裂项相消_倒序求和_错位相减_迭加_迭代_迭乘综合讲解

1、数列复习与训练新方案尝试黄冈中学 吴校红 大家知道，在课本的数列一章中，首先介绍了数列的有关概念与表示方法，接着介绍了等差数列与等比数列的定义、通项公式、求和公式，最后介绍了数列在分期付款中的应用教材内容比较少，而且很简单但是，高考对于这一章的考查既全面，也有一定的深度，基本上已列为选拔优秀学生的重点的考点因此合理组织好这一章的高考复习成为考生数学能不能得高分的关键因素之一过去，我们往往是利用别人已编好的资料按部就班地组织复习，等这一章复习完了的时候，学生们反应数列的题目还是不会做，说心里总是没有底儿，可见收获是甚微的原因是这些资料上的知识并没有内化为学生的知识因此，对本章的复习方法我们进行了

2、一些新的尝试，学生反应还不错下面将我们对数列这一章的复习与训练方法做一介绍，以期待起到抛砖引玉的作用复习的指导思想是什么呢？可以多倡导学生自我完善知识结构，形成合理的知识体系；必须对教材的重点内容有所提升；在训练上必须做到有条不紊，对各类题型必须网络到边到角；加强对热点考点进行强化训练；突出数列这一章中的重要思想方法的讲解与训练的力度那么，如何合理对这一章的复习进行规划与实施呢？针对上面的指导思想，我们将这一章的复习划分为以下四个部分：第一部分 用类比法归纳数列的基础知识回顾等差数列、等比数列的定义，可以看出，将等差数列的定义中的“差”改为“比（商）”、“公差”改为“公比”即得等比数列的定义也

3、就是通过类比可以看出“等差数列”与“等比数列”的联系2004年北京高考试题就出了一道“等和数列”的题目，那么，什么是等和数列，就只需将“等差数列”中定义中的“差”字改为“和”字即可要有效地把握好这一章的知识可以放手让学生自己去梳理知识、去完善知识体系老师可以指出，将等差数列的有关知识通过类比就可以得出等比数列的相应知识，好比写对联，只要将“差”改为“商”，将“和”改为积，将“算术平均值”改为“几何平均值”，等等，即可给学生充足的时间，让他们去挖掘本章知识的内涵可以让总结得全面具体又突出了重点的学生在班上交流，给学生一个自学为主同时能展示与提升自己的机会与空间下面，列举一位总结得比较好的学生的归

4、纳成果：等差数列与等比数列的有关知识比较一览表等 差 数 列等 比 数 列定 义 一般地,如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列这个常数叫公差一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫等比数列这个常数叫公比 递推关系 （） （） （） （） （） （）通项公式 （） （） （）（）求和公式 （） ()()求积公式 () () (，)主要性质若p+q=s+r, p、q、s、rN*,则.对任意c>0,c1,为等比数列.若、分别为两等差数列，则为等差数列.数列为等差数列.若为正项等差自然数列，则为等差

5、数列.为等差数列.，n>2m，m、n.若则.若p+q=s+r, p、q、s、rN*,则.对任意c>0,c1, 若an恒大于0，则为等差数列.若、为两等比数列，则为等比数列.若an恒大于0，则数列为等比数列.若为正项等差自然数列，则为等比数列.为等比数列.，n>2m，m、n，.若则.此外，还要了解一些等差数列与等比数列中的重要结论，这些结论之间不具有对偶关系：重要结论等 差 数 列等 比 数 列若p、q，且,则.若且,则 p、q. =.若|q|<1,则.数列双基复习训练（A）（满分：100分 时间：60分种）一选择题（共12道小题，每小题5分，共60分）1数列的一个通项公

6、式是 （ ）A B C D 2已知数列满足且，则 （ ） A B C D 3等差数列的首项，如果成等比数列，那么公差d等于 （ ） A2 B-2 C2或0 D 4数列的前项和，则此数列一定是 （ ） A递增数列 B等差数列 C等比数列 D常数列 5凸五边形各内角度数成等差数列，则其中必有一个内角等于 （ ） A B C D 6在和两数之间插入个数，使它们与组成等差数列，则该数列公差为（ ） A B C D 7设等比数列的前项和, 则等于 （ ） A0 B1 C2 D3 8一个等比数列的前项和为48，前项和为60，那么前项和为 （ ） A84B75 C68 D639 设an是等差数列，Sn是前n

7、项的和，且S5 < S6, S6 = S7 > S8，则下列结论错误的是（）Ad<0 Ba7=0CS9>S5DS6、S7均为Sn的最大值10是一个等差数列且，若，则等于 （ ）16 18 20 2211等比数列前n项和为Sn,有人算得S1=8,S2=20,S3=36,S4=65,后来发现有一个数算错了，错误的是 （ ）    S1 S2 S3 S412若相异三数a(b-c),b(c-a),c(a-b)组成以q为公比的等比数列，则q满足的方程是 （ ）    A. q2-q+1=0 B、q4+q2-1=0

