例谈幂级数的应用

1、例谈幂级数的应用 DISCUSSION ON APPLICATION OF POWER SERIES BY EXAMPLES摘 要幂级数是一类形式简单却应用广泛的函数项级数, 由于其本身具有很多便于 运算的性质, 因此是一个解决函数方面诸多问题的利器。 利用幂级数的分析性质, 通常可以使形式进行转化, 使复杂问题得以化简。 本文通过归纳和举例, 从幂级 数的定义出发, 对幂级数的重要性质进行总结性证明, 举例分析幂级数在各种计 算中的应用,包括利用幂级数求极限、求导数、求积分、求解微分方程、证明不 等式, 结合实例阐述幂级数在应用中的方法与技巧。 本文还举例介绍了如何应用 复数范围内的双边幂级

2、数求解复积分和某些实积分。 进一步地, 本文对于代数学 中的形式幂级数进行了初步说明。关键词 :幂级数; 函数; 应用ABSTRACTPower series is a kind of series of functions with simple form and extensive application, which can be used to solve many problems powerfully in terms of the function because of its calculated properties. By the analysis properties o

3、f power series, many problems usually can be transformed their form such that the complex problem can be simplified. With the beginning of the definition of power series , this paper summarizes the proofs of important properties of power series. Furthermore, all sorts of computing applications with

4、power series are illustrated, including calculating limit, seeking derivative, computing integration, solving differential equations, and inequalities proving, which are elaborated with examples of power series methods and techniques in the application. This paper also describes an example of how to

5、 compute complex integration and some real integration by means of bilateral power series within the scope of complex. At last, a preliminary description of formal power series is given in algebra.Key word:Power Series; function; application目 录1 前言 . 1 1.1 背景和意义 . 11.2 本文研究的主要内容 . 22 幂级数相关的基本知识 . 3

6、2.1 幂级数的定义 . 3 2.2 幂级数相关定理及推论 . 32.3 留数的基础知识 . 103 幂级数在近似计算与级数求和中的应用 . 13 3.1 计算常数 e 的问题 . . 133.2 幂级数在计算级数和中的应用 . 144 幂级数在求极限、求导、积分运算中的应用 . 16 4.1 幂级数在求极限中的应用 . 16 4.2 幂级数在求导中的应用 . 174.3 幂级数在积分运算中的应用 . 175 幂级数在求解微分方程中的应用 . 20 5.1 求解常微分方程 . 20 5.2 求解偏微分方程 . 20 5.3 实际问题中的微分方程的解 . 216 幂级数在证明不等式中的应用 .

7、247 代数学中的形式幂级数 . 25 7.1 斜幂指数诣 Armendariz 环 . 25 7.2 多项式环 . 26结论 . 28参考文献 . 29致谢 . 301 前言1.1 背景和意义说到幂级数的来历, 肯定要提到最基础的级数的来源。 亚里士多德早在公元 前 4世纪就知道公比小于 1的几何级数有和, 而级数的发展可以追溯到几千年前 的中国,在当时生产力不发达的南北朝时代,伟大的数学家,天文学家,科学家 祖冲之就发现了圆周率的计算方法, 并且运用计算圆面积中, 在这其中与魏晋时 期数学家刘徽在求解圆面积中应用到的割圆法异曲同工, 这种算法已经形成了级 数的初步思想和方法。 与此同时的外

8、国学者也纷纷对级数有了初步的认知, 古希腊哲学家芝诺,在对二分法的研究上把 1表达成为了 23411112222+的这种无穷级数的形式, 而中国伟大的思想家、 哲学家、 文学家庄子提出了 “ 一尺之锤, 日取其半,万世不竭 ” 的辩证理论,这其中也隐约包含着极限的思想,与芝诺的 理论如出一辙。随着时间的发展,级数也在发展和进步。到了 14世纪,印度的 马德哈瓦首先发展了幂级数的概念, 把芝诺提出的理论进一步展开, 完善了无穷 级数的概念,并且研究了无穷级数、泰勒级数,麦克劳林级数的有理逼近,发现 了正弦、余弦等函数的泰勒展开。 17世纪到 18世纪,牛顿和莱布尼兹都在级数 的研究中得到了相同的

