平面向量数量积运算的解题方法与策略

1、平面向量数量积运算的解题方法与策略平面向量数量积运算一直是高考热点内容，它在处理线段长度、垂直等问题的方式方法上尤为有突出的表现,而正确理解数量积的定义和几何意义是求解的关键，同时平面向量数量积的运算结果是实数而不是向量,因此要注意数量积运算和实数运算律的差异,本文仅举数例谈谈求解向量数量积运算的方法和策略。1.利用数量积运算公式求解在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方和(差)公式在解题中的应用较为广泛,即(ab)aa·bb，（ab）aa·bb上述两公式以及(ab)(ab)ab这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用.例1 已知a，b，a·b，求a

2、b，ab.解析：ab（ab）aa·bb×（）ab，（ab）（ab）a2a·bb22×（3）×35，ab例2 已知a8，b10，ab16，求a与b的夹角(精确到°).解析：（ab）（ab）a2a·bba2a·bb××，°例3 已知a（3，4），b（4，3），求x,y的值使(xa+yb)a，且xa+yb=1.分析：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想.解：由a（3，4），b（4，3），有xa+yb=(3x+4y,4x+3y)又（xa+yb）a(xa+yb)·a3(3x+4y)

3、+4(4x+3y)=0即25x+24y 又xa+yb=1xa+yb（x+4y）（x+3y）整理得：25x48xy+25y即x(25x+24y)+24xy+25y 由有24xy+25y 将变形代入可得：y=±再代回得：2. 利用定义直接求解. 例4 若向量满足，的夹角为45°，则=_.解析：根据数量积的定义得，例5 设向量与向量的夹角为钝角，求实数t的取值范围. 解析：，故，解之 另有，解之，例6 如图, 已知正六边形，下列向量的数量积中最大的是（ ）（A） （B） （C） （D）解析：选项中均有向量，根据数量积的几何意义，要找的最大值,只需求在方向上的投影最大即可，画图可知

4、只有在方向上的投影最大，故最大选A.3. 利用数量积的定义、性质、运算律求解例7 判断正误，并简要说明理由.·00；0·；0；·；若0，则对任一非零有·；·，则与中至少有一个为0；对任意向量，都有（·）（·）；与是两个单位向量，则.分析：根据数量积的定义、性质、运算律，逐一判断.解：上述8个命题中只有正确；对于：两个向量的数量积是一个实数，应有0·；对于：应有·0；对于：由数量积定义有···，这里是与的夹角，只有或时，才有··；对于：若非零向量、垂直，有&

5、#183;；对于：由·可知可以都非零；对于：若与共线，记.则·（）·（·）（·），（·）·（·）（·）（·）若与不共线，则(·)（·）.评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.4. 借助零向量. 即借助“围成一个封闭图形且首尾相接的向量的和为零向量”，再合理使用向量的移项以及平方等变形，求解数量积.例8 已知ABC中，若，求证：ABC为正三角形. 证明：， ， 又， ，故 ， 知a=b， 同理可知b=c ， 故a=b=c ， 得证例9 已知平面上三点A

6、、B、C满足则的值等于 。解析：注意到，两边平方得所以=255. 借助平行向量与垂直向量.即借助向量的拆分，将待求的数量积转化为有垂直条件关系或平行向量关系的向量数量积，借助，则等解决问题.例10 已知向量a（3，4），b（2，x）， c（2，y）且ab，ac求|bc|的值解析： ab， 3x80 x b（2， ） ac， 64y0 y c（2， ）而bc （2，）（2，）（0，）， |bc| 例11 如图，在RtABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中心，问与的夹角取何值时·的值最大？，并求出这个最大值. 解析：·=0又=，=,=,·=()

7、3;()=···+·=a2·+·=a2+()=a2+·.当cos=1,，即=0（与方向相同）时，·最大，最大值为0.例12 四边形中， （1）若，试求与满足的关系式；（2）满足（1）的同时又有，求的值及四边形的面积。 解析： （1） 则有 化简得： （2）, 又 则 化简有： 联立解得 或 则四边形为对角线互相垂直的梯形当时, 此时当时, 此时 6. 借助向量的拆分将待求向量的数量积转化为题目中能求解的数量积.例13 如图，在中，是边上一点，则_ .解析：直接利用定义求较困难，题目中给出了，可以利用定义直接求出，这

