新人教版高中数学必修1到5部分知识点总结

1、新人教版高中数学必修1到5部分知识点总结1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 中元素各表示什么？如：集合， 、 、Ax yxBy yxCx y yxABC|lg|lg( , )|lg2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集 的特殊情况。注重借助于数轴和文氏图解集合问题。空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。如：集合，Ax xxBx ax|22301若，则实数 的值构成的集合为BAa 3. 注意下列性质： （ ）集合，的所有子集的个数是；1212aaann（ ）若，；2ABABAABB（3）德摩根定律： CCCCCCUUUUUUA

2、BABABAB，4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于 的不等式的解集为，若且，求实数xaxxaMMMa50352的取值范围。（，）335305555015392522MaaMaaa5. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”，“且”和( )( )“非”( ).若为真，当且仅当 、 均为真pqpq若为真，当且仅当 、 至少有一个为真pqpq若为真，当且仅当 为假pp义域是_。 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。） 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗？映射f：AB，是否注意到A中

3、元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？ （一对一，多对一，允许B中有元素无原象。） 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？例：函数的定义域是yxxx432lg10. 如何求复合函数的定义域？ 如：函数的定义域是，则函数的定f xabbaF(xf xfx( )( )() 011. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？ 如：，求fxexf xx1( ).令，则txt10 xt21f tett( ) 2121f xexxx( ) 2121012. 反函数存在的条件是什么？

4、 （一一对应函数） 求反函数的步骤掌握了吗？ （反解x；互换x、y；注明定义域）如：求函数的反函数f xxxxx( ) 100213. 反函数的性质有哪些？ 互为反函数的图象关于直线yx对称； 保存了原来函数的单调性、奇函数性；设的定义域为 ，值域为 ，则yf(x)ACaAbCf(a) = bf1( )baff afbaf fbf ab111( )( )( )( )，14. 如何用定义证明函数的单调性？ （取值、作差、判正负） 如何判断复合函数的单调性？（，则（外层） （内层）yf uuxyfx( )( )( )当内、外层函数单调性相同时为增函数，否则为减函数。）fxfx( )( )如：求的单

5、调区间yxxlog1222（设，由则uxxux 22002且，如图：log12211uux u O 1 2 x 当， 时，又，xuuy(log0112当，时，又，xuuy)log1212 ） 15. 如何利用导数判断函数的单调性？ 在区间，内，若总有则为增函数。（在个别点上导数等于abfxf x( )( ) 0零，不影响函数的单调性），反之也对，若呢？f x( ) 0如：已知，函数在 ，上是单调增函数，则 的最大af xxaxa 013( )值是（ ） A. 0B. 1C. 2D. 3（令f xxaxaxa( ) 333302则或xaxa 33由已知在 ，上为增函数，则，即f xaa( )13

6、13 a的最大值为3） 16. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？ （f(x)定义域关于原点对称）若总成立为奇函数函数图象关于原点对称fxf xf x()( )( ) 若总成立为偶函数函数图象关于 轴对称fxf xf xy()( )( ) 注意如下结论： （1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。（ ）若是奇函数且定义域中有原点，则。2f(x)f(0)0如：若为奇函数，则实数f xaaaxx( ) 2221（为奇函数，又，f xxRRf( )( )000即，）aaa22210100又如：为定义在，上的奇函数，当，

7、时，f xxf xxx( )()()( )1101241求在， 上的解析式。f x( )11（令，则， ，xxfxxx 1001241()又为奇函数，f xf xxxxx( )( ) 241214又，）ff xxxxxxxx( )( )()0024110024101 17. 你熟悉周期函数的定义吗？ （若存在实数 （），在定义域内总有，则为周期TTf xTf xf x0( )( )函数，T是一个周期。）如：若，则f xaf x ( )（答：是周期函数，为的一个周期）f xTaf x( )( ) 2又如：若图象有两条对称轴，f xxaxb( )即，f axf axf bxf bx()()()()