9、结果, 后来这个结论被称为牛顿 莱布尼兹公式。 同一时 代,詹姆斯 ·格里高开始研究无穷级数,他公开了一些函数的麦克劳林展开;布 鲁克 ·泰勒对一般解析函数的泰勒展开进行了研究并给出了结论。欧拉发展了几 何级数和 q 级数理论。直到 19世纪,柯西利用极限理论对无穷级数的一般性 推广建立了完善理论,级数理论在此之后逐渐的完善至今。到了现代, 幂级数的研究也没有止步不前, 由于幂级数的性质已经日益完善, 所以学者们纷纷把研究方向由对幂级数性质的研究渐渐地转向利用幂级数的性 质对其他数学领域进行研究, 比如在对幂级数环的研究, 对非线性椭圆方程型方 程的边值问题的研究, 对循环

10、码等重要的码的研究, 它们都应用到了幂级数的性 质或者函数的幂级数展开, 通过了对幂级数性质的扩展利用, 不仅是数学中, 在 物理,土木工程等跨学科领域中也广泛发展。就幂级数来看, 它是一类形式简单而应用广泛的函数项级数, 基本初等函数 在一定范围内都可展成幂级数。 幂级数有许多方便的运算性质, 在函数运算等方 面是一个很有力的工具。 将函数展开称为幂级数形式, 利用幂级数和函数的分析 性质等, 常常能解决许多疑难问题, 并且幂级数也可以应用到工程力学中, 用幂 级数表示力学方程的解。 由于幂级数的基础性和实用性, 在数学分析和高等数学 中都进行初步的学习。 本文对幂级数的重要性质进行了归纳,

11、 给出幂级数在数学 和物理中的若干应用, 并结合例题阐述幂级数在各方面应用中具体的技巧和方法。虽然关于幂级数的文章,期刊不胜枚举,但是其中多为简单,分散的内容, 不能全面立体的介绍幂级数的应用, 本文写作的意义就是要对其他的学者的期刊、 著作进行分析, 利用现有的知识和理论对例子进行归纳, 并分析总结例子中应用 到的性质和技巧,尽量把将幂级数的应用系统的展现出来。1.2 本文研究的主要内容本文共分为八个部分, 第一部分前言讲解幂级数的来源和研究意义, 说明幂 级数的前世今生及写本文的缘由。 第二部分将对幂级数相关的基本性质进行介绍 和证明, 第三部分至第六部分将举出实例讲解幂级数在近似计算;

12、求极限, 求导, 积分运算问题; 求解微分方程; 证明一些不等式等数学问题, 并对每个例子进行 分析和总结, 并提出一个跨学科问题对幂级数的应用, 说明幂级数的应用的广泛 性和实用性。 第七部分讲解了幂级数在当今时代中的发展应用, 举出了两篇近期 的期刊中提出的理论, 了解现在幂级数的发展现状, 第八部分对整篇文章进行总 结,总结这篇文章的内容,阐述写作的意义。2 幂级数相关的基本知识2.1 幂级数的定义在函数级数中有一类结构简单,应用广泛的特殊的函数项级数(20120n nn n n a y a a a y a a y a a y a =-=+-+-+-+ (2-1称为幂级数,其中 01,

13、, na a a 都是常数,称为幂级数的系数,若 y a x -=,则可将上述幂级数转化为最简形式的幂级数20120nn n n n a xa a x a x a x =+ (2-220120nn n n n a xa a x a x a x =+在 0都收敛,幂级数 (2-2的收敛有以下定理:定理 2.1 若幂级数 (2-2在 00x 收敛, 则 x 满足 0:x x x <, 反之, 若幂级数 (2-2在 00x 发散,则 x 满足 0:x x x >。证明:设级数 0n n n a x =收敛, 则 0lim 0nn n a x =, 可知存在 0M >对于任意的 0,

14、1,2n=都 有 数 列0n n a x M , 设 对 于 任 意 的x 满 足 1xx <, 则 有 000nn n nn n n x x a x a x M x x =, 因为级数 00nn x M x =收敛, 所以幂级数 (2-2在 0x x <时 绝对收敛:反过来,看后半部分,我们设幂级数 (2-2在 0x x =时发散,若存在 1x 满足 0x x ,使得级数 01nn xM x =收敛,定理第一部分中 0x x =时,幂级数 (2-2收敛,与假设相矛盾,所以幂级数 (2-2对于任意的 x 满足 0x x >都发散。 定理 2.2 对于幂级数 (2-2,即 0n

