数项级数的求和方法.doc

1、毕 业 设 计 论 文题目： 数项级数的求和方法系 别： 数理系专 业： 金融数学姓 名： 刘战杰学 号： 171406124指导教师： 李 华河南城建学院2010年 5月 20日目 录摘要2英语摘要3第一章 绪论41.1综述41.2研究现状51.3研究意义51.4本论文所作的工作51.5研究目标51.6本论文解决的关键问题51.7本论文的创新之处51.8本论文的研究方法51.9本论文的内容安排5第二章 数项级数求和的常用方法 62.1 引言 62.2预备知识 62.2.1 数项级数的定义 62.2.2 数项级数收敛的定义 62.2.3 常见的几种重要的级数 72.3数项级数收敛的几个重要判别

2、法72.3.1 比式判别法 72.3.2 根式判别法 72.3.3 积分判别法 82.3.4 比较判别法 82.3.5 莱布尼茨判别法 92.4几种无穷级数求和的常用方法介绍92.4.1利用级数部分和的定义求级数的和92.4.2利用拆项法求级数的和102.4.3逐项求导法求正项级数的和112.4.4用傅里叶级数求级数的和 122.4.5逐项积分求级数的和 132.4.6利用泰勒级数求级数的和 142.4.7欧拉常数法求级数的和 142.4.8用matlab求数项级数的和15第三章 p-级数的拉格朗日插值法求和163.1拉格朗日插值 163.2拉格朗日插值法的MATLAB源代码183.3在MAT

3、LAB中输入的命令及结果193.4误差分析 20结 束 语20致 谢 21参考文献22摘要 关于数项级数求和的问题,很多学者对一些特定题目给出了一些有针对性的解决方法.数项级数是数学分析课程中的重要内容之一,如果给定一个数项级数,我们所关心的两个基本问题是:此级数是否收敛?如果收敛,怎么求出此级数的和?本文主要针对p级数的求和进行了较为系统的研究,众所周知,当p为偶数时,p级数的和是精确值;当p为大于1的非偶数时,p级数的和是无穷小数.鉴于以上p级数的性质,本文将运用数学计算方法中的拉格朗日插值法,并借助于MATLAB,在一定的区间上求出p级数和的拉格朗日插值公式,从而求出p为非偶数时,p级数

4、的近似值并做出相应的相对误差分析.与此同时本文将介绍多种数项级数的求和方法,应用了较多的高等数学知识,在一定程度上开阔了级数求和的解题思路.关键词 p级数;求和;余项;误差估计;级数.Abstract many scholars on specific topics have given some specific solutions about Sum of a number of problems. Mathematical analysis of several series is an important part of the course,if given a certain se

5、ries, we are concerned with two fundamental questions which are whether the convergence of this series? If convergence , what is the summation of this series ? In this paper, the sum of the p series for a more systematic study, it is well known that when p is even, the sum of p series is an exact va

6、lue; when p is greater than 1 and non-even, the sum of p series is infinite decimal. In view of the nature of the p series, this article will use the Lagrange interpolation method in the mathematical calculation, and the help of MATLAB, it will obtained the Lagrange interpolation formula about the s

7、um of p series in a certain interval , Thus it obtained p series approximation and make the corresponding relative error analysis when p is non-even.what is more, Here are a number of various number of series summation method and using more advanced mathematical knowledge, to a certain extent, broad

8、en the solving problem ideas for our reference in the study. Key words p-series; summation; remainder; error estimates; series.第一章 绪论1.1综述近代微积分的发展,主要是在17世纪上半叶.这个时期标志着文艺复兴以来在资本主义生产力刺激下蓬勃发展的自然科学开始迈入综合与突破阶段,这种综合与突破所面临的数学困难,使微积分的基本问题空前的成为人们关注的焦点.在这个时期,几乎所有的数学大师都致力于相关问题的研究,特别是描述运动与变化的无限小算法,并在相当短时期内,取得了迅速

9、的发展.开普勒、卡瓦列里、笛卡尔、费马、巴罗、沃利斯等人作出了具有代表性的工作.牛顿和莱布尼兹以足够的敏锐和能力认识到微分和积分的互逆关系,在微积分的真正创立上作出了伟大贡献.在18世纪,微积分进一步深入发展并和广泛的应用紧密交织在一起.其中它的发展与无穷级数的研究密不可分.牛顿在他的流数理论中自由运用无穷级数,他凭借二项式定理得到了许多函数的级数.泰勒级数则提供了将函数展成无穷级数的一般方法.在18世纪,各种初等函数的级数展开陆续得到,并在解析运算中初等函数成为微积分的有力工具.其中,雅各布,伯努利撰写了一系列无穷级数的论文,使他们成为当时这一领域的权威.这一时期,一方面,微积分不断取得各种

