平面向量的基本定理及坐标表示教案

1、平面向量的基本定理及坐标表示适用学科数学适用年级高三适用区域人教版课时时长（分钟）80知识点1 了解平面向量的基本定理2 平面向量的坐标表示及运算3 平面向量共线的条件教学目标1了解平面向量的基本定理及其意义2掌握平面向量的坐标表示3掌握平面向量的运算4掌握平面向量共线的条件教学重点平面向量的坐标运算及平面向量共线条件教学难点向量的坐标运算及共线条件教学过程一、复习预习1平面向量的定义；2平面向量的坐标表示；3平面向量的坐标表示及其运算；二、知识讲解考点1 平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2其中，

2、不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底考点2 平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解考点3 平面向量的坐标表示(1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y，使ax iyj，把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标(2)设xiyj，则向量的坐标(x，y)就是终点A的坐标，即若(x，y)，则A点坐标为(x，y)，反之亦成立(O是坐标原点)考点4 向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a(x1，y1)，

3、b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)考点5 向量坐标的求法(1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|.考点6 平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0.若abx1y2=x2y1三、例题精析【例题1】【题干】如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，设a，b，若2，则_(用向量a和b表示)【答案】ab【解析】2，DOCBOA，且，()ab.【例题2】【题干】已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)设a，b，c.求3ab3

4、c；求满足ambnc的实数m，n.【解析】由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)mbnc(6mn，3m8n)，解得【例题3】【题干】已知向量a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)若为实数，(ab)c，则()A.B.C1 D2【答案】B【解析】可得ab(1，2)，由(ab)c得(1)×43×20，所以.四、课堂运用【基础】1在ABC中，点P在BC上，且2，点Q是AC的中点，若(4,3)，(1,5)，则等于()A(2,7)B(6,21)C(2，7) D(6，21)解析：选B33(2)63

5、(6,30)(12,9)(6,21)2.如图所示，向量a，b，c，A，B，C在一条直线上，且3，则()AcabBcabCca2bDca2b解析：选A3，3()，即cab.3已知平面直角坐标系内的两个向量a(1,2)，b(m,3m2)，且平面内的任一向量c都可以唯一的表示成cab(、为实数)，则m的取值范围是()A(，2) B(2，)C(，) D(，2)(2，)解析：选D由题意知向量a，b不共线，故m，解得m2.4 已知向量a，b(x,1)，其中x>0，若(a2b)(2ab)，则x_.解析：a2b，2ab(16x，x1)，由题意得(82x)·(x1)·(16x)，整理得

6、x216，又x>0，所以x4.答案：45已知向量(1，3)，(2，1)，(k1，k2)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数k应满足的条件是_解析：若点A，B，C能构成三角形，则向量，不共线(2，1)(1，3)(1,2)，(k1，k2)(1，3)(k，k1)，1×(k1)2k0，解得k1.答案：k1【巩固】1.如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，则下列说法错误的是()ABC D解析：选D由向量减法的三角形法则知，排除B；由向量加法的平行四边形法则知，排除A、C.2已知A(1,1)，B(3，1)，C(a，b)(

7、1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；(2)若2，求点C的坐标解：(1)由已知得(2，2)，(a1，b1)，A，B，C三点共线，.2(b1)2(a1)0，即ab2.(2)2，(a1，b1)2(2，2)解得点C的坐标为(5，3)【拔高】1若，是一组基底，向量xy(x，yR)，则称(x，y)为向量在基底，下的坐标，现已知向量a在基底p(1，1)，q(2,1)下的坐标为(2,2)，则a在另一组基底m(1,1)，n(1,2)下的坐标为()A(2,0) B(0，2)C(2,0) D(0,2)解析：选Da在基底p，q下的坐标为(2,2)，即a2p2q(2,4)令ax my n(xy，x2y)，故即2

8、.如图，已知平行四边形ABCD的顶点A(0，0)，B(4,1)，C(6,8)(1)求顶点D的坐标；(2)若2，F为AD的中点，求AE与BF的交点I的坐标解：(1)设点D(x，y)，因为，所以(x，y)(6,8)(4,1)(2,7)，所以顶点D的坐标为(2,7)(2)设点I(x，y)，则有F点坐标为，由于2，故(xE2，yE7)2(6xE,8yE)E，由于，(x4，y1)，(x4)3(y1)，又xy，联立方程组可得x，y，则点I的坐标为.课程小结1.基底的不唯一性只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量a都可被这个平面的一组基底e1，e2线性表示，且在基底

9、确定后，这样的表示是唯一的2向量坐标与点的坐标的区别要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小.课后作业【基础】1已知平面向量a(1,2)，b(2，m)，且ab，则2a3b()A(2，4) B(3，6)C(4，8) D(5，10)解析：选C由a(1,2)，b(2，m)，且ab，得1×m2×(2)m4，从而b(2，4)，那么2a3b2(1,2)3(2，4)(4，8)2已知点A(2,1)，B(0,2)，C(2,1)，O(0,0)给出下面的结论：直线OC与直线BA平行；2.其中正确的结论的个数是()A1 B2C3 D4解析

10、：选C(2,1)，(2，1)，又A，B，C，O不共线，OCAB.正确；，错误；(0,2)，正确；2(4,0)，(4,0)，正确3在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若a，b，则()A.ab B.abC.ab D.ab解析：选B由已知得DEEB，又DEFBEA，DFAB.即DFDC.CFCD.()ba.abaab.4Pa|a(1,1)m(1,2)，mR，Qb|b(1，2)n(2,3)，nR是两个向量集合，则PQ等于_解析：P中，a(1m,12m)，Q中，b(12n，23n)则得此时ab(13，23)答案：【巩固】1在ABC中，点D在线段BC

11、的延长线上，且3，点O在线段CD上(与点C、D不重合)，若x(1x) ，则x的取值范围是()A. B.C. D.解析：选D依题意，设，其中1<<，则有()(1) .又x(1x) ，且，不共线，于是有x1，即x的取值范围是.2已知a(1,0)，b(2,1)求：(1)|a3b|；(2)当k为何实数时，kab与a3b平行，平行时它们是同向还是反向？解：(1)因为a(1,0)，b(2,1)，所以a3b(7,3)，故|a3b|.(2)kab(k2，1)，a3b(7,3)，因为kab与a3b平行，所以3(k2)70，即k.此时kab(k2，1)，a3b(7,3)，则a3b3(kab)，即此时向量a3b与kab方向相反【拔高】1已知向量a(，1)，b(sin m，cos )，且ab，则实数m的最小值为()A2 B1C D3解析：选Aab，cos sin m0.msin cos 2sin2.2已知O为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，t1t2.(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t11时，不论t2为何实数，A，B，M三点都共线解：(1) t1t2t1(0,2)t2(4,4)(4t2,2t14t2)当点M在第二或第三象限时，有故所求的充要条件为t2<0且t12t20.(2)当t11时，由(1)知(4t2,