直线平面教案

1、直线平面教材分析本章是学习立体几何的基础和关键，主要学习平面、空间直线的位置关系、的位置关系、三垂线定理、空间中平面与平面的位置关系。本章教学内容分五大节，教学时间约为25课时，各节教学时间分配如下：平面-含水平放置的平面图形的直观图的画法 约3课时空间直线的位置关系 约4课时空间直线和平面的位置关系 约4课时三垂线定理 约2课时空间中平面与平面的位置关系 约6课时小结与复习 约2课时一、内容与要求 直线和平面这一张主要研究空间中的点、线、面之间的位置关系，包括点与线、直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系。第一节主要研究平面的基本性质；有4个知识点：平面的表示法、平面的基本性质、公理的

2、推论、空间图形在平面上的表示方法 第二节主要研究了空间中两条直线的位置关系、平行直线、两条异面直线所成的角。 第三节主要研究了直线和平面的位置关系、直线与平面平行的判定和性质、直线和平面垂直的判定和性质 第四节主要研究了斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角和三垂线定理第五小节主要研究了两个平面的位置关系、两个平面平行的判定和性质、二面角、两个平面垂直的判定和性质 二、教学要求 （1）掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图；能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系 （2）掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；掌握直线和平面

3、垂直的判定定理；了解三重线定理及其逆定理 （3）掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念（对于异面直线的距离，只要求会利用给出的公垂线计算距离）；掌握直线和平面垂直的性质定理；掌握两个平面平行的判定定理和性质定理；掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理 （4）理解空间中点、直线、平面之间的各种位置关系三、教学重点：平面的基本性质、两条直线、直线和平面、两个平面垂的平行和垂直教学难点：建立空间观念，培养学生的空间想象和逻辑思维能力四、教学中应注意的几个问题 （一）抓住重点，克服难点，打好基础，注重培养学生的空间想象能力 1联系实际提出问题和引入概念，合理运用教具，加强由

4、模型到图形，再由图形返回模型的基本训练由对照模型画直观图入手，逐步培养由图形想象出它所对应的模型的形状及其中各元素的空间几何位置关系的能力 2体会本章“从图形入手，有序地建立图形、文字、符号这三种数学语言的联系”的编写意图，通过适当的练习训练提高学生使用这些语言的能力     3联系平面图形的知识，利用对比、引申、联想等方法，找出平面图形和立体图形的异同以及两者的内在联系，逐步培养学生把已有的对平面图形认识上升为对立体图形的认识，以及把立体图形分解为平面图形、利用平面几何基础解决立体几何问题的能力（二）结合观察分析图形能力的训练，提高

5、学生的逻辑思维能力本章研究的是立体图形，所涉及的问题包括画图、计算、证明等，其中证明问题占较重要的地位进一步发展学生的逻辑思维能力，是教学目的之一由于本章讨论的对象是空间的几何元素，所以有关推理证明必须建立在观察分析立体图形的基础上完成这样的问题既需要空间想象能力，又需要逻辑思维能力，应该说是两种能力的综合运用 本章所用的证明方法，主要是通常的直接证法，此外还用到反证法以及同一法的思想，这些证明方法都是根据具体命题的需要而选择采用的，证法简明是选择的主要标准教学中应要求学生会用反证法证明简单的问题，至于同一法思想的应用，只限于课本的程度，主要是解决有关唯一性的问题，不要求出现同一法的

6、名词，也不过多地训练学生用同一法证题（三）注意知识体系的整理总结 本章第一大节以空间的“线线、线面、面面”之间的位置关系为主要线索展开，其中“平行”和“垂直”是两种重要的位置关系，这样安排可以被认为是按几何元素纵向深入研究学习完该大节后，还可以变换一个角度，以“平行”和“垂直”为线索，对所学内容进行横向整理总结这种横纵结合的学习方法有利于对知识的认识更系统、更深入，运用起来更灵活课 题：平面的基本性质(一)教学目的：1能够从日常生活实例中抽象出数学中所说的“平面”2理解平面的无限延展性3正确地用图形和符号表示点、直线、平面以及它们之间的关系4初步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语

