO.tanBDCtan(DBCDCB)3.【答案】B二填空题：每题填对得5分，满分35分.11已知集合A0,2，a2，B1，a，若AB0,1,2,4，则实数a的值为_答案2解析AB0,1,2,4，a4或a24，若a4，则a216，但16AB，a24，a±2，又2AB，a2.12.若f(ab)f(a)·f(b)且f(1)1，则_.答案2013解析令b1，则f(1)1，2013.13. 已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x)·f(x2)13，若f(0)2

7、，则f(2014)_.答案14要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为72 cm3，其底面两邻边长之比为12，则它的长为_，宽为_，高为_时，可使表面积最小【解析】设底面宽为x cm，则长为2x cm，高为 cm，S4x24x2.S8x0，x3 cm.长为6 cm，宽为3 cm，高为4 cm.【答案】6 cm3 cm4 cm15若O：x2y25与O1：(xm)2y220(mR)相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长是_【解析】依题意得|OO1|5，且OO1A是直角三角形，SOO1A··|OO1|·|OA|·|AO1|，因此|AB

8、|4.【答案】416已知：直线l：y(x2)和双曲线C：1(a>0，b>0)，又l关于直线l1：yx对称的直线l2与x轴平行则双曲线C的离心率为 【答案】【解】设双曲线C：1过一、三象限的渐近线l1：0的倾斜角为.为l和l2关于l1对称，记它们的交点为P.而l2与x轴平行，记l2与y轴交点为Q点，l与x轴交点为M点依题意有QPOPOMOPM.又l：y(x2)的倾斜角为60°，则260°，所以tan 30°.于是e211，所以e.17. 点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线y24x上，当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，y1y2

9、的值为 直线AB的斜率为 【解】设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，则kPA(x11)，kPB(x21)，PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，kPAkPB.由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得 y4x1， y4x2，y12(y22)即y1y24.由得，yy4(x1x2)，kAB1(x1x2)三、解答题：本题共有5小题，满分65分.18(12分)设命题p：实数x满足x24ax3a2<0，其中a0，命题q：实数x满足(1)若a1，且pq为真，求实数x的取值范围；(2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围解析(1)a1时，p：x24x3<0，即p：1&

10、lt;x<3，q：即q：2<x3，由pq为真知，2<x<3.(2)由x24ax3a2<0，得(xa)(x3a)<0，若a<0，则3a<x<a，不合题意；若a>0，则a<x<3a，由题意知，(2,3 (a,3a)，1<a2.19(12分) 已知圆C的方程为x2y24.(1)求过点P(1,2)且与圆C相切的直线l的方程；(2)直线l过点P(1,2)，且与圆C交于A、B两点，若|AB|2，求直线l的方程；(3)圆C上有一动点M(x0，y0)，(0，y0)，若向量，求动点Q的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线【解】(1)显然直

11、线l的斜率存在，设切线方程为y2k(x1)，则由2，得k10，k2，从而所求的切线方程为：y2和4x3y100.(2)当直线l垂直于x轴时，此时直线方程为x1，l与圆的两个交点坐标为(1，)和(1，)，这两点的距离为2，满足题意；当直线l不垂直于x轴时，设其方程为y2k(x1)，即kxyk20，设圆心到此直线的距离为d(d0)，则22，得d1，从而1，得k，此时直线方程为3x4y50，综上所述，所求直线方程为3x4y50或x1.(3)设Q点的坐标为(x，y)，M点坐标是(x0，y0)，(0，y0)，(x，y)(x0,2y0)xx0，y2y0.xy4，x224，即1.Q点的轨迹方程是1，轨迹是一

12、个焦点在y轴上的椭圆20(13分)某西部山区的某种特产由于运输的原因，长期只能在当地销售，当地政府通过投资对该项特产的销售进行扶持，已知每年投入x万元，可获得纯利润P(x40)2100万元(已扣除投资，下同)，当地政府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售，其规划方案为：在未来10年内对该项目每年都投入60万元的销售投资，其中在前5年中，每年都从60万元中拨出30万元用于修建一条公路，公路5年建成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的5年中，该特产既在本地销售，也在外地销售，在外地销售的投资收益为：每年投入x万元，可获纯利润Q(60x)2·(60x)万元，问仅从这10年的累积

13、利润看，该规划方案是否可行？解析在实施规划前，由题设P(x40)2100(万元)，知每年只需投入40万，即可获得最大利润100万元，则10年的总利润为W1100×101000(万元)实施规划后的前5年中，由题设P(x40)2100知，每年投入30万元时，有最大利润Pmax(万元)，前5年的利润和为×5(万元)设在公路通车的后5年中，每年用x万元投资于本地的销售，而剩下的(60x)万元用于外地区的销售投资，则其总利润为W2(x40)2100×5(x2x)×55(x30)24950.当x30时，W24950(万元)为最大值，从而10年的总利润为4950(万元

14、)4950>1000，该规划方案有极大实施价值21(14分) 已知椭圆1(a>b>0)和圆O：x2y2b2，过椭圆上一点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B.(1)若圆O过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e；若椭圆上存在点P，使得APB90°，求椭圆离心率的取值范围；(2)设直线AB与x轴、y轴分别交于点M、N，求证：为定值【解】(1)因为圆O过椭圆的焦点，圆O：x2y2b2，所以bc，所以b2a2c2c2，所以a22c2，所以e.由APB90°及圆的性质，可得|OP|b，所以|OP|22b2a2，所以a22c2，所以e2，所以e<1.(2)设P(x0

15、，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，整理得x0x1y0y1xy.因为xyb2，所以PA方程为：x1xy1yb2，同理PB方程为：x2xy2yb2.PA、PB都过点P(x0，y0)，所以x1x0y1y0b2且x2x0y2y0b2，故直线AB方程为x0xy0yb2.令x0，得|ON|y|，令y0，得|OM|x|，所以，所以为定值，定值是.22(14分)已知函数f(x)x1(aR，e为自然对数的底数)(1)若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线平行于x轴，求a的值；(2)求函数f(x)的极值；(3)当a1时，若直线l：ykx1与曲线yf(x)没有公共点，求k的最大值22解：(1)由

16、f(x)x1，得f(x)1.又曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线平行于x轴，得f(1)0，即10，解得ae.(2)f(x)1，当a0时，f(x)>0，f(x)为(，)上的增函数，所以函数f(x)无极值当a>0时，令f(x)0，得exa，xln a.当x(，ln a)时，f(x)<0；当x(ln a，)时，f(x)>0，所以f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增，故f(x)在xln a处取得极小值，且极小值为f(ln a)ln a，无极大值综上，当a0时，函数f(x)无极值；当a>0时，f(x)在xln a处取得极小值ln a，无极大值(3)方法一：当a1时，f(x)x1.令g(x)f(x)(kx1)(1k)x，则直线l：ykx1与曲线yf(x)没有公共点，等价于方程g(x)0在R上没有实数解假设k>1，此时g(0)1>0，g1<0，又函数g(x)的图像连续不断，由零点存在定理，可知g(x)0在R上至少有一解，与“方程g(x)0在R上没有实数解”矛盾，故k1.又k1时，g(x)>0，知方程g(x)0在R上没有实数解所以k的最大值为1.方法二：当a1时，f(x)x1.直线l：