8、样问题就转化为能否将向量都用形式表示.由得即，.7. 建立坐标系，利用坐标运算求解数量积例14 已知O为RtABC的内切圆的圆心，AB=5,BC=4,CA=3下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 解析：建立如图直角坐标系：设A(0,3)，B(4,0)，C(0,0)，O为RtABC的内切圆的圆心O(1,1)，故选 A例15 如图，在中，是边上一点，则_.解析：建立以AB为x轴，过点A作AB的垂线为y轴的直角坐标系，如图所示，则A(0,0)，B(2,0)，C()，由定比分点坐标公式得D()，所以，=(),即.三角恒等式证明的基本技巧三角恒等式的证明是三角函数中一类重要问题，这类问题主要以无

9、条件和有条件恒等式出现。根据恒等式的特点，可采用各种不同的方法技巧，技巧常从以下各个方面表示出来。1化角 观察条件及目标式中角度间联系，立足于消除角间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地沟通条件与结论使之统一，或有利于公式的运用，化角是证明三角恒等式时一种常用技巧。例1求证：tanx - tanx =思路分析：本题的关键是角度关系：x=x -x，可作以下证明：右式= tanx - tanx。2化函数 三角函数中有几组重要公式，它们不仅揭示了角间的关系，同时揭示了函数间的相互关系，三角变换中，以观察函数名称的差异为主观点，以化异为为同（如化切为弦等）的思路，恰当选用公式，这也是证明三角恒等式

10、的一种基本技巧。 例2 设+=1，求证：tanA、tanC、tanB顺次成等比数列。思路分析：欲证tan2C = tanA·tanB，将条件中的弦化切是关键。可作以下证明： sin2C= ，sin2A= = 由已知可得=1-=， = = 即tan2C = tanA·tanB 命题成立。3化幂 应用升、降幂公式作幂的转化，以便更好地选用公式对面临的问题实行变换，这也是三角恒等式证明的一种技巧。 例3求证 cos4-4cos2+3=8sin4思路分析：应用降幂公式，从右证到左：右边=8()2=2(1-2cos2+cos22)= 2(1-2cos2+)=cos4-4cos2+3=

11、左边。4化常数 将已知或目标中的常数化为特殊角的函数值以适应求征需要，这方面的例子效多。如1=sin2+cos2=sec2-tan2=csc2-cot2=tancot=sincsc=cossec，1=tan450=sin900=cos00等等。如何对常数实行变换，这需要对具体问题作具体分析。 例4 求证 =思路分析：将左式分子中“1”用“sin2+cos2”代替，问题便迎刃而解。左边=右边5化参数 用代入、加减、乘除及三角公式消去参数的方法同样在证明恒等式时用到。 例5 已知acos2+bsin2=mcos2，asin2+bcos2=nsin2，mtan2=ntan2(n) 求证：(a+b)(

12、m+n)=2mn 思路分析：消去参数，当m=0时，由mtan2=ntan2得n=0，显然成立。当m0时，只须消去、即可。由acos2+bsin2=mcos2，asin2+bcos2=nsin2得=tan2，再由mtan2=ntan2得=tan2即可得=tan2，解得tan2=1，所以sin2=cos2=。求得cos2=，sin2=，又由cos2+sin2=1不得。+=1 ，即 (a+b)(m+n)=2mn6化比 一些附有积或商形式的条件三角恒等式证明问题，常可考虑应用比例的有关定理。用等比定理，合、分比定理对条件加以变换，或顺推出结论，或简化条件，常常可以为解题带来方便。例6 已知(1+cos)(1-cos)=1-2(0，1)。求证：tan2=tan2思路分析：综观条件与结论，可考虑从条件中将分离出来，以结论中为向导，应用合比定理即可达到论证之目的。 由已知得1+cos-cos-2coscos=1-2, 2(coscos-1)= (cos-cos)， = 依合分比定理得=tan2cot2 tan2=tan2 7化结构 观察等式左右结构上的差异，立足于统一结构形式也是三角恒等式的一种技巧。例7设A+B+C=，求证：sinA+sinB+sinC=4coscoscos思路分析：这里等式左右分别为和积的形式，现将左边化成积。 A+B+C= sinC