学案18理直线与圆锥曲线位置关系

1、学案18 直线与圆锥曲线的位置关系(理)一、要点整合1.圆锥曲线的两个定义：（1）统一定义：三种圆锥曲线均可看成点集（点的轨迹）：，其中F为定点，d为P到定直线的距离，F。当0e1时，点P轨迹是双曲线；当e=1时，点P轨迹是抛物线。（2）椭圆及双曲线第一定义：椭圆：P|PF1|+|PF2|=2a，2a|F1F2|0，F1、F2为定点，双曲线P|PF1|-|PF2|=2a，|F1F2|2a0，F1，F2为定点。注意：（1）第一定义中要重视常数与的大小限制；（2）双曲线定义中的“绝对值”； （3）统一定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率。2.圆

2、锥曲线的标准方程：（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的曲线方程）：（1）椭圆：焦点在轴上时（）；焦点在轴上时1（）。（2）双曲线：焦点在轴上： =1；焦点在轴上：1（）。（3）抛物线：开口向右时；开口向左时；开口向上时；开口向下时。注意：（1）焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）；（2）在椭圆中，最大，在双曲线中，最大，。（3）求标准方程的基本步骤：定位（判断它的中心（顶点）在原点、焦点在哪条坐标轴上）；定型（确定标准方程的类型）；定量（建立基本量的方程或方程组，解基本量）。3.焦半径：焦半径公式如下图： 4.焦点三角形问题：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。5.圆

3、锥曲线的几何性质：（圆锥曲线的对称性、范围、特殊点线、变化趋势）（1）椭圆（以（）为例）：范围：；焦点：两个焦点；对称性：对称轴，一个对称中心（0,0），四个顶点，其中长轴长为2，短轴长为2；准线：两条准线； 离心率：=， ，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁。（2）双曲线（以（）为例）：范围：或；焦点：两个焦点；对称性：对称轴，一个对称中心（0,0），两个顶点，其中实轴长为2，虚轴长为2，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为；准线：两条准线； 离心率：=， ，等轴双曲线，越小，开口越小，越大，开口越大；两条渐近线：。（3）抛物线（以为例）：范围：；焦点：一个焦点，其中的几

4、何意义是：焦点到准线的距离；对称性：一条对称轴，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；准线：一条准线； 离心率： 。注意：重视“特征直角三角形、焦半径的最值、焦点弦的最值及其顶点、焦点、准线等相互之间与坐标系无关的几何性质”6直线与圆锥曲线的位置关系：在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，有“函数方程思想”和“数形结合思想”两种思路，等价转化求解. 注意：直线与圆锥曲线相交的必要条件是他们构成的方程组有实数解，当出现一元二次方程时，务必“”，尤其是在应用韦达定理解决问题时，必须先有“”.直线与抛物线(相交不一定交于两点)、双曲线位置关系(相交的四种情况)的特殊性，应谨慎处理.7弦长公式：若直线与圆

5、锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，则，若分别为A、B的纵坐标，则，若弦AB所在直线方程设为，则。注意：焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和，或统一（第二）定义求解。8圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率；在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率；在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率。注意：如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”，那么可选择应用“斜率”为桥梁转化.9.常见的寻求曲线方程的方法(待定系数法、定义法、直译法、代点法、参数法、交轨法等),

6、以及如何利用曲线的方程讨论曲线的几何性质，这是解析几何的两类基本问题，也是解析几何的基本出发点.注意：如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化.在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.学案18 直线与圆锥曲线的位置关系二、 典例讲解.【例1】已知双曲线 与点（1）求过点的直线l的斜率k的取值范围，使l与C分别有一个交点、两个交点、没有交

7、点.（2）是否存在过P点的弦AB，使AB中点为P.（3）若Q（1,1），试判断以Q点为中点的弦是否存在.【例2】给定抛物线，F是C的焦点，过点F的直线与相交与两点，记O为坐标原点.（1）求的值；（2）设，当三角形OAB的面积时，求的取值范围.【例3】在平面直角坐标系中，过定点作直线与抛物线（）相交于两点（I）若点是点关于坐标原点的对称点，求面积的最小值；（II）是否存在垂直于轴的直线，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由ABxyNCO【例4】已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，同时满足以下条件：离心率经过点P（1,0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，

8、且线段AB的中点在直线上；椭圆C上存在一点，与其右焦点关于直线l对称。求直线l及椭圆C的方程.三、 高考题型总结.（分析2008年高考命题趋势，对命题难度，内容，热点等作总结）（一）方法总结1求曲线方程常利用待定系数法，求出相应的a，b，p等.要充分认识椭圆中参数a,b,c,e的意义及相互关系，在求标准方程时，已知条件常与这些参数有关. 2涉及椭圆、双曲线上的点到两个焦点的距离问题，常常要注意运用第一定义，而涉及曲线上的点到某一焦点的距离，常常用圆锥曲线的统一定义.对于后者，需要注意的是右焦点与右准线对应，不能弄错.3直线与圆锥曲线的位置关系问题，利用数形结合法或将它们的方程组成的方程组转化为

9、一元二次方程，利用判别式、韦达定理来求解或证明.4对于轨迹问题，要根据已知条件求出轨迹方程，再由方程说明轨迹的位置、形状、大小等特征.求轨迹的常用方法有直接法、定义法、参数法、代入法、交轨法等.5与圆锥曲线有关的对称问题，利用中心对称以及轴对称的概念和性质来求解或证明.（二）2008年高考预测1求曲线（轨迹）方程的常用方法（直译法、定义法、待定系数法、动点转移法、参数法等）。2掌握综合运用直线的基础知识和圆的性质，解答直线与圆的位置关系的思想方法。3解析几何是衔接初等数学和高等数学的纽带。直线与圆锥曲线是解析几何的重要内容，因而成为高考考查的重点。综观近几年的全国和部分省高考数学试题，本专题列出高考考查的热点内容有：（1）直线方程；（2）圆锥曲线的标准方程；（3）圆锥曲线的几何性质；（4）直线与圆锥曲线的位置关系；（5）求曲线（轨迹）方程。特别是求曲线（轨迹）方程和直线与圆锥曲线的位置关系问题是高考解析几何问题的热中之热。（三）复习建议1加强直线和圆锥曲线的基础知识，初步掌握了解决直线与圆锥曲线有关问题的基本技能和基本方法。2由于直线与圆锥曲线是高