10、显著的成就,得到各种更强有力的应用;另一方面,在某些领域,数学家们由于滥用微积分而得到很多荒谬的结论.这种荒谬性突出的表现在无穷级数的使用上.以二项式的负指数幂的无穷展开为例.牛顿在研究积分问题时得到了一般的二项式展开定理.根据这一定理,我们有.用代替上式中的 即得.在上式中,令,得.为简便起见,我们把这式子称为F.如果我们对F右边使用结合律,显然会有.对比这两个式子我们将得到,这显然是荒谬的,但是问题并没有到此结束.我们对F右边换一种结合方式, 比如,我们又得到.如此可以一直进行下去.事实上如果我们对F右边是用所有类型的交换律和结合律,我们将得到所有的整数;也就是说和所有的整数都相同!上面的

11、结果已经够让人惊讶了,但是还有更加令人不可思议的现象存在,如果我们在的表达式中令,将有.这就是说,无穷多个正数的和竟然是一个负数.这些悖论刺激了人们对无穷级数收敛的思考.18世纪先后出现了一些级数收敛判别法则.莱布尼兹判定法;达朗贝尔级数绝对收敛判别法等等.这些说明18世纪的数学家已开始注意到无穷级数的收敛问题,尽管对这一问题真正严格的处理要等到19世纪.柯西对无穷级数进行了严格化的处理,明确定义了级数的收敛性,并研究了级数收敛的判别条件.1.2研究现状关于数项级数的求和,已有许多专家和学者对此产生了浓厚的兴趣,他们对某些具体的题目做出了具体的解法,像定义法,解微分方程法,特殊函数的展开式,逐

12、项微分积分法等等.虽然方法很多,但是都是对一些特殊的数项级数求和,而对一般普通的数项级数的求和方法问题很少学者提及,因此在这方面我们有研究的必要,并且有很大的研究空间.数项级数不仅在自然科学和工程技术中能解决许多问题,同时也是研究分析数学的重要工具.其原因是很多函数能用数项级数表示,同时又能借助于数项级数来研究函数逼近和近似计算的问题.因此数项级数理论在分析数学或者实际应用中是研究函数的一种必要的数学工具,因而数项级数的求和问题非常重要,我们必须掌握它,因此数项级数的求和问题就成为实际应用中亟待解决的课题了.1.4本论文所作的工作数项级数的求和方法和收敛问题一直以来都属于数学领域里重要的研究内

13、容.本文将简略介绍一些基本的数项级数求和的方法,然后把MATLAB编程及其拉格朗日插值法的思路应用于p级数求和中去,着重推导p级数（p为大于1的非偶数）的求和的一般方法,进而推出此类级数和的近似值.1.5研究目标探索数项级数求和的新方法,借助数学计算工具（MATLAB）,将计算方法的知识应用到p级数（p为大于1的非偶数）的求和上,导出p级数比较普遍的计算公式1.6本论文解决的关键问题本论文主要解决了在工程技术中应用到p级数和时的近似计算问题,在一定程度上简化了计算强度,提高了工作效率.1.7本论文的创新之处本文的创新之处在于将拉格朗日插值法应用到p级数（p为大于1的非偶数）求和,给出近似值的一

14、般公式并给出相对误差.1.8本论文的研究方法将计算方法中拉格朗日插值法应用到p级数（p为大于1的非偶数）求和上,导出计算近似值的一般函数.1.9本论文的内容安排根据本论文的主要内容,将论文分为三章:第一章 绪论第二章 简要给出数项级数求和的预备知识和求和的一些常用方法第三章 详细介绍拉格朗日插值法在级数中的应用,并对所研究的问题做了一个简略的,不尽成熟的说明.第二章 数项级数求和的常用方法2.1引言数项级数求和作为一个微积分中的基本和重要的问题,从开始研究到现在已经积累了很多丰富有效的方法以及许多重要的应用.一方面很多函数可以用数项级数来表示;另一方面,又能借助于数项级数来研究函数逼近和近似计

15、算等问题.在自然科学和工程技术中有许多问题也可以由数项级数来解决.数值分析教材中详述讲解了拉格朗日插值法,而对于p级数的求和,从华东师范大学出版的数学分析中可得到:对于p为偶数的p级数都有精确值,而对于p为奇数或p大于1的非整数p级数没有精确值,因此,可以将拉格朗日插值法用于p级数的求和,给出近似值的一般公式并给出相对误差.2.2预备知识（2.2.12.2.3）2.2.1数项级数的定义定义 若数列,即 (1)将（1）的项依次用加号连接起来,即 (2) 简写为称为数项级数,简称级数.称为级数（2）的项,称为（2）的第项与通项.考察前项部分和或于是,级数（2）对应数列:2.2.2数项级数收敛的定义