7、言之间的转化 教学重点：掌握点-直线-平面间的相互关系，并会用文字-图形-符号语言正确表示理解平面的无限延展性教学难点：（1）理解平面的无限延展性;（2）集合概念的符号语言的正确使用授课类型：新授课 课时安排：2课时 教 具：讲授教学过程：一、复习引入：在初中，我们主要学习了平面图形的性质平面图形就是由同一平面内的点、线所构成的图形平面图形以及我们学过的长方体、圆柱、圆锥等都是空间图形，空间图形就是由空间的点、线、面所构成的图形当我们把研究的范围由平面扩大到空间后，一些平面图形的基本性质，在空间仍然成立例如三角形全等、相似的充要条件，平行线的传递性等有些性质在研究范围扩大到空间后，是否仍然成立

8、呢？例如，过直线外一点作直线的垂线是否仅有一条？到两定点距离相等的点的集合是否仅是连结两定点的线段的一条垂直平分线？二、讲解新课：1平面的两个特征：无限延展 平的（没有厚度）平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性一个平面把空间分成两部分，一条直线把平面分成两部分2平面的画法：通常画平行四边形来表示平面(1)一个平面：水平放置和直立；当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角画成45，横边画成邻边的2倍长，如图1（1）.图1（1）（2）（3）(2) 直线与平面相交，如图1（2）、（3），：（3）两个相交平面：画两个相交平面时，若一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的

9、线段画成虚线或不画（如图2） 3平面的画法及其表示方法：在立体几何中，常用平行四边形表示平面当平面水平放置时，通常把平行四边形的锐角画成，横边画成邻边的两倍画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画一般用一个希腊字母、来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面，平面等4空间图形是由点、线、面组成的空间图形的基本元素是点、直线、平面从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此它们之间的关系除了用文字和图形表示外，还可借用集合中的符号语言来表示规定直线用两个大写的英文字母或一个小写的英文字母表示，点用一个大写的英

10、文字母表示，而平面则用一个小写的希腊字母表示点、线、面的基本位置关系如下表所示：图形符号语言文字语言（读法）点在直线上点不在直线上点在平面内点不在平面内直线、交于点直线在平面内直线与平面无公共点直线与平面交于点平面、相交于直线集合中“”的符号只能用于点与直线，点与平面的关系，“”和“”的符号只能用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用几何语言（平面外的直线）表示（平面外的直线）表示或第二课时三、讲解范例：例1将下列符号语言转化为图形语言： （1），；（2），解： 说明：画图的顺序：先画大件（平面），再画小件（点、线）例2 将下列文字语言转化为符号语言：（

11、1）点在平面内，但不在平面内；（2）直线经过平面外一点；（3）直线在平面内，又在平面内（即平面和相交于直线）解：（1），； （2），；（3），（即）例3 在平面内有三点，在平面内有三点，试画出它们的图形四、课堂练习：1判断下列命题的真假，真的打“”，假的打“×”（1）可画一个平面，使它的长为4cm，宽2cm （ ） （2）一条直线把它所在的平面分成两部分，一个平面把空间分成两部分（ ） （3）一个平面的面积为20 cm2 （ ） （4）经过面内任意两点的直线，若直线上各点都在这个面内，那么这个面是平面（ ）2观察（1）、（2）、（3）三个图形，模型说明它们的位置关系有什么不同，并用字

12、母表示各个平面3请将以下四图中，看得见的部分用实线描出4如图所示，用符号表示以下各概念：点A、B在直线a上 ；直线a在平面a内；点C在平面a内 ； 点O不在平面a内 ；直线b不在平面a内 5一条直线与一个平面会有几种位置关系 如图所示，两个平面a、b，若相交于一点，则会发生什么现象. 几位同学的一次野炊活动，带去一张折叠方桌，不小心弄坏了桌脚，有一生提议可将几根一样长的木棍，在等高处用绳捆扎一下作桌脚（如图所示），问至少要 几根木棍，才可能使桌面稳定？3种 相交于经过这个点的一条直线 至少3根五、小结 ：平面的概念；平面的画法、表示方法及两个平面相交的画法；点、直线、平面间基本关系的文字语言，