15、 n n a x =,若1limn n na l a +=(或 n l = , 则幂级数 (2-2的收敛半径为1, 0, , 0, 0. l l r l l <<+=+=+证明:根据柯西判别法可知对于正项级数 0n n n a x =可得知,11limlim n n n n n nu ax l x u a +=1 0l <<+,当 1l x <时, 幂级数 (2-2绝对收敛:当 1l x >,幂级数 (2-2发散,故收敛半径 1r l=。2 0l =, 对于任意的 x R 都有 01l x =<, 即对于任意 x R 幂级数 (2-2都收敛, 所以收敛

16、半径 r =+。3 l =+,对于任意的 x R 且 0x 都有 l x =+,即对于任意 x R , 0x 幂 级数 (2-2发散,故收敛半径 0r =。设幂级数 (2-2,即 0n n n a x =的收敛半径 0r >, 幂级数 (2-2在收敛区间确定了一个和函数 (S x ,即(0n n n S x a x =. (2-3定 理 2.3 若 幂 级 数 (2-2的 收 敛 半 径 0r >, 则 幂 级 数 (2-2在 任 意 闭 区 间(, , a a r r -都一致收敛。证明:令对于任意的 , x a a -,即 (0 x a a r <<,有 n n n

17、 n a x a a ,因为级数n nn aa =,根据 M 判别法,幂级数 (2-2在闭区间 , a a -内一致收敛。定理 2.4 若幂级数 0nn n a x =与 (101' nn n n n n a x na x -=的收敛半径分别是正数 1r 与 2r ,则 12r r =。证明:首先要证明 12r r ,令任意的 0x 满足 010x r <<,存在 1x 满足 011x x r <<,已知级数 10n n n a x =收敛,对于任意的 n N ,都有 100101nn n n n x n na x a x x x -=。已知极限 001lim0

18、nn x n x x =,可知数列 001nx n x x 有界,即存在这样的 0M >和任意的 n N +,使得01nx n M x x ,然后可得 11n n n n na x M a x -,根据比较判别法,级 数 101n n n na x -=绝对收敛,故 12r r 。 然后我们需要证明 12r r ,对于任意的 0x 满足 020x r <<,存在 1x 满足012x x r <<, 已 知 级 数111n n n a x-=收 敛 , 对 于 任 意 的 n N +都 有1010011n n n n n x x a x na xn x -=,已知极

19、限 1001lim 0n n x xn x -=,可知 1001n x xn x -有界,即 存 在 这 样 的 0M >和 任 意 的 n N +使 得1001n x x M n x -, 所 以 可 得101n n n n a x M na x-,然后根据比较判别法,级数 00nn n a x =绝对收敛,所以 12r r ,根据两个证明综合可得 12r r =。推论 2.4: 若幂级数 0nn n a x =与 101xnn n n n n a a t dt x n +=+的收敛半径分别是 1r 与 2r ,则 12r r =。定理 2.5 若幂级数 0n n n a x =的收敛

20、半径 0r >, 则它的和函数 (S x 在区间 (, r r -连续。证明: 设任意 (, x r r -且存在 0>,满足 (, , x r r -,已知幂级数内 闭一致收敛,根据幂级数的一致收敛和连续性的性质定理判断可得 (S x 在 x 上 连续,继而可知,和函数 (S x 在区间 (, r r -上连续。定理 2.6若幂级数 0n n n a x =的收敛半径 0r >,则对于任意 (, x r r -,它的和函数(S x 由 0到 x 可积,且可逐项积分,即1( 1xxnn n n n n a S t dt a t dt x n +=+ (2-4 证明:设存在任意

21、的 (, x r r -且 0>, 满足 (, , x r r -, 已知幂级数内 闭一致收敛,由逐项积分定理可知,和函数 (S x 在 (0, x 上可积,且可以逐项积 分,故 100( 1xxnn n n n n a S t dt a t dt x n +=+。 定理 2.7 若幂级数 0n n n a x =的收敛半径 0r >, 则它的和函数 (S x 在区间 (, r r -可导,且可逐项积分,即对于任意 (, x r r -,有(101' ' nn n n n n S x a x na x -= (2-5证明:由定理 4可知幂级数 10n n n na

