谈谈不等式恒成立问题的几种常见解法

1、 谈谈不等式恒成立问题的几种常见解法 宁乡四中 吴业分 长郡中学 连成珺恒成立问题是历年来高考考查的重点内容.近年来，在各省的高考命题中，恒成立问题经常与导数、不等式相结合出现，难度较大。下面我们来谈谈不等式的恒成立问题的几种常见解法.一分离变量法若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围.这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强.一般地有：1）恒成立2）恒成立例题1已知当xR时，不等式a+cos2x<5-4sinx+恒成立，求实数a的取值范围.分析：在不等式中含有两个变量a及x，其中x的范围已知（xR），另一变

2、量a的范围即为所求，故可考虑将a及x分离.解：原不等式即：要使上式恒成立，只需大于的最大值，故上述问题转化成求f(x)=4sinx+cos2x的最值问题.f(x)= 4sinx+cos2x=-2sin2x+4sinx+1=-2(sinx-1)2+33,即上式等价于或解得.二构造函数法给定一次函数y=f(x)=ax+b(a0),若y=f(x)在m,n内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于）或）亦可合并定成同理，若在m,n内恒有f(x)<0，则有处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化.例题2 设不

3、等式对满足的一切m都成立，求x的取值范围.解：将x的不等式整理成关于m的不等式把m看成主元，构造函数上述函数图像表示的是一条线段，从而要即解得.三、判别式法若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数,有1）对恒成立; 2）对恒成立 .例题3 不等式，对恒成立，求的取值范围.解：当时，命题成立.当时，要使对恒成立，只须抛物线图像在x轴上方.所以即解得所以m的取值范围是. 四，利用导数法 分离变量法虽然比较简结，但有一定的局限性，当分离变量法受阻时，只能转为直接求最值，此时求函数最值最为有效的方法就是导数法. 函数 在 内可导， 在 任意子区间内都不恒等于0. 函

4、数 在 上单调递增； 函数 在 上单调递减. 例题4：己知函数为常数）.若存在 ,使得 成立，求实数a取值范围. 解：不等式,可化为 . , 且等号不能同时取,所以 即 因而 )令 )又 当时， 从而 （仅当 时取等号）， 在 上为增函数， 的最小值为 的取值范围是 .五、数形结合法 如果不等式中涉及的函数、代数式对应的图象、图形较易画出时，可通过图象、图形的位置关系建立不等式求得参数范围. 例题5已知函数若不等式恒成立，求实数的取值范围是. 解：在同一个平面直角坐标系中分别作出函数及的图象，由于不等式恒成立，所以函数的图象应总在函数的图象下方，因此，当时，所以故的取值范围是 .由上可见，含参的不等式恒成立问题因其覆盖知识点多，方法也多种多样，但其核心思想还是等价转化，所以我们在解决问题的过程中，根据题型的特点，选取不等同的方法，只有抓住了这点，才能以“不变应万变