向量与三角形四心的关系

1、三角形中的“四心”的向量表示向量既反映数量关系，又体现位置关系，从而能数形结合地用代数方法来研究几何问题，即把几何代数化，从而用代数运算解几何问题。作为处理几何问题的一种工具，向量方法兼有几何的直观性，表述的简洁性和方法的一般性。使用向量的第一步，是要在图中指定基向量（基底），这组基底一般是线性无关的。一旦确定了基向量，在整个问题的解决过程中，以此为依据而进行计算。在确定点的位置时，经常用向量的线性关系（这是向量的重要性质，贯穿在整个向量法中）来解决;在处理垂直关系，长度关系及交角等问题时，一般用向量的数量积来解决。一、线共点问题。解决线共点问题转化为向量共线问题来解决。=例1、用向量法求证：

2、ABC的三条高共点.分析：得BC与AC边上的高AD与BE交于H，连接CH，只要证明CHAB即可。因此，关键是选好基向量.设，则由，得，同理，得证。类似方法，还可以证明：（1）三角形的三条内角平分线交于一点。(2)三角形的三条中线交与一点。二、三角形的四心重心、垂心、外心、内心的向量表示例2、已知O是ABC所在平面内一点，若，则点O是ABC的重心。分析：利用及加法的平行四边形法则可证。拓展：若，(0，+)，则点P的的轨迹一定是ABC的_心。(重心)例3、已知O是ABC所在平面内一点，若·=·=·，则点O是ABC的垂心。分析：·=·得·=

3、0，OBAC同理，可证。拓展1：已知O是ABC平面上一定点，若=+，（0，+），则动点P的轨迹一定通过ABC的_心。分析：=，由于·=0，动点P一定过ABC的垂心。拓展2：点O是ABC所在平面内一点，满足，则点O是ABC的_心。分析：得·2=0，即·=0，同理可证：，故O为垂心。【例4】已知O是ABC所在平面上一点，若a、b、c是角A、B、C的所对边的边长，且，则O是ABC的_心。分析：联系重心向量式的证明方式，取、为基向量，则=，=，故=+，=+，将其代入中得到（a+b+c）+b+c=，即=又，故由和分别是与，同向的单位向量和，则（+），故AO平分BAC，同量，

4、BO平分ABC，CO平分ACB，故O是ABC的内心。点评：从向量角度给出ABC中，BAC的角平分线的表达式，即：OA平分BAC=拓展：点O是ABC平面上一定点，动点P满足=+，0，+，则P的轨迹一定通过ABC的_心。分析：由=知，其中AO平分BAC，故P点的轨迹一定通过ABC的内心。【例5】已知点O是ABC所在平面上一点，若，则点O是ABC的_心。分析：由已知知是外心.三、三角形“四心”的统一表达式定理：如图，点M是ABC所在平面内任一点，总有.特别地，当点M是重心G时，有当点M是垂心H时,有当点M是外心O时，有当点M是内心I时,有. 下面证明这个定理：设则有平面向量的平行四边形法则知，作,同

5、理，.同理，.易证：当点M是重心G时，.当点M是垂心H时, 当点M是外心O时，当点M是内心I时，故定理得证.四、三角形“四心”的综合问题例6、已知点O是ABC所在平面内一定点，且+=，当点P在何位置时，的值最小。分析：=·=,故当点P是ABC的重心O时，所求值最小。例7.已知O为ABC的外心，H为垂心，求证：分析：如图，作直径BD，连DA、DC，有拓展：1.求证：ABC的外心O，垂心H,重心G三点共线，且OG:GH=1:2.分析：有上题知拓展2. .已知ABC不是直角三角形，点O为ABC的外心，H为ABC的垂心. ABC满足什么条件，有AH=OA.分析：由于AH=OA,则AH=OA=R，当A是锐角时，<>=2A,当A为钝角时，上面每一步可以逆推，以上从三角形“四心”方面体现了向量与几何的密切联系，即向量概念引入后，全等、平行（平移）、相似和垂直等几何关系就可转化为向量的加（减）法，数乘向量，数量积的运算，从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系。向量是沟通代数、几