关于高斯平滑滤波器

1、高斯滤波器是一类根据高斯函数的形状来选择权值的线性平滑滤波器。高斯平滑滤波器对于抑制服从正态分布 的噪声非常有效。一维零均值高斯函数为： g(x)=exp( -x2/(2 sigma2) 其中，高斯分布参数Sigma决定了高斯函数的宽度。 对于图像处理来说，常用二维零均值离散高斯函数作平滑滤波器。 高斯函数具有五个重要的性质，这些性质使得它在早期图像处理中特别有用这些性质表明，高斯平滑滤波器无论在空间域还是在频率域都是十分有效的低通滤波器，且在实际图像处理中得到了工程人员的有效使用高斯函数具有五个十分重要的性质，它们是： （1）二维高斯函数具有旋转对称性，即滤波器在各个方向上的平滑程度是相同的

2、一般来说，一幅图像的边缘方向是事先不知道的，因此，在滤波前是无法确定一个方向上比另一方向上需要更多的平滑旋转对称性意味着高斯平滑滤波器在后续边缘检测中不会偏向任一方向 （2）高斯函数是单值函数这表明，高斯滤波器用像素邻域的加权均值来代替该点的像素值，而每一邻域像素点权值是随该点与中心点的距离单调增减的这一性质是很重要的，因为边缘是一种图像局部特征，如果平滑运算对离算子中心很远的像素点仍然有很大作用，则平滑运算会使图像失真 （3）高斯函数的付立叶变换频谱是单瓣的正如下面所示，这一性质是高斯函数付立叶变换等于高斯函数本身这一事实的直接推论图像常被不希望的高频信号所污染(噪声和细纹理)而所希望的图像

3、特征（如边缘），既含有低频分量，又含有高频分量高斯函数付立叶变换的单瓣意味着平滑图像不会被不需要的高频信号所污染，同时保留了大部分所需信号 （4）高斯滤波器宽度(决定着平滑程度)是由参数表征的，而且和平滑程度的关系是非常简单的越大，高斯滤波器的频带就越宽，平滑程度就越好通过调节平滑程度参数，可在图像特征过分模糊(过平滑)与平滑图像中由于噪声和细纹理所引起的过多的不希望突变量(欠平滑)之间取得折衷 （5）由于高斯函数的可分离性，较大尺寸的高斯滤波器可以得以有效地实现二维高斯函数卷积可以分两步来进行，首先将图像与一维高斯函数进行卷积，然后将卷积结果与方向垂直的相同一维高斯函数卷积因此，二维高斯滤波

4、的计算量随滤波模板宽度成线性增长而不是成平方增长 附1：图像滤波概念 1 图像滤波的基本概念 图像常常被强度随机信号（也称为噪声）所污染一些常见的噪声有椒盐（Salt & Pepper）噪声、脉冲噪声、 高斯噪声等椒盐噪声含有随机出现的黑白强度值而脉冲噪声则只含有随机的白强度值（正脉冲噪声）或黑强度值（负脉冲噪声）与前两者不同，高斯噪声含有强度服从高斯或正态分布的噪声研究滤波就是为了消除噪声干扰。 图像滤波总体上讲包括空域滤波和频域滤波。频率滤波需要先进行傅立叶变换至频域处理然后再反变换回空间域还原图像，空域滤波是直接对图像的数据做空间变换达到滤波的目的。它是一种邻域运算，即输出图像中

5、任何像素的值都是通过采用一定的算法，根据输入图像中对用像素周围一定邻域内像素的值得来的。如果输出像素是输入像素邻域像素的线性组合则称为线性滤波（例如最常见的均值滤波和高斯滤波），否则为非线性滤波（中值滤波、边缘保持滤波等）。 线性平滑滤波器去除高斯噪声的效果很好，且在大多数情况下，对其它类型的噪声也有很好的效果。线性滤波器使用连续窗函数内像素加权和来实现滤波。特别典型的是，同一模式的权重因子可以作用在每一个窗口内，也就意味着线性滤波器是空间不变的，这样就可以使用卷积模板来实现滤波。如果图像的不同部分使用不同的滤波权重因子，且仍然可以用滤波器完成加权运算，那么线性滤波器就是空间可变的。任何不是像

6、素加权运算的滤波器都属于非线性滤波器非线性滤波器也可以是空间不变的，也就是说，在图像的任何位置上可以进行相同的运算而不考虑图像位置或空间的变化。 2 图像滤波的计算过程分析 滤波通常是用卷积或者相关来描述，而线性滤波一般是通过卷积来描述的。他们非常类似，但是还是会有不同。下面我们来根据相关和卷积计算过程来体会一下他们的具体区别： 卷积的计算步骤： （1） 卷积核绕自己的核心元素顺时针旋转180度 （2） 移动卷积核的中心元素，使它位于输入图像待处理像素的正上方 （3） 在旋转后的卷积核中，将输入图像的像素值作为权重相乘 （4） 第三步各结果的和做为该输入像素对应的输出像素 相关的计算步骤： （