16、 定义 如果级数（2）的部分和数列收敛,即称级数（2）收敛,并称是级数（2）的和.记为如果部分和数列发散,称级数（2）发散,此时级数（2）没有和.2.2.3常见的几种重要的级数1.等比级数（几何级数）,则级数收敛,其和为;,则级数发散;,则级数发散;,则级数发散.2.调和级数调和级数是发散的3. 级数收敛,发散.2.3数项级数收敛的几个重要判别法2.3.1比式判别法设是正项级数,若,则级数收敛;或,则级数发散. 2.3.2根式判别法设为正项级数,且.当时,级数收敛;当时,级数发散.2.3.3积分判别法设为上非负减函数,那么正项级数与反常积分同时收敛或发散.2.3.4比较判别法设和是两个正项级数

17、,如果存在某正整数,对一切有若级数收敛,则级数也收敛;若级数发散,则级数也发散.推论1若任意的正整数,使当时有 ,则有由收敛, 则收敛;由发散, 则发散.推论2设和两个正项级数,若,则当时,级数,同时收敛或发散;当时且级数收敛,级数也收敛;当时且级数发散,级数也发散.2.3.5莱布尼茨判别法交错级数:若级数的各项符号正负相间,即 则称为交错级数.若交错级数满足下述两个条件:数列单调递减;,则级数收敛.2.4几种无穷级数求和的常用方法介绍2.4.1利用级数部分和的定义求级数的和定义:如果正项级数的部分和数列有极限,即则称正项级数收敛,这时极限记作级数的和,并写成:如果没有极限,则称正项级数发散.

18、例1:求正项级数的和解:由于 ,则所以 故该级数收敛其和为2.4.2利用拆项法求级数的和拆项法就是将常数项收敛级数的一般项拆成多个常见的级数一般项和的思想即其中,是常用级数.目前,我们常见的级数为: 例2:求级数的和解: 由于 所以 2.4.3逐项求导法求正项级数的和幂级数的和函数的性质:设幂级数的收敛半径为,则和函数在区间内是可导的,且有逐项求导公式 :其中,逐项求导后得到的幂函数和原级数有相同的收敛半径. 例3:求级数的和解: 显然幂级数的收敛区间为,设 由于 所以 由于幂级数在收敛区间上是连续的,所以上式对也成立,即 令 ,则2.4.4用傅里叶级数求级数的和傅里叶级数求和就是将函数展开成

19、正弦级数或余弦级数,然后再求和.例4:求级数的和解:设是周期为的周期函数,它在上的表达式为: (1)将展开成傅里叶级数.由傅里叶级数展开式知:,按公式有 将求的系数代入:得: （2） 其中 又由（1）式知:在处连续,且,将代入（2）式,则所以 即 2.4.5逐项积分求级数的和幂级数的和函数的性质:设幂级数的收敛半径为,则和函数在区间内是可积的,且有逐项积分公式:其中,逐项积分后得到的幂函数和原级数有相同的收敛半径.例3:求级数的和解:设在其收敛域内逐项积分得 其中于是 其中所以 2.4.6利用泰勒级数求级数的和例6:求级数的和.解:设,将展开为泰勒级数得:则 2.4.7欧拉常数法求级数的和极限

20、的值为欧拉常数,设为,则有其中,利用此式,可求某些数项级数的和.例7:求级数的和解: 由于即 2.4.8 用matlab求数项级数的和用matlab进行级数求和运算,必须在命令窗口输入计算命令,格式如下:>> syms n; s=symsum(,n,1,inf)例8: 求级数的和 例:（1） （2） （3）输入: 1. >> syms n; s=symsum(1/n*(n+1),n,1,inf)2. >> syms n; s=symsum(1/n2,n,1,inf)3. >> syms n; s=symsum(-1)(n+1)/n,n,1,inf

21、)输出:1. 12. Pi2/63. log(2)从上例可见:如果级数收敛,我们用MATLAB计算级数和结果都是有限实数,级数收敛于它. 第三章 p-级数的拉格朗日插值法求和3.1拉格朗日插值法3.1.1线性插值与抛物插值下面讨论的简单情形,假定给定区间及端点函数值,要求线性插值多项式,使它满足,.的几何意义就是通过两点与的直线,的表达式可由几何意义直接给出 （点斜式） （两点式）由两点式看出,是由两个线性函数,的线性组合得到,其系数分别为及,即显然,及是线性插值多项式,在节点及上满足条件: 我们称函数及为线性插值基函数.同理对于的情形,此时插值函数表式:基函数,及是二次函数,且在节点上满足条