22、x -=的收敛半径是 r , 令存在任意的 (, x r r -且0>, 满足 (, , x r r -, 已知幂级数内关一致收敛, 根据逐项微分定理, 和函数 (S x 在区间 (, r r -上可导,且可以逐项微分,即对于任意的 (, x r r -, 都有 (101' ' nn n n n n S x a x na x -=推论 2.7 若幂级数 0n n n a x =的收敛半径 0r >, 则它的和函数 (S x 在区间 (, r r -存在任意阶导数,且对于任意 (, x r r -,任意 k N +,有( ( (1(1 k k nn k n n n n

23、 kS x a x n n n k a x -=-, (2-6此幂级数的收敛半径也是 r 。定理 2.8 若幂级数 0n n n a x =的收敛半径是 r ,并且在 r 收敛(或在 r -收敛 ,则这个幂级数 0n n n a x =在闭区间 0, r (或者在闭区间 ,0r -上一致收敛,因而和函数 (0n n n S x a x =在 r 左连续(或者在 r -右连续 。证明:因为 00nn n n n n n x a x a r r = ,对于任意的 0, x r ,函数列 n x r 单调递减,且一致有界, 210. nx x x r r r 且级数 0n n n a r =收敛,根

24、据阿贝尔判别法, 幂级数 0nn n a x =在 0, r 一致收敛, 其和函数 (0n n n S x a x =在 r 左连续,在 -r 右连续。由定理 2.1-2.8可以看到,幂级数 0n n n a x =(收敛半径 0r >具有的性质如下:1. 收敛域是以原点为中心的区间。 2. 在区间 (, r r -内闭一致收敛。 3. 和函数在区间 (, r r -内连续。4. 和函数在任意闭区间 (, , a b r r -可积,且可逐项积分,特别地,对于任意 (, x r r -,由 0到 x 可逐项积分,逐项积分得到的幂级数收敛半径 也是 r 。5. 和函数在区间 (, r r

25、-存在任意阶导函数,且可逐项积分得到的幂级数收敛半径也是 r 。6. 若幂级数在在收敛半径 r 处(或 r -收敛,则其和函数 (S x 在 r 左连续(或在 r -右连续 。定 理 2.9 若 函 数 (f x 在 区 间 (, a r a r -+能 展 成 幂 级 数 , 即 对 于 任 意(, x a r a r -+都有(0( n n n f x a x a =-, (2-7则函数 (f x 在区间 (, a r a r -+存在任意阶导数,且 ( , 0,1, 2!k k f aa k k =证明:根据定理 7的推论,函数 (f x 在区间 (, a r a r -+存在任意阶导数

26、,且 (1(1(1 ! (1 (1 2( n kk n k k n kfx n n n k a x a k a k kk ka x a -+=-+-=+-+令 x a =, ( ! k k fa k a =,即 ( (!k k f a a k =。 推论 2.9 若函数 (f x 在区间 (, a r a r -+能展开幂级数 (7,则期幂级数展开式 是唯一的,即若对于任意 (, x a r a r -+,有( ( nn n f x a x a =-与 0( ( n n n f x b x b =-,则 , 0,1,2n n a b n =.证明:根据定理 9,可知 ( ( ! n n f a

27、 a n =, ( (!n n f b b n =,有 n n a b =, 0,1,2,n =。由此,我们可以引出另外的重要级数:泰勒级数和麦克劳林级数。泰勒级数:(0( ( ! n n n g a g x x a n =-.麦克劳林级数:(0(0( ! n nn g g x x n =.定理 2.10 若函数 (f x 在区间 (, a r a r -+存在任意阶导数, 且存在 0M >, 对于 任意 (, x a r a r -+,任意的 0,1,2n =,有 (nf x M ,则( 0( ( !n n n f a f x x a n =-, (, x a r a r -+ (2-

28、8 证 明 :根 据 泰 勒 公 式 , 对 于 任 意 的 (, x a r a r -+, 都 有(0( ( ( 0( ! n nkn k f a f x x a R x n k =-=,即 0( ( ( ! n n n f a f x x a n =- 定理 2.11 若函数 (f x 在区间 (, a r a r -+存在任意阶导数,且对于任意的(, x a r a r -+, 泰 勒 公 式 的 余 项 ( 0( n R x n , 则 对 于 任 意 的 (, x a r a r -+都有( 0( ( !n n f a f x x a n =-(2-9 证明:根据拉格朗日余项的泰勒