8、则是周期函数，为一个周期f xab( )2 如： 18. 你掌握常用的图象变换了吗？ f xfxy( )()与的图象关于轴 对称f xf xx( )( )与的图象关于轴 对称f xfx( )()与的图象关于 原点 对称f xfxyx( )( )与的图象关于 直线对称1f xfaxxa( )()与的图象关于 直线对称2 f xfaxa( )()()与的图象关于 点 ，对称20将图象左移个单位右移个单位yf xa aa ayf xayf xa ( )()()()()00上移个单位下移个单位b bb byf xabyf xab()()()() 00注意如下“翻折”变换： f xf xf xf x(

9、)( )( )(| |) 如：f xx( )log21作出及的图象yxyxloglog2211 y y=log2x O 1 x 19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？ (k0) y=b O(a,b) O x x=a （ ）一次函数：10ykxb k（ ）反比例函数：推广为是中心，200ykxkybkxakO ab()的双曲线。（ ）二次函数图象为抛物线30244222yaxbxc aa xbaacba顶点坐标为，对称轴 baacbaxba24422开口方向：，向上，函数ayacba0442minayacba0442，向下，max应用：“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系二

10、次方程axbxcxxyaxbxcx212200，时，两根、为二次函数的图象与 轴的两个交点，也是二次不等式解集的端点值。axbxc200() 求闭区间m，n上的最值。 求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。 一元二次方程根的分布问题。如：二次方程的两根都大于axbxckbakf k20020( ) y (a0) O k x1 x2 x 一根大于 ，一根小于kkf k( )0（ ）指数函数：，401yaaax（ ）对数函数，501yx aaalog 由图象记性质！ （注意底数的限定！） y y=ax(a1) (0a1) 1 O 1 x (0a1) （ ）“对勾函数”60yxkxk利用它的单调

11、性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？ y O x k k 20. 你在基本运算上常出现错误吗？ 指数运算：，aaaaapp01010()aaaaaamnmnmnmn(010)，对数运算：，logloglogaaaMNMN MN00logloglogloglogaaaanaMNMNMnM，1对数恒等式：axaxlog对数换底公式：logloglogloglogaccanabbabnmbm21. 如何解抽象函数问题？ （赋值法、结构变换法） 如：（ ），满足，证明为奇函数。1xRf xf xyf xf yf x( )()( )( )( )（先令再令，）xyfyx 000( )（ ），满足，

12、证明是偶函数。2xRf xf xyf xf yf x( )()( )( )( )（先令xytfttf tt ()()()ftftf tf t()()( )( )）ftf t()( )（ ）证明单调性：32212f xf xxx() 22. 掌握求函数值域的常用方法了吗？ （二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法等。） 如求下列函数的最值：（ ）123134yxx（ ）2243yxx（ ），33232xyxx（ ）设，449302yxxxcos（ ），54901yxxx(23. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为，半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗

13、？ （ ，）扇llRSRR12122 O R 1 弧度 R 24. 熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义sincostanMPOMAT，y T A x B S O M P 如：若，则，的大小顺序是80sincostan又如：求函数的定义域和值域。yx122cos（）122120cossinxx，如图：sinx 22，25424012kxkkZy 25. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？ sincosxx11，yxkkkZsin 的增区间为，2222减区间为，22232kkkZ图象的对称点为，对称轴为kxkkZ02yxkkkZcos 的增

14、区间为，22减区间为，222kkkZ图象的对称点为，对称轴为kxkkZ20 y x O 2 2 ytgx 对称点为，kkZ20yxkkkZtan 的增区间为，2226. y = Asinx +正弦型函数的图象和性质要熟记。 或yAxcos（ ）振幅，周期12| | |AT 若，则为对称轴。f xAxx00 若，则，为对称点，反之也对。f xx0000（x，y）作图象。 （ ）五点作图：令依次为 ， ，求出 与 ，依点202322xxy（ ）根据图象求解析式。（求 、 、 值）3A如图列出()()xx1202解条件组求 、 值正切型函数，yAxTtan| |如：函数的值域是yxxsinsin|

15、|27. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面先求出某一个三角函数值，再判定角的范围。 如：，求 值。cos xxx 62232（，）xxxx32766536541312 28. 在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？ （时，时，）x 02220022yxxyysin 29. 熟练掌握三角函数图象变换了吗？ （平移变换、伸缩变换） 平移公式：（ ）点 （ ， ），平移至（，），则1PxyahkPxyxxhyyk()图象？ （ ）曲线，沿向量，平移后的方程为，200f xyahkf xhyk()()()如：函数的图象经过怎样的变换才能得到的yxyx 2241sinsin