13、图形语言和符号语言之间关系的转换 六、课后作业：试用集合符号表示下列各语句，并画出图形：（1）点A在平面内，但不在平面内；（2）直线经过不属于平面的点A，且不在平面内；（3）平面与平面相交于直线，且经过点P；（4）直线经过平面外一点P，且与平面相交于点M七、板书设计（略）八后记课 题： 平面的基本性质(二)教学目的：1理解公理一、三,并能运用它解决点、线共面问题2理解公理二,并能运用它找出两个平面的交线及“三线共点”和“三点共线”问题教学重点：平面基本性质的三条公理及其作用教学难点：（1）对“有且只有一个”语句的理解（2）确定两相交平面的交线授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具

14、：讲授内容分析：本课以平面基本性质的三条公理及公理3的三个推论为主要内容，既有学生熟悉的事实，又有学生初次接触的证明，因此以“设问实验归纳”法和讲解法相结合的方式进行教学首先，对于平面基本性质的三条公理，因为是“公理”，无需证明，教学中以系列设问结合模型示范引导学生共同思考、观察和实验，从而归纳出三条公理并加以验证其中公理1应以直线的“直”和“无限延伸”来刻划平面的“平”和“无限延展”；公理2要抓住平面在空间的无限延展特征来讲；公理3应突出已知点的个数和位置，强调“三个点”且“不在同一直线上”通过三条公理的教学培养学生的观察能力和空间观念，加深对“有且只有一个”语句的理解对于公理3的三个推论的

15、证明，学生是初次接触“存在性”和“唯一性”的证明，应引导学生以公理3为主要的推理依据进行分析，逐渐摆脱对实物模型的依赖，培养推理论证能力，证明过程不仅要进行口头表述，而且教师应进行板书，使学生熟悉证明的书写格式和符号最后，无论定理还是推论，都要将文字语言转化为图形语言和符号语言，并且做到既不遗漏又不重复且忠于原意教学过程：一、复习引入：1平面的概念：2平面的画法及其表示方法：3空间图形是由点、线、面组成的点、线、面的基本位置关系集合中“”的符号只能用于点与直线，点与平面的关系，“”和“”的符号只能用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用几何语言 或二、讲

16、解新课：1平面的基本性质立体几何中有一些公理，构成一个公理体系人们经过长期的观察和实践，把平面的三条基本性质归纳成三条公理公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内推理模式： 如图示：或者：，应用：这条公理是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面，如泥瓦工用直的木条刮平地面上的水泥浆判定直线在平面内；判定点在平面内模式：公理1说明了平面与曲面的本质区别通过直线的“直”来刻划平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些

17、公共点的集合是一条过这个公共点的直线推理模式： 如图示： 或者：，应用：确定两相交平面的交线位置；判定点在直线上公理2揭示了两个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依据，提供了确定两个平面交线的方法指出:今后所说的两个平面(或两条直线),如无特殊说明,均指不同的平面(直线)公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推理模式：与重合或者：不共线，存在唯一的平面，使得.应用：确定平面；证明两个平面重合 “有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的

18、唯一性在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证实例:(1)门:两个合页,一把锁；(2)摄像机的三角支架；(3)自行车的撑脚公理3及其下一节要学习的三个推论是空间里确定一个平面位置的方法与途径，而确定平面是将空间问题转化为平面问题的重要条件，这个转化使得立体几何的问题得以在确定的平面内充分使用平面几何的知识来解决，是立体几何中解决相当一部分问题的主要的思想方法2平面图形与空间图形的概念如果一个图形的所有点都在同一个平面内，则称这个图形为平面图形，否则称为空间图形三、讲解范例：例1

19、求证:三角形是平面图形 已知：三角形ABC求证：三角形ABC是平面图形证明：三角形ABC的顶点A、B、C不共线由公理3知，存在平面使得A、B、C 再由公理1知，AB、BC、CA三角形ABC上的每一个点都在同一个平面内 三角形ABC是平面图形例2 点平面，分别是上的点，若与交于（这样的四边形ABCD就叫做空间四边形）求证：在直线上证明：，分别属于直线，平面，平面， 同理：平面 又平面平面， 所以，在直线上四、课堂练习：1 下面是一些命题的叙述语（A、B表示点，a表示直线，、表示平面）A， B，C， D，其中命题和叙述方法都正确的是（ ）2下列推断中，错误的是（ ）A BC D，且A、B、C不共线