29、公式,有(1( ( ( (01!( ! !n n n nn x a R x f x a n x a r f x a Mn n -=+-<<-=+-因为 lim 0!nn r n =,有 1lim ( 0n n R x -=,根据定理 10,可以得知 (2-9式子成立。常见初等函数的幂级数展开: 1. (2101arctan , 1121nn n x x x n +=-=-+2. 210(1 sin , (21! n n n x x x n +=-=-<<+3. 20(1 cos , 2!n nn x x x n =-=-<<4. 0, !nxn x e x

30、n =-<<5. (111(1 1, 11!nn n n x x x n =-+=+-<<6. (11ln(1 , 11n n n x x x n-=-+=-<2.3 留数的基础知识101( ( ( ( n n nn n nn c c c z a c c z a c z a z a z a-=-=+-+-+-(2-10称为双边幂级数,其中 (0, 1, 2, n c n =±±为复常数为 (2-10的系数。定理 2.12 双边幂级数 (2-10的收敛圆环为 :(0, H r z a R r R <-<+,那么 1 双边幂级数 (2-

31、10内绝对收敛且内闭一致收敛于 (12f x f z f z =+; 2 (f z 在 H 内解析; 3 (nnn f z c z a =-=-定理 2.13 (洛朗定理 在圆环 :(0, H r z a R r R <-<+内解析函数 (f z 一定可以展开称为双边幂级数( nn n f z c z a =-=-,其中 (112n n r f c d i a +=-, (0, 1, 2, n =±±, 为圆 周 ( a r R -=<<并且展开式是唯一的。已知函数 (f x 在 0x 处不解析,但在 0x 的某个去心邻域 00x x <-&l

32、t;里处处 解析,那么则可以把 0x 称为函数 (f x 的孤立奇点。其中,如果 (f x 在 0x 的洛朗展开式 (0001( ( nn n n n n f x a x x a x x -=-+-中没有负幂项,就把 0x 称为 (f x 的可去奇点。如果 (f x 在 0x 的洛朗展开式 (0001( ( nn n n n n f x a x x a x x -=-+-中只有有限多个负幂项,那么可以设(1 11000( (m mm m a a a x x x x x x -+-,则把 0x 称为 (f x 的 m 级极点,其一级极点也叫做简单极点。如果 (f x 在 0x 的洛朗展开式 (0

33、001( ( nn n n n n f x a x x a x x -=-+-中有无穷多个负幂想,就把 0x 称为 (f x 的本性奇点。定理 2.14 若 0x 是函数 (f x 的孤立奇点,那么下面三个条件式等价的: 1. 0x 是 (f x 的可去奇点,即 (f x 在 0x 的洛朗级数展开式没有负幂项; 2. 0lim ( n f x a =;3. (f x 在 0x 的某去心邻域内有界。定理 2.15若 0x 是函数 (f x 的孤立奇点,那么下面三个条件式等价的: 1. 0x 是 (f x 的 m 级极点,即 (f x 在点 0x 处的洛朗展开式中的主要部分为(1 11000( (

34、m mm m a a a x x x x x x -+-, (0m a -; 2. (f x 在 0x 的某去心邻域内能表示成 (0(mx f x x x =-, 其中 ( x 在 0x 的某邻域内解析,且 0( 0x ; 3. 0x 是 (1g x f x =的 m 级零点。 推论 2.15 (f x 的孤立奇点 0x 为极点的充分必要条件是 (0lim x x f x =定理 2.16 0x 是 (f x 的本性奇点的充分必要条件是不存在有限或着无限的极限(0lim x x f x 。定义 :已知有限点 0x 是 (f x 的孤立奇点, (f x 在圆环域 00x x <-<内

35、解析, 则称积分1( 2cf x dx i为 (f x 在 0x 点的留数, 记作 (0Re , s f x x , 其中 C 是圆环域内将 0x 包含在其内部的任一正向闭合曲线。定理 2.17 已知函数 (f x 在正向闭曲线 C 上解析,在 C 内除了有限个孤立奇点01, , , n x x x 外处处解析,则(12Re , nkk cf x dx i s f x x =,这就是留数定理。 定理 2.18 函数 (f x 在有限孤立奇点 0x 处的留数等于 (f x 在 0x 处的洛朗展开式 的负一次幂的系数,即 (01Re , s f x x a -=。 定 理2.19已 知 有 限 点