16、（横坐标伸长到原来的 倍yxyx 22412212412sinsin 24142121sinsinsinxyxyx左平移个单位上平移 个单位纵坐标缩短到原来的 倍）12yxsin 30. 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？ 如：142222sincossectantancotcossectansincos20称为 的代换。1“”化为的三角函数“奇变，偶不变，符号看象限”，k2“奇”、“偶”指k取奇、偶数。如：costansin947621 又如：函数，则 的值为yysintancoscot A. 正值或负值 B. 负值 C. 非负值D. 正值），（001sincos1cossinsinc

17、oscoscossinsin22y 31. 熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式降幂公式及其逆向应用了吗？理解公式之间的联系：sinsincoscossinsinsincos 令22coscoscossinsincoscossin 令222 tantantantantan1 211222cossin tantantan2212 coscossincos22122122 ababbasincossintan22，sincossin24sincossin323应用以上公式对三角函数式化简。（化简要求：项数最少、函数种类最少，分母中不含三角函数，能求值，尽可能求值。）具体方法：（ ）角的变换：如，122

18、2 （2）名的变换：化弦或化切（3）次数的变换：升、降幂公式（4）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。如：已知，求的值。sincoscostantan121232 （由已知得：，sincossincossintan221122又tan 23）tantantantantantan2123121231218 余 弦 定 理 ： abcb cAAbcab c22222222co sco s正 弦 定 理 ：aAbBcCRaRAbRBcRCsinsinsinsinsinsin2222SabC12sin， ABCABC，sinsinsincosABCABC22如中 ， A B CABC22212s

19、inco s32. 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？ （应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。） （ ）求角 ；1C（ ）若，求的值。2222222abcABcoscos （ （） 由 已 知 式 得 ：112112c o sc o sABC又， ABCCC2102c o sc o s或（ 舍 ）c o sc o sCC 121又， 03CC（） 由 正 弦 定 理 及得 ：212222abc223342222sinsinsinsinABC121234c o sc o sAB）c o sc o s2234AB 反正弦：，arcsinxx 2211反

20、余弦：，arccosxx 011反正切：，arctanxxR 22 33. 用反三角函数表示角时要注意角的范围。 （ ），100abcacbccacbc（），2abcdacbd（），300abcdacbd（），4011011abababab34. 不等式的性质有哪些？ （ ），50abababnnnn（ ），或60| | |xa aaxaxaxaxa 如：若，则下列结论不正确的是（）110abA abB abb.222C ababDabba.| | | | |. 2 答案：Cabab abRabababab222222，；求最值时，你是否注意到“ ，”且“等号成立”时的条件，积或和其中之一为定

21、abRabab()()35. 利用均值不等式： 值？（一正、二定、三相等）ababababababR22222，当 且 仅 当时 等 号 成 立 。ababcabbccaabR222，当 且 仅 当时 取 等 号 。abcabmn000， 则babmamanbnab1注意如下结论： 如：若，的最大值为xxx0234（设yxx 23422 1224 3当且仅当，又，时，）3402 3324 3xxxxymax又如：，则的最小值为xyxy2124（，最小值为）222 22 22 2221xyxy 如 ： 证 明1121312222n（ 112131111212311222nnn1112121311

22、1212 ）nnn 36. 不等式证明的基本方法都掌握了吗？ （比较法、分析法、综合法、数学归纳法等） 并注意简单放缩法的应用。 370.( )( )解分式不等式的一般步骤是什么？f xg xa a 如： xxx112023如：对数或指数的底分或讨论aa101例如：解不等式|xx311 （移项通分，分子分母因式分解，x的系数变为1，穿轴法解得结果。）38. 用“穿轴法”解高次不等式“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始39. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论 40. 对含有两个绝对值的不等式如何去解？ （找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。） 证明较简单的不等问题会用不等

23、式|.41bababa如 ： 设， 实 数满 足f xxxaxa()|2131求 证 ： f xf aa()( )(| |)21| ()( )|()()|f xf axxaa221313|()()| (|)| | |xaxaxaxaxaxaxa11111又， | | | | | |xaxaxa11 f xf aaa()( )| | |2221证明：证明： （按不等号方向放缩）如：恒成立的最小值af xaf x( )( )af xaf x( )( )恒成立的最大值af xaf x( )( )能成立的最小值例如：对于一切实数 ，若恒成立，则 的取值范围是xxxaa32（设，它表示数轴上到两定点和