20、重合3一个平面把空间分成_部分两个平面把空间最多分成_部分，三个平面把空间最多分成_部分4判断下列命题的真假，真的打“”，假的打“×” （1）空间三点可以确定一个平面 （ ） （2）两条直线可以确定一个平面 （ ） （3）两条相交直线可以确定一个平面 （ ） （4）一条直线和一个点可以确定一个平面 （ ） （5）三条平行直线可以确定三个平面 （ ） （6）两两相交的三条直线确定一个平面 （ ）（7）两个平面若有不同的三个公共点则两个平面重合（ ）（8）若四点不共面，那么每三个点一定不共线 （ ）5看图填空 （1）ACBD= （2）平面AB1平面A1C1= （3）平面A1C1CA平面A

21、C= （4）平面A1C1CA平面D1B1BD= （5）平面A1C1平面AB1平面B1C= （6）A1B1B1BB1C1= 五、小结 ：本课主要的学习内容是平面的基本性质，三条公理中公理1用于判定直线是否在平面内，公理2用于判定两平面相交，公理3是确定平面的依据“确定一个平面”与“有且只有一个平面”是同义词“有”即“存在”，“只有一个”即“唯一”所以证明有关“有且只有一个”语句的命题时，要证两方面存在性和唯一性证明的方法是反证法和同一法 六、课后作业：七、板书设计（略）课 题： 平面的基本性质(三)教学目的：1.理解公理三的三个推论.2.进一步掌握“点线共面”的证明方法 3将三条定理及

22、三个推论用符号语言表述，提高几何语言水平4通过公理3导出其三个推论的思考与论证培养逻辑推理能力教学重点：用反证法和同一法证明命题的思路教学难点：对公理3的三个推论的存在性与唯一性的证明及书写格式 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入： 平面的基本性质公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内推理模式： 如图示：应用：是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面公理1说明了平面与曲面的本质区别通过直线的“直”来刻划平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内

23、，又是检验平面的方法公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线推理模式：且且唯一如图示： 应用：确定两相交平面的交线位置；判定点在直线上公理2揭示了两个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依据，提供了确定两个平面交线的方法公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推理模式：不共线存在唯一的平面，使得应用：确定平面；证明两个平面重合 “有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性在

24、数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证二、讲解新课：推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面.已知：直线，点是直线外一点.求证：过点和直线有且只有一个平面 证明：（存在性）：在直线上任取两点、，不共线由公理3，经过不共线的三点可确定一个平面，点在平面内，根据公理1，即平面是经过直线和点的平面.（唯一性）：，点，由公理3，经过不共线的三点的平面只有一个，所以，经过和点的平面只有一个推理模式：存在唯一的平面，使得， 推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面已知：直线.求证：

25、过直线和直线有且只有一个平面证明：（存在性）：在直线上任取两点A，直线上，不共线由公理3，经过不共线的三点可确定一个平面，点在平面内，根据公理1， ，即平面是经过直线和直线的平面.（唯一性）：，点， 由公理3，经过不共线的三点的平面只有一个，所以，经过直线和直线的平面只有一个推理模式：存在唯一的平面，使得推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面已知：直线. 求证：过直线和直线有且只有一个平面证明：（存在性）： 由平行线的定义，直线和直线在同一个平面内，即平面是经过直线和直线的平面.（唯一性）：取， 点A,B,C不共线且，由公理3，经过不共线的三点的平面只有一个，所以，经过直线和直线的平面只有一

26、个推理模式：存在唯一的平面，使得三、讲解范例：例1 两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内已知：直线两两相交，交点分别为求证：直线共面证法一：直线，直线和可确定平面， ，即 即直线共面证法二：因为A直线BC上，所以过点A和直线BC确定平面（推论1）因为A， BBC，所以B故AB ， 同理AC ， 所以AB，AC，BC共面证法三：因为A，B，C三点不在一条直线上，所以过A，B，C三点可以确定平面 因为A，B，所以AB 同理BC ，AC ，所以AB，BC，CA三直线共面问题：在这题中“且不过同一点”这几个字能不能省略，为什么？例2 在正方体中，与是否在同一平面内？点是否在同一平面内？画出平