36、 0x 是(f x 的m 级 极 点 , 则(010011Re , lim ( 1! mm m x x d s f x x x x f x m dx -=-, 其 中 当 1m =时 , (000Re , lim x x s f x x x x f x =-。推 理 2.19 已 知 函 数 (P x f x Q x =, 且 ( P x 和 ( Q x 在 0x 处 都 解 析 , 其 中 (' 000( 0, ( 0, 0P x Q x Q x =,则 (00' 0(Re , (P x s f x x Q x =。3 幂级数在近似计算与级数求和中的应用3.1 计算常数 e

37、的问题常数 e 是非常重要的无理数, 它不仅仅在数学中能涉及到, 在自然科学中也 能见到, 比如向日葵花子的排列、 鹦鹉螺的花纹呈现的螺线方程, 这些方程都需 要用到 e ,而它最早出现的地方却是计算利息有关。根据复利计算的规则,如果 把利息计算的周期无限的缩小, 本利和也不会无限增加, 它的值会趋近一个极限值, 这个值便与 e 相关。 e 的定义是这样的, 当 n 趋于无穷时, 11nn + 的极限,即 1lim 1nn n + , 所以在求解 e 的近似值运用幂级数的级数展开形式可以求解一些 无理数或者积分运算的近似值, 将原函数展开成为级数形式, 取有限的项数, 在 误差范围内得出相对精

38、准的结果。pq(, p q N + , 因为 e 是自然对数的底数,那么用麦克劳林级数表示函数 x e 。201, !1! 2! !n nxn x x x x e x R n n =+。当 1x =时,上式就可以表示为011111!1! 2! !n e n n =+。这就是常数 e 的级数展开式,用 n H 来表示 e 的 1n +项和为 01!nn k H k = 如果用 n e H -来表示误差,那么00211! ! 1111! 2! (3!11111! 2(2(3 11111! 1(1 11111! ! 11n n k k e H k k n n n n n n n n n n n n

39、nn =-=-=+=+<+=+-+ 所以 011! nn k e H e k n n =-=-<那么可以设 11111! 2! ! n H q =+,由 011! ! nn k e H e k n n =-=-<可以推导出 110!( !1! q q e H q q q q<-<=,可以看出 !( q q e H -为区间 (0,1的小数,此外 111!( ! 11! 2! ! q q q e H q p q -=-+ 是正整数,与此前的结论矛盾,故 e 是 无理数。 因为 11111! 2! !e n =+所以 2.718e 。 同理也可以对超越数 应用常见函数

40、幂级数展开中的 1来进行计算近似值, 所以在解此类问题中时需要考虑是否可以将函数可以写成幂级数形式, 将不便于 运算的函数变成能进行计算且有规律的函数形式,然后再一步一步求解。3.2 幂级数在计算级数和中的应用n nn =+,求级数的和。解:设 11( (1!n n nf x x n +=+,其中 x -<<。由逐项积分的性质可对 ( f x 求导:可得 ('' 111(1! !n n n n n n f x x x n n +=+ (' 11!n n f x n x x n -= 因此根据幂级数的逐项积分性质可得:' 1011( 1! !nxn x

41、 n n f t n x dt t dt e t n n -=-所以 (' ' (1x x f x e e x=-=, ' ( x f x xe = 因此可以得到(' 0( (1 1x xt x f x f t dt te dt x e =-+当 1x =时, (111(1! n nf n =+4 幂级数在求极限、求导、积分运算中的应用4.1 幂级数在求极限中的应用求极限的方法很多:等价无穷小的代换;洛必达(LHospital 法则;泰勒 公式, 对特定类型的幂指函数取对数; 多项式相除; 数列极限中利用等差、 等比、 拆分求解;利用重要极限;换元法;利用定积分

42、求数列极限等常见方法,但每种 方法都有一定的局限性。下面将举出两个例子来分析幂级数在求极限中的应用。已知( 1f x=+lim ( n f x 。 解:因为( 1f x =+ 所以 ( f x 可以表示为 1( ni f x = 又因为 (233221212n n+=+ 所以 111111( 2212111(12nni i f x i i n i i =-=- + 所以 lim ( 2n f x =。11lim 12n n n n n +解:因为 111n i n=+所以极限 111111lim lim 11211n n n n n n n n n n +=+ + +所以 21111limln

