蒋艳玲：223向量数乘运算及其几何意义

1、温故知新温故知新向量的加法向量的加法( (三角形法则三角形法则) )aba+baba+b向量的加法向量的加法( (平行四边形法则平行四边形法则) )向量的减法向量的减法( (三角形法则）三角形法则）aba-b特点特点:首尾相接首尾相接特点特点:共起点共起点特点：特点：共起点，连终点，方向指向被减数共起点，连终点，方向指向被减数实际背景表示，试画出该向量。用秒的位移对应的向量那么在同方向上向量，一秒钟的位移对应一物体作匀速直线运动aa33,aa3在物理中位移与速度的关系：在物理中位移与速度的关系：s=vt， 力与加速度的关系：力与加速度的关系：f=ma. 其中位移、速度，力、加速度都是向量，其中

2、位移、速度，力、加速度都是向量，而时间、质量都是数量。而而时间、质量都是数量。而数量与向量的数量与向量的乘积是向量乘积是向量。思考题思考题1:已知向量已知向量 如何作出如何作出 和和 a, a a a ( a) ( a) ( a)? a OAa Ba Ca NMQPa a a OC OA AB BC a a a 记记:aaa3a即即:OC3a. 同理可得同理可得:PN( a)( a)( a)3a 思考题思考题2: 向量向量 与向量与向量 有什么关系有什么关系? 向量向量 与向量与向量 有什么关系有什么关系? 3a a a 3a (1)向量向量 的方向与的方向与 的方向相同的方向相同, 向量向量

3、 的长度是的长度是 的的3倍倍,即即3a a a 3a 3a3 a . (2)向量向量 的方向与的方向与 的方向相反的方向相反, 向量向量 的长度是的长度是 的的3倍倍,即即3a a 3a a 3a3 a . 一、实数与向量的积的定义：一、实数与向量的积的定义： 如下：，它的长度和方向规定的积是一个向量，记作与向量实数aa aa1 的方向相同；的方向与时，当aa 02的方向相反；的方向与时，当aa 0. 0 00 aa时，或当特别地，是无意义的，但不可以作加减法，即，可以作积，与向量实数aaa注意：注意： 二、实数与向量的积的运算律：二、实数与向量的积的运算律： a2)2( 3aa6a )2(

4、3aa6=aa)()(； 2 3a（ ）6aaa5a2a3二、实数与向量的积的运算律：二、实数与向量的积的运算律： aaaaaa)(aa=+ (23)a2a3aababa2b2baba22 二、实数与向量的积的运算律：二、实数与向量的积的运算律： baba22)(2)( baab=+ 2()ab 22abab设设 为实数，那么为实数，那么, 特别地，我们有特别地，我们有()()(),(). aaaabab 向量的加、减、数乘运算统称为向量的向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算线形运算.对于任意向量对于任意向量 ，以及任意实数，以及任意实数 ，恒，恒有有a b 、12、 、仍是向量仍是向量

5、二、实数与向量的积的运算律：二、实数与向量的积的运算律： 11abab 22（）=aa)()(a)(aa=+)( baab=+)2(3)3(2 )3()2()3( )2(43)( (1)cbacbaababaa12a5b52abc 注注：向量与实数之间可以像多项式：向量与实数之间可以像多项式一样进行运算一样进行运算.例例1：计算题计算题想一想：想一想：?,),0() 1 (位置关系如何则若baaab/ba?),0(/)2(是否成立则若abaab成立成立2) 可以是零向量吗可以是零向量吗?思考思考:1) 为什么要是非零向量为什么要是非零向量?三、共线向量基本定理：三、共线向量基本定理： 向量向量

6、 与非零向量与非零向量 共线共线当且仅当当且仅当有唯一一个实数有唯一一个实数 ，使得，使得abababab即 与 共线ba(0)a 定理的应用定理的应用:(1)有关向量共线问题有关向量共线问题:BCAB33BCAB 3AC3DEADAE 解：解： 与与 共线共线 ACAEABCDE例例2:如图：已知如图：已知试判断试判断 与与 是否共线是否共线 ， 3 3BCDEABADACAE (2)证明三点共线的问题证明三点共线的问题:定理的应用定理的应用:(1)有关向量共线问题有关向量共线问题:AB BC 例例3.如图，已知任意两个向量如图，已知任意两个向量 ，试作，试作a b 、2 ,3 .OBab

7、OCab ,OAa b 你能判断你能判断A、B、C三点之三点之间的位置关系吗？为什么？间的位置关系吗？为什么？abab2b3bABCOab2b3bABCO 设设a，b是两个不共线的向量，是两个不共线的向量，求证：求证：A，B，D三点共线三点共线.证明：证明：又它们有公共点又它们有公共点BA,B,D三点共线三点共线bababaCDBCBD5382AB5ABBD/， 3 82 baCDbaBCbaAB(2)证明三点共线的问题证明三点共线的问题:定理的应用定理的应用:(1)有关向量共线问题有关向量共线问题: / CDABCDABCDABCDAB直线直线不在同一直线上与(3)证明两直线平行的问题证明两直线平行的问题:AB BC 解：解：例例4:在四边形在四边形ABCD中，中，求证：四边形求证：四边形ABCD为梯形为梯形 ， 2baAB， 35 4baCDbaBC 28baCDBCABADBC2BCAD直线直线/BCAD/不在同一直线上与CDAB所以四边形所以四边形ABCD为梯形为梯形例例5.如图，平行四边形如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交的两条对角线相交于点于点M，且，且 ，你能用，你能用 、 来表来表示示 。,ABa ADb abMA MB MCMD 、 、和和ADBCMabCD5.设 、 是两个不共线向量，已知 ， ，若A、B、C三点共