27、面与平面的交线，平面与平面的交线解：在正方体中，由推论3可知，与可确定平面，与在同一平面内点不共线，由公理3可知，点可确定平面，点在同一平面内，点平面，平面，又平面，平面，平面平面，同理平面平面例3 若，试画出平面与平面的交线解：（1）若时，如图（1）；（2）若时，如图（2） 四、课堂练习：1选择题（1）下列图形中不一定是平面图形的是（ ） （A）三角形（B）菱形（C）梯形（D）四边相等的四边形（2）空间四条直线，其中每两条都相交，最多可以确定平面的个数是（ ） （A）一个（B）四个（C）六个（D）八个（3）空间四点中，无三点共线是四点共面的（ ） （A）充分不必要条件（B）必要不充分条件 （

28、C）充分必要条件（D）既不充分也不必要（4）若a Ì a，b Ì b，ab=c，ab=M，则（ ） （A）MÎc（B）MÏc（C）MÎa（D）MÎb2已知直线a/b/c，直线d与a、b、c分别相交于A、B、C，求证：a、b、c、d四线共面. 证明：因为a/b，由推论3，存在平面，使得又因为直线d与a、b、c分别相交于A、B、C，由公理1，下面用反证法证明直线：假设，则,在平面内过点C作，因为b/c，则，此与矛盾.故直线. 综上述，a、b、c、d四线共面. 3求证：一个平面和不在这个平面内的一条直线最多只有一个公共点.证明：（反证法）假

29、设一个平面和不在这个平面内的一条直线有2个公共点，则由公理1，这条直线上的每一个点都在这个平面内，此与条件矛盾.所以一个平面和不在这个平面内的一条直线最多只有一个公共点.五、小结 ：公理3的三个推论是以公理3为主要的推理论证的依据，是命题间逻辑关系的体现，为使命题的叙述和论证简明、准确，应将其证明过程用数学的符号语言表述 六、板书设计（略）课 题：空间的平行直线与异面直线(一) 教学目的：1.会判断两条直线的位置关系.2.理解公理四,并能运用公理四证明线线平行.3.掌握等角定理,并能运用它解决有关问题. 4.了解平移的概念，初步了解平几中成立的结论哪些在立几中成立 5. 掌握空间两直

30、线的位置关系，掌握异面直线的概念，会用反证法和异面直线的判定定理证明两直线异面；6.掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的角教学重点：公理4及等角定理的运用异面直线所成的角.教学难点：公理4及等角定理的运用异面直线所成的角.授课类型：新授课 课时安排：2课时 教 法：讲授教学过程：一、复习引入： 把一张纸对折几次，为什么它们的折痕平行？（把一张长方形的纸对折两次，打开后得4个全等的矩形，每个矩形的竖边是互相平行的，再应用平行公理，可得知它们的折痕是互相平行的）你还能举出生活中的相关应用的例子吗？二、讲解新课：1 空间两直线的位置关系（1）相交有且只有一个

31、公共点； （2）平行在同一平面内，没有公共点；（3）异面不在任何一个平面内，没有公共点；2 平行直线（1）公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行 推理模式：说明：（1）公理4表述的性质叫做空间平行线的传递性； （2）几何学中，通常用互相平行的直线表示空间里一个确定的方向； （3）如果空间图形的所有点都沿同一个方向移动相同的距离到的位置，则就说图形 作了一次平移（2）空间四边形：顺次连结不共面的四点A,B,C,D所组成的四边形叫空间四边形，相对顶点的连线AC,BD叫空间四边形的对角线（3）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等分析：在平面内，这个结

32、论我们已经证明成立了在空间中，这个结论是否成立，还需通过证明要证明两个角相等，常用的方法有：证明两个三角形全等或相似，则对应角相等；证明两直线平行，则同位角、内错角相等；证明平行四边形，则它的对角相等，等等根据题意，我们只能证明两个三角形全等或相似，为此需要构造两个三角形，这也是本题证明的关键所在已知：和的边，并且方向相同， 求证：证明：在和的两边分别截取， 是平行四边形，同理，即是平行四边形， 所以，(4)等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等.【等角定理及其推论,说明了空间角通过任意平行移动具有保值性,因而成为异面直线所成角的基础.

