反比例函数基础知识的应用

1、反比例函数基础知识的应用    立足基础 举一反三 谈反比例函数基础知识的应用江苏省泰州市九龙实验学校 陈建（225300）一、反比例函数的基础知识1一般地，形如y=(k为常数,k0)的函数称为反比例函数,其中x是自变量,y是函数,k是比例系数.2.函数的解析式的特征:等号左边是函数y,等号右边是一个分式,分子是常数k,分母中含有自变量x,且x的指数是1.自变量x的取值范围是x0的一切实数.比例系数“k0”是反比例函数定义的一个重要组成部分.函数y的取值范围也是一切非0的实数.3.反比例函数的几种等价形式：y=;y=kx-1;xy=k.(k0)4.用待定

2、系数法，求反比例函数的解析式：反比例函数 （且k为常数）中，只有一个待定系数，因此只需一对对应值就可求出k的值，从而确定其解析式.5.反比例函数y=( k为常数,k0)图象是双曲线.(既是轴对称图形,又是中心对称图形)6.反比例函数图象的性质：当k>0时,双曲线位于第一,三象限,在每个象限内,曲线从左向右下降,因而y随x的增大而减小;当k<0时,双曲线位于第二,四象限,在每个象限内,曲线从左向右上升,因而y随x的增大而增大.双曲线与x轴,y轴都没有交点,而是越来越接近x轴,y轴.7.比例系数k的几何意义:反比例函数中比例系数k的几何意义,如果过双曲线上任意一点引x轴,y轴垂线,与两

3、坐标轴围成的矩形面积为|k|.二、反比例函数基础知识的应用例1    已知 是反比例函数（1）    求它的解析式.（2）    求自变量 的取值范围，在每个象限内， 随 的增大而怎样变化？（3）    它的图象位于哪个象限？分析： （k0）叫反比例函数，也可以写成 ，因此，它的特点是（1）k0，（2）x的指数为-1.   解：（1）由题意得 ， ，解析式为 （2）自变量 的取值范围是 . （3）由于 ，它的图象位于二、四象限；在每个象限内， 随

4、 的增大而增大.OAOOBOOCOODO例2、在同一坐标系中，函数 和 的图像大致是 （ ）    分析：本题是考查含有字母系数的几个函数在同一坐标系中的图象，分 和 两种情况进行讨论，选A.例3、如右图，在 的图象上有两点A、C，过这两点分别向x轴引垂线，交x轴于B、D两点，连结OA、OC，记ABO、CDO的面积为 ，则 与 的大小关系是( )A. B. C. D.不确定分析：由基础知识7知 ，故选C.  例4已知反比例函数 的图像上有两点A( ， )，B( ， )， 且 ，则 的值是（ ） A、正数 B、负数 C、非正数 D、不能

5、确定分析：由 可分为 ，易得 ，故选D.特别要注意反比例函数的增减性是对每一支曲线而言. 例5如图是三个反比例函数 ， ， 在x轴上方的图象，由此观察得到 、 、 的大小关系为（ ）A、 B、 C、 D、 分析：根据图象所在的象限，知 ，取 得 ，即 ，故选B.例6在矩形ABCD中AB=3，BC=4，P是BC边上与B点不重合的任意点，PA=x，D点到PA的距离为y，求y与x之间的函数关系式，并画出函数的图像以及自变量x的取值范围.DBAECP 解：如图，由题意（1）DEA=ABP，1=2，DEAABP， 即 (2) P在BC上,与B不重合,可以与C重合, .(3)由于函数自

6、变量的取值范围是3<x5，所以y对应的取值范围是 ，因此图像只是一段曲线  , 其中不包括（3，4）而包括（5， ）.(图略)例7.已知一个函数具有以下条件：（1）该图象经过第四象限；（2）当 时， y随x的增大而增大；（3）该函数图象不经过原点.请写出一个符合上述条件的函数关系式： .分析:这是一道开放题,必须非常熟悉函数的图象和性质,才能解决问题.符合上述条件的函数关系式为 .例8、某自来水公司计划新建一个容积为40000 的长方形蓄水池.（1）蓄水池的底面积S（ ）与其深度h（m）有怎样的函数关系？（2）如果蓄水池的深度设计为5m，那么蓄水池的底面积应为多少平方米？（3）由于绿化以及辅助用地的需要，经过实地测量，蓄水池的长和宽最多能分别设计为100m和60m，那么蓄水池的深度至少达到多少才能满足要求？（保留两位小数）分析：这是一道反比例函数在生活实际中应用的问题，通过长方体体积公式vsh的变式来解决问题(1)，得到 与 进行类比，得到是反比例函数关系；问题（2）和问题（3）则都是知道关系式中一个变