向量代数与空间解析几何(1)

1、第四章 向量代数与空间解析几何(数学二、三不要求)§1 向量代数【考试要求】1.理解向量的概念及其表示.2.掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积、混合积)，了解两个向量垂直、平行的条件.3.理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行向量运算的方法.一、基本概念向量、向量的模和方向余弦，与给定向量同方向的单位向量等的坐标表示如下:名 称坐标表示基本单位向量，向量的分解式向量的坐标表示式向量的坐标表示式其中点，向量的模的坐标表示式向量的方向余弦的坐标表示式，且与向量同方向的单位向量的坐标表示式二、重要结论1.向量的线性运算及其坐标表示设向量，为常数，则向量

2、的线性运算及其坐标表示如下:名 称运算规律 坐标表示加法交换律结合律减法数乘2.向量的数量积及其坐标表示两个向量与的数量积是一个数，其物理意义表示物体在力的作用下沿直线方向移动所作的功;其几何意义是向量在向量方向上的投影与的乘积.数量积的定义和有关运算规律如下:定 义运算规律坐标表示与的夹角余弦.与垂直的充要条件是 .在上的投影.3.向量的向量积及其坐标表示设，则向量的向量积的定义及其坐标表示如下:定 义运算规律坐标表示，.为同时垂直于，的单位向量，且，符合右手规则，与平行的充要条件是 ，即.4.向量的混合积及其坐标表示设，则向量混合积的定义、运算规律及其坐标表示如下:定 义运算规律坐标表示混

3、合积的几何意义:等于以，为棱的平行六面体的体积.三个向量，共面的充要条件是.注向量的基本知识是进行向量运算的基础，应熟记.三、典型例题例1 已知，试求.例2 设是非零向量，求.例3 设，求同时与，垂直且在上的投影为14的向量.例4 设与垂直，与垂直，求.例5 已知，为由，构成的角平分线向量，且与，共始点，求的坐标.提示: 分别以与，同方向的单位向量，为邻边作平行四边形, 则, 由已知条件可得.例6 已知，非零且不共线，作，求使最小的数.提示: 令由得又 所以当时最小.例7 设非零向量，不共线，试证明的充要条件是.四、练习题1.设，两两成角，且，求.2.设，求以，为邻边的平行四边形的面积.3.设

4、和为非零向量，且，求.4.已知，求.5.求由，和作成的平行六面体的体积，其中，为两两垂直的单位向量.参考答案:1. .2. .3. .4. .5. .§2 空间解析几何【考试要求】1.理解空间直角坐标系.2.掌握平面方程与直线方程及其求法.3.会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系(平行、垂直、相交等)解决有关问题.4.会求点到直线以及点到平面的距离.5.了解曲面方程和空间曲线方程的概念.6.了解常用二次曲面的方程及其图形，会求简单的柱面和旋转曲面的方程.7.了解空间曲线的参数方程和一般方程，了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求该投影曲线的方

5、程.一、基本概念1. 两点之间的距离点与之间的距离为 .2. 定比分点坐标公式点与连线的分点的坐标为，.点称为由定比决定的分点，其坐标由上式表示，称为定比分点坐标公式.二、平面、直线与曲面1.平面(1)平面的方程平面方程的名称平 面 的 方 程点法式方程，其中为平面上一定点，为平面的法向量一般式方程截距式方程，其中，依次为平面在，轴上的截距三点式方程,其中为平面上三个已知点(2)平面之间的关系两平面:和:的夹角的余弦;的充要条件是 ;的充要条件是 ;点到平面的距离为.2.空间直线(1)空间直线的方程空间直线的名称直 线 的 方 程点向式方程，其中为直线上一定点，为直线的方向向量参数式方程，一般

6、式方程(2)直线之间的关系两直线:和:的夹角的余弦为;的充要条件是 ;的充要条件是 ;与共面的充要条件是,其中是上的点,是上的点.3.平面与空间直线的夹角及平行垂直的条件设平面和直线的方程分别为:，:，则与的夹角的正弦为;的充要条件是 ;的充要条件是 .4. 点到直线的距离设是直线外一点, 是直线的方向向量, 是上任意一点, 则到直线的距离为.5.常见的空间曲面和空间曲线(1)空间曲面及其方程曲面的名称曲面的方程 球面，其中为球心，为半径椭球面，当或或时为旋转椭球面双曲面单叶双曲面或或双叶双曲面或或 锥面抛物面 椭圆抛物面, 其中与同号 双曲抛物面, 其中与同号柱面(母线平行于轴)(母线平行于

7、轴)(母线平行于轴)旋转面(是坐标面上的曲线)，轴为旋转轴，轴为旋转轴(2)空间曲线的方程曲线方程的名称曲线方程一般式方程参数式方程，(3) 空间曲线在坐标平面上的投影设空间曲线的方程为它在坐标面，坐标面，坐标面上的投影曲线方程依次为注 有时投影曲线仅是上述方程所表示的曲线的一部分.三、典型例题题型1 求平面的方程例1 求平行于平面, 且与三个坐标面所构成的四面体的体积为一个单位的平面方程.例2 求过直线:且与:平行的平面方程.提示: 平面的法向量为所求平面方程为例3 求过点且与直线平行，又与平面垂直的平面方程.提示: 平面的法向量为所求平面方程为例4求过直线:且与平面成角的平面方程.题型2

8、求直线的方程例1将直线的方程化为标准方程(对称式方程)和参数式方程.例2求过点且与直线:垂直相交的直线方程.例3 求过点且与直线:及直线:都相交的直线方程.提示: 过点与直线的平面方程为,过点与直线的平面方程为,故所求直线方程为题型3 关于点、直线、平面位置关系的讨论例1 求点与平面的距离.提示: 代入距离公式得例2 求点到直线的距离.提示: 代入距离公式得或先求垂足 则 例3求直线:与平面的夹角.例4讨论平面与直线的位置关系.例5 求两条直线:和:之间的距离.提示: 过且与平行的平面的法向量为其方程为上的点到平面的距离即为所求.例6 求:与:的公垂线的方程.提示:公垂线的方向向量为过与的平面

9、方程为 过与的平面方程为 故公垂线的方程为题型4 求对称点、投影点和投影直线例1 设点，求点关于直线:的对称点，并求点在平面上的投影点.例2 求直线:在平面:上的投影直线方程.题型5 求旋转曲面的方程例1求下列各平面曲线绕着指定坐标轴旋转而成的旋转曲面的方程:(1)，分别绕着轴和轴旋转.(2)，分别绕着轴和轴旋转.(3)绕着轴旋转.例2求直线:绕着轴旋转一周所得的旋转曲面的方程.例3 求直线:在平面:上的投影直线绕着轴旋转一周所成的曲面方程.提示: 由题型4的例2可知的方程为即设是旋转面上任意一点, 它对应于上的点, 则而与到轴的距离相等, 所以即旋转曲面的方程为 题型6 求空间曲线在坐标面上的投影曲线方程例1求下列各曲线在指定的坐标面上的投影曲线方程:(1)在坐标面上.(2)，在坐标面和坐标面上.题型7 求空间立体在坐标面上的投影区域例1求下列由各曲面所围成的立体在指定坐标面上的投影区域:(1)与，在坐标面上.(2)与含在内的部分分别在坐标面和坐标面上.四、练习题1.求两个平面:与:所构成的二面角的平分面方程.2.求经过点且与两直线:及:相交的直线的方程.3.求过直线:且与点的距离为3的平面方程.4.求点关于平