33、】3.空间两条异面直线的画法4异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线推理模式：与是异面直线证明 ：（反证法）假设 直线与共面，点和确定的平面为，直线与共面于，与矛盾， 所以，与是异面直线5异面直线所成的角：已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，所成的角的大小与点的选择无关，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）为了简便，点通常取在异面直线的一条上异面直线所成的角的范围：6异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直两条异面直线 垂直，记作7求异面直线所成的角的方法：（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另

34、一直线的平行线；（2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求三、讲解范例：例1 已知四边形ABCD是空间四边形，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是边CB、CD上的点，且，求证：四边形EFGH是梯形分析：梯形就是一组对边平行且不相等的四边形考虑哪组对边会平行呢？为什么？（平行公理）证明对边不相等可以利用平行线分线段成比例证明：如图，连接BD EH是ABD的中位线，EH/BD,EH=BD.又在BCD中，FG/BD,FG=BD.根据公理4，EH/FG又FGEH,四边形EFGH的一组对边平行但不相等例2 如图，是平面外的一点分别是的重心，求证：证明：连结分别

35、交于，连结，分别是的重心，分别是的中点，又， ，由公理4知例3 如图，已知不共面的直线相交于点，是直线上的两点，分别是上的一点 求证：和是异面直线证（法一）：假设和不是异面直线，则与在同一平面内，设为，又， 同理，共面于，与已知不共面相矛盾， 所以，和是异面直线（法二）：，直线确定一平面设为，且， 又不共面，所以，与为异面直线第二课时例4 正方体中那些棱所在的直线与直线是异面直线？求与夹角的度数那些棱所在的直线与直线垂直？解：（1）由异面直线的判定方法可知，与直线成异面直线的有直线，（2）由，可知等于异面直线与的夹角，所以异面直线与的夹角为 （3）直线与直线都垂直例5 两条异面直线 的公垂线指

36、的是 ( B )(A)和两条异面直线都垂直的直线 (B)和两条异面直线都垂直相交的直线(C)和两条异面直线都垂直相交且夹在两交点之间的线段 (D)和两条异面直线都垂直的所有直线翰林汇例6 在棱长为a的正方体中，与AD成异面直线且距离等于a的棱共有 ( ) (A)2条 (B)3条 (C)4条 (D)5条答案：BB1, CC1, A1B1, C1D1共四条故选C.例7若a、b是两条异面直线，则下列命题中，正确的是( B ) (A)与a、b都垂直的直线只有一条 (B)a与b的公垂线只有一条 (C)a与b的公垂线有无数条 (D)a与b的公垂线的长就是a、b两异面直线的距离翰林汇例8已知正方体ABCDA

37、1B1C1D1的棱长为a，则棱A1B1所在直线与面对角线BC1所在直线间的距离是 ( ) 四、课堂练习：课堂小练习1 判断下列命题的真假，真的打“”，假的打“×” （1）平行于同一直线的两条直线平行（ ）（2）垂直于同一直线的两条直线平行（ ） （3）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行（ ）（4）与已知直线平行且距离等于定长的直线只有两条（ ） （5）若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等（ ） （6）若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等. 2选择题 （1）“a，b是异面直线”是指 ab=且a不平行于b； a &#

38、204; 平面a，b Ì 平面b且ab= a Ì 平面a，b Ë 平面a 不存在平面a，能使a Ì a且b Ì a成立上述结论中，正确的是（ ） （A）（B）（C）（D）（2）长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有（ ） （A）2对（B）3对（C）6对（D）12对（3）两条直线a,b分别和异面直线c,d都相交，则直线a，b的位置关系是（ ） （A）一定是异面直线（B）一定是相交直线 （C）可能是平行直线（D）可能是异面直线，也可能是相交直线（4）一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是( ) （A）平行（B）相交（

39、C）异面（D）相交或异面3两条直线互相垂直，它们一定相交吗？ 不一定，还可能异面4.垂直于同一直线的两条直线，有几种位置关系？三种：相交，平行，异面5画两个相交平面，在这两个平面内各画一条直线使它们成为（1）平行直线；（2）相交直线；（3）异面直线解：6选择题 （1）分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是（ ） （A）异面（B）平行（C）相交（D）以上都有可能 （2）异面直线a,b满足aÌa,bÌb,ab=，则与a,b的位置关系一定是（ ） （A）至多与a，b中的一条相交（B）至少与a，b中的一条相交 （C）与a，b都相交 （D）至少与a，b中的一条平行（3）两异面直线所