7、1）移动相关核的中心元素，使它位于输入图像待处理像素的正上方 （2）将输入图像的像素值作为权重，乘以相关核 （3）将上面各步得到的结果相加做为输出 可以看出他们的主要区别在于计算卷积的时候，卷积核要先做旋转。而计算相关过程中不需要旋转相关核。 例如： magic(3) =8 1 6;3 5 7;4 9 2，旋转180度后就成了2 9 4;7 5 3;6 1 8 三 高斯平滑滤波器的设计 高斯函数的最佳逼近由二项式展开的系数决定，换句话说，用杨辉三 角形（也称Pascal三角形）的第n行作为高斯滤波器的一个具有n个点的一维逼近，例如，五点逼近为: 1 4 6 4 1 它们对应于Pascal三角形

8、的第5行这一模板被用来在水平方向上平滑图像在高斯函数可分离性性质中曾指出，二维高斯滤波器能用两个一维高斯滤波器逐次卷积来实现，一个沿水平方向，一个沿垂直方向实际中，这种运算可以通过使用单个一维高斯模板，对两次卷积之间的图像和最后卷积的结果图像进行转置来完成 这一技术在模板尺寸N约为10时的滤波效果极好对较大的滤波器，二项式展开系数对大多数计算机来说都太多但是，任意大的高斯滤波器都能通过重复使用小高斯滤波器来实现高斯滤波器的二项式逼近的可用高斯函数拟合二项式系数的最小方差来计算 设计高斯滤波器的另一途径是直接从离散高斯分布中计算模板权值。为了计算方便，一般希望滤波器权值是整数。在模板的一个角点处

9、取一个值，并选择一个K使该角点处值为1。通过这个系数可以使滤波器整数化，由于整数化后的模板权值之和不等于1，为了保证图像的均匀灰度区域不受影响，必须对滤波模板进行权值规范化。 高斯滤波器的采样值或者高斯滤波器的二项式展开系数可以形成离散高斯滤波器当用离散高斯滤波器进行卷积时，其结果是一个更大的高斯离散滤波器若一幅图像用N*N离散高斯滤波器进行平滑，接着再用M*M离散高斯滤波器平滑的话，那么平滑结果就和用（N+M-1）*（N+M-1）离散高斯滤波器平滑的结果一样换言之，在杨辉三角形中用第N行和第M行卷积形成了第N+M-1行 四 使用高斯滤波器进行图像的平滑 如果适应卷积运算对图像进行滤波，在ma

10、tlab中可以通过2个不同的函数来实现conv2和imfliter。他们的调用方式如下： Img_n = conv2(Img,g,'same'); 和 Img_n = imfilter(Img,g,'conv'); 这两种函数处理的结果是完全一样的。 imfiler函数在默认的情况下，对图像的滤波计算用的是相关 Img_n = imfilter(Img,g);%使用相关运算滤波 下面是一个简单的例子展示了使用相同的高斯滤波核函数，相关运算和卷积运算对图像平滑的效果可以直接后边附的程序查看。 由结果可以看出相关运算和卷积运算的在用于图像平滑滤波时效果差别不大。当模

11、板大小N>50的时候。边界的系数已经非常小，对运算起到的作用和微乎其微，所以平滑的结果差别已经非常细微，肉眼几乎难以察觉。 example.m clear all I = imread('lena.bmp'); Img = double(I); alf=3; n=10;%定义模板大小 n1=floor(n+1)/2);%计算中心 for i=1:n for j=1:n b(i,j) =exp(-(i-n1)2+(j-n1 )2)/(4*alf)/(4*pi*alf); end end Img_n = uint8(conv2(Img,b,'same'); K

12、=uint8(imfilter(Img,b); Img_n2=uint8(imfilter(Img,b,'conv'); J=(Img_n2)-Img_n; flag=mean(J(:) subplot(131),imshow(I);title('原图') subplot(132),imshow(Img_n);title('卷积运算图') subplot(133),imshow(K);title('相关运算图') figure(2),surf(b); 附2：平滑滤波演变过程 去噪，在图像分析中，很常见。值得注意的是，去噪不一定是使