22、件: 并且 3.1.2拉格朗日插值多项式定义 若次多项式在个节点上满足条件 就称这个次多项式为节点上的次插值基函数.由及的情况,可推出次插值基函数为:其中 记 则 所以 3.2拉格朗日插值法的MATLAB源代码function f =Language(x,y,x0)syms p;if(length(x) = length(y) n = length(x);else disp('x和y的维数不相等！'); return;endf= 0.0;for(i=1:n) l = y(i); for(j = 1:i-1) l = l*(p-x(j)/(x(i)-x(j); end; for(

23、j = i+1:n) l = l*(p-x(j)/(x(i)-x(j); end; f = f + l; simplify(f); if(i=n) if(nargin = 3) f = subs(f,'p',x0); else f = collect(f); f = vpa(f,6); end endend3.3在MATLAB中输入的命令及结果3.3.1输入命令及显示结果（输入的命令主要是要计算P=2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7, 8 ,9 ,10 ,2.5, 5.5, 7.5级数的精确和）>> syms n; s=symsum(1/n2,n,1,inf) s =

24、1/6*pi2 >> syms n; s=symsum(1/n3,n,1,inf) s =zeta(3) >> syms n; s=symsum(1/n4,n,1,inf) s =1/90*pi4 >> syms n; s=symsum(1/n5,n,1,inf) s =zeta(5)>> syms n; s=symsum(1/n6,n,1,inf) s =1/945*pi6>> syms n; s=symsum(1/n7,n,1,inf) s =zeta(7)>> syms n; s=symsum(1/n8,n,1,in

25、f) s =1/9450*pi8>> syms n; s=symsum(1/n9,n,1,inf)s =zeta(9)>> syms n; s=symsum(1/n10,n,1,inf) s =1/93555*pi10>> vpa(zeta(3.5)ans =1.1267338673170566032410988555057>> vpa(zeta(4.5) ans =1.0547075107614543032497067542863>> vpa(zeta(5) ans =1.036927755143369989099255690234

26、7>> vpa(zeta(5.5) ans =1.0252045799546856130746164126322>> vpa(zeta(6.5) ans =1.0120058998885248513488477328792>> vpa(zeta(7)ans =1.0083492773819229260112706469954>> vpa(zeta(7.5) ans =1.005826727536522913197813977603>> vpa(zeta(9) ans =1.0020083928260821171107863847283

27、3.3.2计算拉格朗日插值函数及目标函数值（该命令是用于计算拉格朗日插值函数及将p=3.5 ,4.5, 5, 5.5 ,6.5, 7, 7.5, 9 代入插值函数的近似值）>> x=2 4 6 8 10;>> y=1/6*pi2 1/90*pi4 1/945*pi6 1/9450*pi8 1/93555*pi10;>> f=Language(x,y) f =-1.48452*p+.321115*p2-.303516e-1*p3+.105309e-2*p4+3.55548>> f=Language(x,y,3.5)f =1.1500>>

28、 f=Language(x,y,4.5)f =1.0438>> f=Language(x,y,5)f =1.0250>> f=Language(x,y,5.5)f =1.0182>> f=Language(x,y,6.5)f =1.0177>> f=Language(x,y,7)f =1.0163>> f=Language(x,y,7.5)f =1.0117>> f=Language(x,y,9) f =0.9881 3.4误差分析由3.3.1与3.3.2知:当P=3.5时,相对误差0.0206当P=4.5时,相对误差0.

29、0103当P=5.0时,相对误差0.0115当P=5.5时,相对误差0.0068当P=6.5时,相对误差0.0056当P=7.0时,相对误差0.0078当P=7.5时,相对误差0.0058当P=9.0时,相对误差0.01393.5结束语由以上数据的相对误差可看出:误差范围大致在0.0%-2.0%之间,精度相当高,此时拉格朗日插值函数: f=-1.48452*p+.321115*p2-.303516e-1*p3+.105309e-2*p4+3.55548在区间上可以满足一般工程用途.致 谢短短的几个月时间,完成了本篇论文,对自己来说是一个不小的挑战.本次论文的顺利完成,从课题选择到具体的写作过程,无不凝聚着李老师的心血和汗水.李老师要指导很多同学的论文,加上本来就有的教学任务和科研项目,工作量之大可想而知,她还在百忙之中抽出大量的时间来指导我们.她的循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