40、成的角的范围是（ ） （A）（0°,90°）（B）0°,90°)（C）（0°,90°（D）0°,90°7判断下列命题的真假，真的打“”，假的打“×” （1）两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行 （ ） （2）和两条异面直线都垂直的直线是这两条异面直线的公垂线 （ ） （3）平行移动两条异面直线中的任一条，它们所成的角不变 （ ） （4）四边相等且四个角也相等的四边形是正方形 （ ）五、小结 ：这节课我们学习了两条直线的位置关系（平行、相交、异面），平行公理和等角定理及其推论异面直线的概念、判断及异

41、面直线夹角的概念；证明两直线异面的一般方法是“反证法”或“判定定理”；求异面直线的夹角的一般步骤是：“作证算答” 六、课后作业：1如图正方体中，E、F分别为D1C1和B1C1的中点，P、Q分别为A1C1与EF、AC与BD的交点，（1）求证：D、B、F、E四点共面；（2）若A1C与面DBFE交于点R，求证：P、Q、R三点共线提示：（1）证明四点共面，也就是证明什么？有什么公理或定理可用？（2）证明三点共线的方法是什么？想一想前面我们证明过没有？关键是引导学生自己动手，逐步建立学生的空间立体感2如图，空间四边形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，G、H分别为AB、AD上的点，且AG：GBAH

42、：HD证明：GH与EF为异面直线提示：什么叫异面直线？其相对的线线位置关系是什么？考虑：（1）如果直接证明，就必须证明GH和EF不在同一平面内，有这样的定理或公理吗？ （2）从（1）知，正面证明是不可取，那么我们可以考虑从反而来考虑平行或相交 七、板书设计（略）课 题：异面直线(二) 教学目的：1. 掌握两异面直线的公垂线和距离的概念；2. 掌握两异面直线所成角及距离的求法3. 能求出一些较特殊的异面直线的距离教学重点：两异面直线的公垂线及距离的概念.教学难点：两异面直线所成角及距离的求法.授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 法：讲授教学过程：一、复习引入： 1.空间两条异面直线

43、的画法2异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线推理模式：与是异面直线3异面直线所成的角：已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，所成的角的大小与点的选择无关，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）为了简便，点通常取在异面直线的一条上异面直线所成的角的范围：4异面直线垂直5求异面直线所成的角的方法：（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；（2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求二、讲解新课：两条异面直线的公垂线、距离：和两条异面直线都垂直相交的直线，我们称之为异面直线的公垂线

44、理解：因为两条异面直线互相垂直时，它们不一定相交，所以公垂线的定义要注意“相交”的含义定义：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离两条异面直线的公垂线有且只有一条三、讲解范例：例1 设图中的正方体的棱长为a（1）图中哪些棱所在的直线与直线BA1成异面直线？（2）求直线BA1和CC1所成的角的大小（3）求异面直线BC和AA1的距离解：（l）A1不在平面BC1，而点B和直线CC1都在平面BC1内，且BCC1.直线BA1与CC1是异面直线同理，直线C1D1、D1D、DC、AD、B1C1都和直线BA1成异面直线（2）CC1BB1 BA1和BB1所成的锐

45、角就是BA1和CC1所成的角A1BB1=45°， BA1和CC1所成的角是45°（3）ABAA1，ABAA1=A， 又ABBC，ABBC=B，AB是BC和AA1的公垂线段AB=a， BC和AA1的距离是a说明：本题是判定异面直线，求异面直线所成角与距离的综合题，解题时要注意书写规范例2 已知分别是空间四边形四条边的中点，（1）求证四边形是平行四边形 （2）若ACBD时，求证：为矩形；（3）若BD=2，AC=6，求； （4）若AC、BD成30º角，AC=6，BD=4，求四边形的面积； （5）若AB=BC=CD=DA=AC=BD=2，求AC与BD间的距离.证明（1）：

46、连结，是的边上的中点， 同理，同理， 所以，四边形是平行四边形证明（2）：由（1）四边形是平行四边形， 由ACBD得，为矩形.解（3）：由（1）四边形是平行四边形 BD=2，AC=6，由平行四边形的对角线的性 .解（4）：由（1）四边形是平行四边形 BD=4，AC=6，又，AC、BD成30º角 EF、EH成30º角，四边形的面积 .解（5）：分别取AC与BD的中点M、N,连接MN、MB、MD、NA、NC，AB=BC=CD=DA=AC=BD=2，MBMDNANC MN是AC与BD的公垂线段 且 AC与BD间的距离为. 例3 空间四边形中，分别是的中点，求异面直线所成的角解：取