13、用平滑，但平滑在去噪的路上频频被采用。前段时间随意浏览，看了些新算法，从原理上作点总结，解构别人的设计思路，也是一件乐事。 远亲不如近邻，在图像滤波器中，体现得淋漓尽致。邻域操作在图像处理中比比皆是。从微积分的角度上看，对任意给定区域，定制一个划分规则，在足够小的子域内，完全可以认定为相同或相似。图像处理中的很多模板操作其实都是基于此点展开。 对图像而言，最小划分就是每个象素。而在 X=X 的恒等式内，无法进行其他运算，很自然的，会扩大他，比如取3X3或其他，于是就有了很多模板。然而问题是，在划分的子域（一个模板大小）内，并非完全满足相同或相似这个原则。所以，有了缺陷，于是有了改进空间，结果幻

14、化了很多有意思的算法。 平滑操作，本质来说无法去噪；但他本身绕开去噪问题，更注重于模糊噪声，进而达到降噪目的。有点考不到第一，先及格再说的味道。当然，代价也很明显，就是会把有效细节也一起消弱。这就是平滑了。 均值滤波（mean） 很显然，就是在给定子域内取平均的操作。 在追求平等的年代，很理想主义。现实告诉我们，平等很多时候只是口号！在图像的均值中就是这样，模板越大，满足子域相似的条件就越脆弱，于是就越模糊，如果化妆中，去痘要与淡化五官轮廓为代价（很有鬼片的感觉），很显然，很多人不接受。所以，在一些特殊的场合，特别是工业上，他比较流行，在其他图像的修复上，他往往只能是辅助的一个操作。很难独立来

15、实现一些功能。 高斯滤波（gauss） 平等已然只能理想，现实显然还要继续的情况下。参考子域的空间理论，很自然地会想重要性问题，自己亲人到邻居，分开对待，人不为己，天诛地灭的自我中心思想开始在这里展现。主次的概念，也叫权重引入，而各方向等同的Gauss函数备受关注并盛行起来，成了一个重要的滤波器。其最大的贡献性在于提供一种权值的简单计算方法。在图像的子域里，Gauss通过空间距离给出权值，自身的权值最大，以此加权滤波。好处是比均值更保留的五官信息，虽然也有一定程度的模糊。但同时也看到在降噪上其实力度比均值 差一些。在Gauss操作中，设想当中心点恰巧是噪声的时候，Gauss还是尽力地维持其为噪

16、声的权利。 双边高斯（bilateral filter） 这个东西可能比较少见了，我也是前些月子才看到。 Gauss函数中通过Sigma值和半径大小控制着平滑力度。双边高斯很显然引入2次Gauss概念。更代码点讲就是给了2个Sigma值，一个叫spatial sigma，一个叫intersity sigma加上一个半径来控制。第一个Sigma跟原来的Gauss一致，后一个就是一个亮度的变化信息的参考。 回到子域的模型上，抛开噪声问题，当一个子域里面相近时，其实采用什么的平滑都无所谓。当子域出现不相近时，设想一张有黑白对半的图，当子域包含一半白一半黑的时候，均值会把这点变成灰，Gauss没均值力

17、度大单也作了改变。双边高斯这时引进intersity，意思就是把要参与运算的点跟当前点（模板中心点，前面叫的自身）作差，由这个差值产生另一套权值，原则是，差越大，计算的权值越小。把这个权值与原始Gauss定义的空间权值作乘来作为平滑的权值计算。这样就解决了模糊问题。 双边Gauss适合降低弱噪声（就是噪声跟非噪声点相差不大的噪声）。通过双重权值的引入，可以在平滑和保留上实现合适的双赢。再解释一下其适用性，皮肤上有个刚起不久的粉刺，此时粉刺上的肤色跟皮肤比较相近，在双边高斯作用下可以比较好的修复，当粉刺张得成熟，跟皮肤相差得大时，此时等同于毛发跟皮肤的差别，该滤波无法消除它，但也基本保留，不加伤

18、害。这就是双边高斯带来的思想。 通过调整其中参数，可以控制平滑力度。Intersity Sigma可以理解为细节保留的一个参数。 非局部均值（non local means） 这个在我看双边高斯的时候看过，当时一个数据说它很慢让我没兴趣了解。前些日子才对其作了原理性解析。因为GPU的兴起让它成为实用。 这个滤波基本可以理解为去噪声设计的平滑滤波器。特别针对那种椒盐/粉刺类的噪声。 去噪滤波器的设计必须满足最基本的2条件，一是好的地方（毛发细节，轮廓信息等）不能变模糊，二是噪点要消除。 于是，我们很希望有判断是不是噪声点的判据出现。很希望在细节上有双边高斯的优点，在噪声点上有均值或高斯滤波的力度。但怎么去判定是噪点还是细节，站在计算机的角度，很难（这也是我老喜欢叫人工愚蠢原因）。 在人口日益膨胀的时代，一家人会分家，分家之后很难保证住所相邻。这个滤波器很现实的考虑了这个问题，对子域作了相应修正，所以取名（non-local）。 它给出了点的有效性判断，原则模仿双边高