立体几何-垂直问题（2014）

1、立几中的垂直问题垂直关系的证明的基本思路：利用点线面关系的互换；立几问题转化为平面问题解决。1平面内如何判断线线垂直：（平面几何的知识）等腰三角形（三线合一）；直角三角形（两角和为；勾股定理，有时要用余弦定理求长度）；圆：直径所对的圆周角为直角（三角形某边的中线等于边长一半能够成圆）；菱形（邻边相等的平行四边形为菱形，从而得出对角线互助垂直）；*矩形（对角线相等的平行四边形为矩形，从而得出相邻两边垂直）；*平面内两平行直线，其中一条垂直于某直线，另一条也垂直于这条直线。2线面关系的互换： 线线垂直线面垂直 面面垂直（1）（两）线线垂直线面垂直线面垂直的判定定理：如果一条直线与平面的两条相交直线

2、都垂直，那么这条直线与此平面垂直；（2）线面垂直线线垂直线面垂直的性质定理：如果一条直线垂直于一个平面，那么该直线垂直于此平面内的任一直线；（3）线面垂直面面垂直（找垂线）面面垂直的判定定理：如果一个平面经过或平行于另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直；*（4）面面垂直线面垂直(已知条件有“面面垂直”才会用到这个定理)面面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面；3. 结论要证明异面直线垂直、面面垂直都是转化为线面垂直的。4条件如有面面垂直，一定优先转化为线面垂直。相关例题：()()图61如图6()所示，在边长为12的正方形中，点在线段上，且，作/

3、，分别交、于点、，作/，分别交、于点、，将该正方形沿、折叠，使得与重合，构成如图6()所示的三棱柱（1）在三棱柱中，求证：平面；（2）求（答案：20）2（2013广东）如图1,在等腰直角三角形中,分别是上的点,为的中点.将沿折起,得到如图2所示的四棱锥,其中.() 证明:平面；() 求二面角的平面角的余弦值.（答案：）.COBDEACDOBE图1图23（2013江西）如图,四棱锥中，平面，为的中点，为的中点，连接并延长交于.(1)求证:;(2)求平面与平面的夹角的余弦值.（）4.(2011山东文)如图，在四棱台中，平面，底面是平行四边形，60°证明：；ABCDA1B1C1D1EF5如

4、图所示，在棱长为2的正方体中，分别是、的中点.（1）求证:平面； （2）求证: ；（3）求三棱锥的体积. （答案：1）6（2013辽宁）如图,是圆的直径，垂直圆所在的平面,是圆上的点.(I)求证:(II)若，求二面角的余弦值。（答案：）7.(2010福建理)如图，圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆直径.（）证明：平面平面；（）设AB=，在圆柱内随机选取一点，记该点取自于三棱柱内的概率为.（i）当点C在圆周上运动时，求的最大值；（ii）记平面与平面所成的角为，当取最大值时，求的值.（答案：（2）；(3)）8.(2011湖南理)如图5，在圆锥中，已知，圆的直径，是的中点，为的中点（I）证明：（II）求二面角的余弦值（答：）9(2010北京)如图，正方形和四边形所在的平面互相垂直，。（）求证：平面；（）求证：平面；（）求二面角的大小。（答：）10（2009深圳一模）如图，为圆的直径，点、在圆上，矩形和圆所在的平面互相垂直已知,（）求证：平面平面； （）求直线与平面所成角的大小；()当的长为何值时，二面角的大小为？【答案】（2）；（3）；11.如图所示的几何体是将高为2，底面半径为1的直圆柱