47、中点，连结，分别是的中点，且，异面直线所成的角即为所成的角，在中，异面直线所成的角为说明：异面直线所成的角是锐角或直角，当三角形内角是钝角时，表示异面直线所成的角是它的补角例4 在正方体ABCDA1B1C1D1中,求(1)A1B与B1D1所成角;(2)AC与BD1所成角.翰林汇解(1)如图,连结BD,A1D,ABCD-A1B1C1D1是正方体,DD1平行且相等BB1.DBB1D1为平行四边形,BD/B1D1. A1B,BD,A1D是全等的正方形的对角线.A1B=BD=A1D,A1BD是正三角形, A1BD=60o,A1BD是锐角, A1BD是异面直线A1B与B1D1所成的角.A1B与B1D1成

48、角为60o.(2)连BD交AC于O,取DD1 中点E,连EO,EA,EC.O为BD中点,OE/BD1. EDA=90o=EDC,ED=ED,AD=DC,EDAEDC,EA=EC.在等腰EAC中,O是AC的中点,EOAC,EOA=90o. 又EOA是异面直线AC与BD1所成角,AC与BD成角90o. 翰林汇例5在长方体中，已知AB=a，BC=b，=c(ab)，求异面直线与AC所成角的余弦值 解：在长方体的一旁，补上一个全等的长方体，则BEAC，（或其补角）即和CD所的角 ， EAFBCMND 与AC所成角的余弦值为.翰林汇四、课堂练习：1判断题（对的打“”，错的打“×”） （1）垂直于

49、两条异面直线的直线有且只有一条（ ） （2）两线段AB、CD不在同一平面内，如果AC=BD，AD=BC，则ABCD（ ） （3）在正方体中，相邻两侧面的一对异面的对角线所成的角为60º（ ） （4）四边形的一边不可能既和它的邻边垂直，又和它的对边垂直（ ）2右图是正方体平面展开图，在这个正方体中BM与ED平行； CN与BE是异面直线； CN与BM成60º角； DM与BN垂直. 以上四个命题中，正确命题的序号是（ C ）（A）（B）（C）（D）3已知空间四边形ABCD.(1)求证：对角线AC与BD是异面直线;(2)若ACBD,E,F,G,H分别这四条边AB,BC,CD,DA的

50、中点,试判断四边形EFGH的形状;(3)若ABBCCDDA,作出异面直线AC与BD的公垂线段.翰林汇 4完成下列证明，已知直线a、b、c不共面，它们相交于点P，AÎa，DÎa，BÎb，EÎc求证：BD和AE是异面直线证明：假设_ 共面于g，则点A、E、B、D都在平面_内 QAÎa，DÎa，_Ì. QPÎa，PÎ_.QPÎb，BÎb，PÎc，EÎc _Ìg，_Ìg，这与_矛盾BD、AE_五、小结 ：本节课我们学习了两条异面直线所成的角，以及两条异面

51、直线间的距离和有关概念并学会如何求两条异面直线所成角及距离，懂得将其转化为平面几何问题来解决 空间四边形的中点四边形为平行四边形、矩形、菱形的条件，以及与对角线的长度夹角有关的问题的解法 六、课后作业： 七、板书设计（略）课题：直线和平面平行教学目的：1.掌握空间直线和平面的位置关系；2.直线和平面平行的判定定理和性质定理，灵活运用线面平行的判定定理和性质定掌握理实现“线线”“线面”平行的转化 教学重点：线面平行的判定定理和性质定理的证明及运用教学难点：线面平行的判定定理和性质定理的证明及运用授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 法：讲授内容分析：本节有两个知识点，直线与平面和平面与平面平行，直线与平面、平面与平面平行特征性质这也可看作平行公理和平行线传递性质的推广直线与平面、平面与平面平行判定的依据是线、线平行这些平行关系有着本质上的联系通过教学要求学生掌握线、面和面、面平行的判定与性质 教学过程：一、复习引入： 空间两直线的位置关系（1）相交；（2）平行；（3）异面二、讲解新课：1直线和平面的位置关系（1）直线在平面内（无