43、 21n i xn=+。 在利用幂级数求解极限的问题中, 一般都是无穷多项的函数或者数列的求和形式,而根据幂级数的定义 20120n n n n n a x a a x a x a x =+,可以看出幂级数的定义本身就是无穷多项求和的极限, 因此, 此种形式求极限应率先考虑将 极限转化为无穷级数求和的问题。4.2 幂级数在求导中的应用用幂级数可以表示一些基本初等函数, 利用这个性质, 我们往往可以解决某 些函数方面的问题,利用幂级数的级数展开形式能够把复杂的函数表达的简单、 清晰。所以在下面的例子中,将在函数的求导中利用到函数的幂级数的展开。2xf x x x =+-的 n 阶导数 解:将 2

44、12x x +-因式分解可得到 112x x +-,进而分解为 111312x x + +- 所以(20011111n n nn n n xx x x x x x =+-+-=-+<从而(110111132nn n n f x x x +=-+<故, (f x 的 n 阶导数 (1011(1! 1132nn n n fx n x x +=+-+< 因为一般的函数求导都可以遵循求导的基本公式, 而对于这种函数形式的求导, 公式就显得有些乏力, 把函数因式分解等运算, 将其中的初等函数写成幂级 数的形式,就可以对不能直接求导的函数求导了。4.3 幂级数在积分运算中的应用幂级数在收

45、敛域上绝对收敛, 并且在收敛区间上可以逐项求导, 逐项积分的, 同样, 还可以交换求和顺序等特殊的性质, 我们便可以利用这些性质, 在计算积 分中将函数展开为收敛的幂级数, 利用逐项积分来计算积分的值或证明式子之间 的等价关系。20cos (1 122! 44!22!n nx t x x x dt t n n -=-+-证:因为 20cos (1 (2! nnn x x n =-, (, x -所以2100cos (1 (2! n xx n n t t dt dt t n -=- 21001(1 (2! x nn n t dt n -=- (242(1 122! 44!22!n n x x x

46、 n n -=-+-其中 x R 假如要是把实数范围内的积分运算扩展到复数中, 那么积分运算就需要运用 到留数定理,就变成了对封闭曲线上的积分运算。3sin (1 x cz zdz e -, C 为正向圆周:z = 解:根据 sin z 和 x e 的泰勒展开式可以看出333223( sin (1 2! (1 1(1 2! 1(.x z z z z z e z z z z z z-+=-+-+=-+=- 其中 ( z 在 0z =处解析,且 (01=,将 ( z 在 0z =处展开成泰勒级数,可以得到'3sin 11(0(1 x z z z e z=-+-,从而 3sin Re ,01

47、(1 x z z s e =-,由留数定理可得 3sin 2(1 x cz z(1 12cos d I =-+解:当 0=时, 2I =;当 0时, i z e =, 11111122z z dzdz I z z i z z -=+-+ 当 01z <<时,1z <内, (11f z z z =-有且仅有 z =为一级极点,在 1z =上无奇点,所以根据留数定理(221122Re 2|11z F z F I i s f z i -=- 当1>时,1z <内, (f z 有且仅有 1z =为一级极点,在 1z =上无奇点,所以可得(1112112Re 2|(1 12

48、( |(1(21z z z F Fz Fz I i s f z i z z z z -=-=-=-利用留数定理计算实积分的方法就是把实积分转化为复变函数沿围线的积分, 再把积分 利用留数定理进行计算,这种方法适用于某些原函数不适合直接求出的积分运算。5 幂级数在求解微分方程中的应用微分方程一般情况下都不能用初等积分方法求解, 一般情况下都是用幂级数 的形式来表达微分方程的解。 它不仅能应用到数学方面, 还能应用到土木工程等 方面 , 下面将举出三个例子分别说明幂级数在求解微分方程的解中的应用。 5.1 求解常微分方程求解微分方程其实就是将微分方程进行转换,使其变成代数方程,更加容易。 解:设方程的解为 0n n n y a x =则 '10n n n y na x -=''121(1 (2(1 n n n n n n y n n a xn