24、距离之和uxx3223uaamin 32555，即 或者：，）xxxxa32325542. 不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“”问题）问题） 定义：为常数 ，aad daandnnn111()等差中项： ， ， 成等差数列xAyAxy2前 项和nSaannan ndnn11212性质：是等差数列an（ ）若，则；1mnpqaaaamnpq（ ）数列，仍为等差数列；2212aakabnnnSSSSSnnnnn，仍为等差数列；232（ ）若三个数成等差数列，可设为， ，；3adaad（ ）若，是等差数列，为

25、前 项和，则；42121abSTnabSTnnnnmmmm43. 等差数列的定义与性质 （ ）为等差数列（ ， 为常数，是关于 的常数项为52aSanbnabnnn0的二次函数）中的正、负分界的最值；或者求出的最值可求二次函数nnnabnanSS2当，解不等式组可得达到最大值时的 值。adaaSnnnn110000当，由可得达到最小值时的 值。adaaSnnnn110000如：等差数列，则aSaaaSnnnnnn1831123（由，aaaaannnnn12113331又，Saaaa31322233113Saanaannnnn12122131218n27）项，即： 定 义 ：（为 常 数 ，）

26、，aaqqqaa qnnnn1110等 比 中 项 ：、成 等 比 数 列， 或xGyGxyGxy 2前项 和 ：（ 要 注 意）nSnaqaqqqnn111111()()!性 质 ：是 等 比 数 列an（） 若， 则1mnpqaaaamnpq（）， 仍 为 等 比 数 列2232SSSSSnnnnn45. 由求时 应 注 意 什 么 ？Sann（时 ，时 ，）naSnaSSnnn1211144. 等比数列的定义与性质 解：解： 如：满足aaaannnn121212251122naa1122151411时，2522212121211221naaannn时， 12122得：nnaann21an

27、nnn141221()() 46. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？ 例如：（1）求差（商）法 数列满足，求aSSaaannnnn111534（注意到代入得：aSSSSnnnnn1114又，是等比数列，SSSnnn144naSSnnnn23411时，练习 例 如 ： 数 列中 ， 求aaaannannnn1131aaaaaannaannnn213211122311 ， 又， aann133由， 求， 用 迭 加 法aafnaaannn 110()naafaafaafnnn22321321时 ， 两 边 相 加 ， 得 ：()()()aafffnn123()()() aafffnn023()(

28、 )()（2）叠乘法 解：解： （3）等差型递推公式 数列，求aaaanannnnn111132（）ann1231练习 acadcdccdnn1010、为 常 数 ，可 转 化 为 等 比 数 列 ， 设 axc axnn1acacxnn11令， ()cxdxdc11为公比的等比数列，是首项为ccdacdan111adcadccnn1111 aadccdcnn1111（4）等比型递推公式 数列满足，求aaaaannnn11934（）ann84311练习 ann21例 如 ：， 求aaaaannnn11122由 已 知 得 ：1221211aaaannnn11121aann111121aan为

29、等 差 数 列 ， 公 差 为11112121annn（5）倒数法 解：解： 如：是公差为 的等差数列，求ada ankkkn111由11111011aaaadd aadkkkkkk11111111a ad aakkknkkkn 11111111111223111daaaaaad aannn47. 你熟悉求数列前n项和的常用方法吗？ 例如：（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。求和：111211231123 n（，）aSnnn211练习 若为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列）前 项aba bnnnnn 和，可由求，其中 为的公比。SqSSqbnnnn如：Sxxxnxnn 1 2341231xSxxxxnxnxnnn234122341 121121：x SxxxnxnnnxSxxnxxnnn11112时，xSnn nn 11 2 312时，（2）错位相减法： SaaaaSaaaannnnnn121121相加21211Saaaaaannnn已知，则f xxxfffffff( )( )( )( )( ) 2211212313414（由f xfxxxxxxxx( ) 1111111112222222原式 fffffff( )( )( )( )1212313414 12111312）（3）倒序相加法：把数列