互感效应对磁通量子比特消相干影响的研究

1、互感效应对磁通量子比特消相干影响的研究 互感效应对磁通量子比特消相干影响的研究摘 要：本文从经典电路理论出发，得到了磁通偏置超导电路的哈密顿量。在此基础上，运用Bloch-Redfield方程研究了超导电路多能级系统的动力学演化。在二能级近似下，分析了环境阻抗，电路之间的互感对磁通量子比特消相干的影响。关键词：超导量子电路；磁通量子比特；消相干；互感1、引 言近年来，人们广泛研究了含有约瑟夫森结的超导电路的动力学特性，并用其实现量子比特 。根据约瑟夫森结电荷能 和隧穿能 的大小关系，超导量子比特可大致区分为电荷量子比特 、磁通量子比特 和相位量子比特 。电荷量子比特工作在电荷能占主导的区域，

2、，以超导岛上的库珀电子对数目作为量子态，因此，电荷量子比特对电荷涨落的影响很敏感；相反，磁通量子比特工作在隧穿能占主导的区域， ，以超导环中的正反持续电流作为量子态，磁通量子比特的优点在于对电荷涨落的影响不敏感，而磁场的涨落相对要小很多。在量子计算中，引起计算误差的主要原因是量子比特的消相干。影响超导量子比特消相干的因素很多。研究工作者目前主要是采用自旋-玻色子模型 来研究量子系统的消相干，并已取得一系列的成果 。在本文中，我们首先利用经典电路理论得到磁通偏置超导电路的哈密顿量。结合Caldeira-Leggett模型，我门采用Redfield方程描述电路的动力学演化。在二能级近似下，Redf

3、ield方程化为Bloch方程，我们给出了超导磁通量子比特的弛豫时间 和消相干时间 ，并着重讨论了环境阻抗Z和电路互感对该量子系统消相干的影响。2、研究模型及哈密顿量在本文中，我们研究如图1所示的磁通偏置的超导电路 ，图2为图1所示电路选择的一棵树。树支含所有的电容 和电感 ；连支部分包 图1 磁通偏置的超导量子比特电路图。外磁通通过偏置电路的环路电感 同主回路电感 的耦合引进。阻抗Z反映了外加磁通涨落对量子比特的耗散作用。电感 和 的互感系数为 ，电感 和 的互感系数为 ，电感 和 的互感系数为 ，电感 和 的互感系数为 。约瑟夫森节采用Stewart-McCumber(SM)模型。图2 图

4、1的树。树是包含所有节点而不构成回路的连通子图。这里我们选取含所有电容 ，和电感 的连通图作为树。 括连支电感 ，理想约瑟夫森节 ，并联电阻 ，以及外加阻抗 和电流源 。外加阻抗 模拟了环境电磁涨落。根据所选择的树，树支和连支的电流电压可分别表示为：， （1）, （2）， （3）， （4）约瑟夫森结两端电压 即为电容电压 ，根据约瑟夫森结电压和磁通的关系 ，其中 ， 是磁通量子。我们得到 ：， （5）约瑟夫森结超导电流为：， （6）是结的临界电流。并联电阻的电压-电流关系为：， （7）我们把电感和互感写成矩阵形式：, , .分别描述了电感 和 的互感系数，电感 和 的互感系数，电感 和 的互感

5、系数，电感 和 的互感系数。则电路电感和磁通关系可表示为：, （8）在线性近似下，外加阻抗的电流-电压关系为：, （9）“*”代表卷积。通过傅立叶变换，可得到频率空间外加阻抗的电流-电压关系：， （10）和 分别为 和 的傅立叶转换形式。我们假设连支包围的回路中有外加磁通 ，根据基尔霍夫定律有：， （11）， （12）为电路的基本回路矩阵，由电路图1和树支图2可以得到：.由方程（1）（12），我们得到电路（图1）超导相位 的经典运动方程 （13）式中各个系数矩阵见附录A。本文我们主要考虑外加阻抗和互感对电路的效应。假定 ，则有：， （14）， （15）系统无耗散时，则 ，则方程（13）可简化为

6、： ， （16）根据分析力学，方程（16）可以由下面的拉格朗日函数得到：， (17)则无耗散时系统的哈密顿量为：， （18）相应的正则坐标和正则动量为：， （19） ， （20） 3、正则量子化为了对超导电路量子化，我们需要将正则坐标和正则动量看作算符。它们满足正则对易关系： ， （21） 为了描述环境对量子系统的影响，我们采用Caldeira和Leggett模型，系统的总哈密顿量为： ， （22）， （23）. （24）是无耗散量子电路的哈密顿量，由方程（18）给出， 是谐振子库哈密顿量， ， 分别是谐振子 的动量和坐标算符，满足对易关系 。 是环境与量子电路相互作用的哈密顿量， 是耦合系数

7、， 是依赖于矩阵 的归一化矢量：， （25）其中：， （26）从系统总哈密顿量方程（22）可以得到：， （27）， （28）， （29）， （30）方程(27)(30)，经过傅立叶变换可以得到方程：， （31）我们定义：， （32）因为 是外加阻抗 的函数，我们用变量代换 ，从而， （33）谐振子库的谱密度定义为 ： ， （34）结合方程（32）（34），可以得到 和谱密度 的关系：， (35)比较谱密度和函数 得到：, (36) ， (37)对方程(16)作傅里叶变换并和(31)式比较可得：, (38)进而由(36)式可得：， (39)其中：， （40）4、动力学演化及二能级近似现在我们研究

8、超导量子电路的动力学演化。通过无耗散时的哈密顿量方程（18），可以求得 的本征基矢 。在弱耦合时，我们可以用约化密度算符 来描述耗散系统的演化，系统的总动力学演化用密度算符 描述，其关系为： 。在Born-Markov近似下，约化密度算符遵循Bloch-Redfield 方程： ， （41）其中 ， ，Redfield张量 包含了环境对系统的耗散作用，其表达式为：， （42）， （43）， （44）， （45）运用关系式 ，Redfield张量 可以表示成只含 的形式。用相互作用哈密顿量（24）代入上述方程得到：， （46）， （47）并可得到二能级近似下量子比特的弛豫时间 ，消相干时间 和消

9、相时间 ：, (48) , (49) ， (50) 把方程（46），（47）代入，得到： ， （51） . （52）对于磁通量子比特，一定条件下势能 在 位置形成一个对称的左右势阱，势阱中势能最小。我们对其作半经典近似，认为势能的基态 和 之间不发生重叠。势垒为有限值时，左右势阱间存在隧穿效应，系统量子态是 和 的叠加态。此时， 的本征矢应取作：， (53)， (54) 是左右势阱的能量差， 左右势阱的隧穿幅度， 。在半经典近似下， 和 不重叠： ， ， ， （55） 从（53）（55），我们很容易得到本征态下的矩阵元， (56) ， (57) 其中， ，把（56），（57）代入方程（51），（52）得到半经典近似下双势阱的弛豫，消相和消相干时间：， （58） ， （59） ， （60）5、讨论从方程（58）（60）可以看出，电路消相干随时间呈指数规律增加，温度越高，消相干时间越短，所以一般超导量子比特都是在低温下操作。对于确定的超导电路， 可以看作常量。因而我们主要分析热库涨落谱密度对消相干的影响。谱密度表达式