圆锥曲线面面观

1、圆锥曲线面面观圆锥曲线是解析几何的重点，也是高中数学高考的重点内容.它体现了解析几何数与形的相互转化，展示了解析几何在计算方法上的特点和技巧，表现出辩证思维的丰富内涵.高考中，有关圆锥曲线的试题约占全卷总分的15%.一般有两道题，其中一道为选择题或填空题，一道为解答题，这部分试题重在考查圆锥曲线中的基本知识和基本方法，有时也有一定的综合性和灵活性，以圆锥曲线中有关的知识和方法为主，结合解析几何中其它部分的知识，如平面向量、函数、不等式、数列和三角函数等有关的知识和方法的综合问题逐渐成为高考命题人“心仪”的对象.（一）定义、标准方程 圆锥曲线的定义与标准方程反映了它们的基本特征，理解定义、认识方

2、程是掌握其性质的基础；借助第一定义可以确定圆锥曲线的类型，利用第二定义可以处理一类焦半径问题；例1：（1）（2010江西）点在双曲线的右支上，若点A到右焦点的距离等于，则 （2）（2010天津）已知双曲线的一条渐近线方程是,它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（ ）（A）（B） （C） （D）分析：问题1利用双曲线第二定义刻画“焦半径”，再简单计算问题便可求解；问题2求双曲线方程只需分别求出，根据已知条件列出间的等式关系，再加上双曲线中问题可求解解答：（1）由已知条件可得：离心力，设右支上的点到右焦点的距离，到右准线距离为，则根据双曲线的第二定义，有，即（2）依题意知，所以双曲线的方

3、程为点评：高考对圆锥曲线定义和标准方程的考查主要有：（1）利用第一定义确定曲线类型，利用第二定义刻画焦半径（椭圆上一点到焦点的距离）；（2）求圆锥曲线的标准方程；属简单题，重在考查对基础知识的理解.（二）几何性质圆锥曲线的几何性质主要从：范围、顶点、焦点、准线、渐近线、离心率等来考查，解决问题的关键是：弄清圆锥曲线中各几何元素的意义、位置关系、数量关系，特别是其中五个主要参数（为焦点到相应准线的距离即焦准距）例2（1）（2010北京）已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 （2）（2010辽宁）设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为,如果直线与该双

4、曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ）（A） （B） （C） （D）分析：求圆锥曲线的焦点、渐近线、离心率等主要是寻找几何量之间的等式关系解答：（1）在椭圆中，所以，椭圆的焦点为，即双曲线的焦点坐标为；在双曲线中，所以，从而双曲线的渐近线方程为，即（2）不妨设双曲线的焦点在轴上，设其方程为：，则一个焦点为，一条渐近线斜率为，直线的斜率为；，解得；所以选D点评：圆锥曲线的几何性质问题主要是抓住定义、几何量关系来解.求离心率的值或范围的题型，则主要寻找之间的等式、不等式关系.（三）直线与圆锥曲线 直线与圆锥曲线的位置关系有三种：相离、相交和相切；从代数角度看直线的方程与圆锥曲线的方程构

5、成的方程组；解决过程中，常用的数学思想方法有方程的思想；数形结合思想；设而不求与整体代入的技巧与方法例3（2010上海）已知椭圆的方程为，、和为的三个顶点；设直线交椭圆于、两点，交直线于点.若，证明：为的中点；分析：对于“直线交于”、“直线交于点”等相交条件，自然想到联立方程组；消元后借助韦达定理来描述两点的坐标关系，而并非分别求出两交点坐标；证明：由方程组，消去得因为直线交椭圆于、两点，所以，即，设，的中点坐标为则，由方程组，消得方程，又因为，所以，故为的中点.点评：直线与圆锥曲线的位置关系主要由联立方程组后方程的根进行判断，二次方程判别式及根与系数的关系是解决此类问题最好的方法.此类问题的

6、解决过程体现了函数与方程思想的灵活应用.（四）圆锥曲线与向量由于平面向量具有代数（坐标）表示和几何表示的特点，这就使其成为表述圆锥曲线问题的重要载体.问题往往以圆锥曲线为主线，融向量、函数、方程、不等式、数列等知识于一体，具有知识点多、覆盖面广、综合性强的特点，重在考查考生的思维水平和综合能力例4（2010全国卷2）已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线于相交于两点，若，则 （A）1 （B） （C） （D）2分析：将向量关系转化为点横坐标或纵坐标之间的关系，转化为代数问题求解解答：设（1），设，（2）设直线方程为，代入（2）式消去得 结合（1）式，有，解得，因为，从而，选D点评：圆锥曲线与

7、向量的综合，主要的解题方法是将向量转化为对应点的横坐标、纵坐标之间的关系，借助于代数运算方法来处理；解题过程体现了数与形的结合、数与形的转化思想.（五）范围与最值 圆锥曲线的最值问题主要有两种求法：（1）利用定义，应用数形结合思想；（2）转化为函数的最值问题；关键是寻找不等式关系，一般可依据（1）圆锥曲线上的点的坐标；（2）判别式；（3）已知条件中的不等关系来解例5（2010福建）若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，为椭圆上的任意一点，则的最大值为（ ）（A）2 （B）3 （C）6 （D）8分析：对于的最值问题，需先借助于某个变量将表示为函数表达式，再求函数的最值解析：由题意，设点，则有,解得，

8、因为，所以=，此二次函数对应的抛物线的对称轴为，因为，所以当时，取得最大值，选C点评：借助点坐标可直接表示出两向量的数量积，接下来的整体代入、二次函数在定义域下的最值是解决此题的关键.（六）探索性问题探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题，要求解答者自己去探索，结合已有条件，进行观察、分析、比较和概括一类“是否存在型”圆锥曲线的探索性问题逐渐成为近几年高考的热点问题之一例6（2010山东）如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于项点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为A、B和C、D.（1）求椭圆和双曲线的标准方程；（2）设直线、的斜率分别为、，证明：；（3）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.分析：前两个小问题可利用圆锥曲线的几何性质、直线与圆锥曲线的关系来求解；问题（3）是一类“是否存在”型的探索性问题，可先假设存在这样的实数，再利用条件，如果求出实数则说明存在，若产生矛盾或无法求出，即不存在解答：（1）（略解）椭圆的标准方程为，双曲线的标准方程为（2）设，则因为点P在双曲线上，所以因此，即（3）由于的方程为，代入椭圆方程得由韦达定理有，所以同理可得则又所以故因此存在，使恒成立.