8、60;   C、q2+q+1=0 D、q4+q2+1=0选择题答题卡(请将以上选择题的答案填入下面的表格中)题号123456789101112答案二填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）13在等比数列中，则此数列前九项之积为 14若，且，则15在等比数列an中，a7·a11=6,a4+a14=5,则=_.16已知等差数列an中，a1、a3、a9成等比数列，则=_.三解答题（共两道小题，每小题12分，共24分）17已知一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，试求这个数列的公比和项数18已知函数y= (nN*).(1)当n=1,

9、2,3,时，已知函数的图象和直线y=1的交点的横坐标依次记为a1,a2,a3,.求证：a1+a2+a3+an<1.(2)对每一个nN*,设An、Bn为已知函数图象上与x轴距离为1的两点，求证：n取任意一个正整数时，以线段AnBn为直径的圆都与一条定直线相切，并求这条直线的方程和切点的坐标. 数列双基复习训练（B）（满分：100分 时间：60分种）一选择题（共12道小题，每小题5分，共60分）1命题甲是“a,b,c成等比数列”，命题乙是“b=±”那么 （ ）A甲是乙的充分非必要条件 B甲是乙的必要非充分条件C甲是乙的充要条件 D甲不是乙的充分条件也不是必要条件 2已知等差数列an

10、中，则的值是 （ ）A15 B30 C31 D 64等比数列an中a2a1=9, a5a4=576 , 则的值等于 （ ）A46 B64 C D在ABC中，tanA是以-4为第三项，4为第七项的等差数列的公差，tanB是以为第三项，9为第六项的等比数列的公比，则这个三角形是 （ ）A.钝角三角形B.锐角三角形 C.等腰三角形 D.非等腰的直角三角形5已知-9，a1, a2,-1四个实数成等差数列；-9，b1, b2, b3,-1五个实数成等比数列，则b2（a2a1）等于 （ ）A-8 B8 C- D6如果数列an的前n项和Sn=an3，那么这个数列的通项公式是 （ ）Aan=2（n2+n+1）

11、 Ban=3·2n Can=3n+1 Dan=2·3n7若两个等差数列anbn前n项和An和Bn满足（n*），则的值是A B C D （ ）8已知等差数列前n项和为Sn,若S12>0，S13<0,则此数列中绝对值最小的项是 （ ）A第5项 B第6项 C第7项 D 第8项9已知an是等比数列，a1=2,q=3,又第m项至第n项和为720，则m的值为 （ ）A1 B2 C3 D410在各项均为正数的等比数列an中若a4·a7=9,则log3a1+log3a2+log3a10等于 （ ）A8 B10 C12 D 1411若关于x的方程x2-x+a=0和x2-

12、x+b=0(ab)的四个根可组成首项为的等差数列，则a+b的值是 （）A.B.C.D. 12等比数列中，S10=10，S10=(1+)S5,则S40等于 （ ）A150 B-200 C150或-200 D 400或-50选择题答题卡(请将以上选择题的答案填入下面的表格中)题号123456789101112答案二填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）13等差数列an中a3=10, a3,a7,a9成等比数列，则公差d= _14在和4之间插入10个数，使它们成等比数列，则插入10个数的积为 _15集合M=mm=7k+3, kN*, 100<m<200的所有元素的和为 16若干个能唯

13、一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”设an是公比为q的等比数列，下列an的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第_组.(写出所有符合要求的组号)S1与S2; a2与S3; a1与an; q与an.这里n为大于1的整数,Sn为an的前n项和.三解答题（共两道小题，每小题12分，共24分）17有4个数，其中第1、第3、第4个数成等差数列，第1、第2、第4个数成等比数列，若首末两个数之和为20，中间两个数之积为80，求这四个数18陈老师购买安居工程集资房一套72m2,单价为1000元/m2，国家一次性补贴28800元，学校补贴14400元，余款由个人负担，房地产开发公司对教师实行分期付款，每

14、期为一年，等额付款，签订购房合同后一年付款一次，再过一年又付款一次等等，共付10次，10年后付清，如果按年利率7.5%（按复利计息），那么每年应付款多少元？（计算结果精确到百元，可参考数据：1.075 91.921,1.075102.065,1.075112.221) 数列双基复习训练（A）参考答案一、选择题题号123456789101112答案二、填空题13.29(=512) 14.39815.或16.1或三、解答题17解: 设该等比数列an的公比为q, 项数为2n,则 所以,q=2又 ,所以，又已知所以，,所求数列的项数为2n=818解：(1)易知 an=()n, a1+a2+an=(2)

15、令y=1,求得An,Bn两点坐标分别为(,1)和(2n,1)，以AnBn为直径的圆的Cn的方程为配方得 所在圆Cn与y轴相切于原点.数列双基复习训练（B）参考答案一、选择题题号123456789101112答案AABBADCCCBDA二、填空题13.0或14.3215.225016.三、解答题17解: 设这四个数分别为.依题意有:求得或.18解：设每年应付款x元.陈老师个人需付款72×1000-28800-14400=28800,由分期付款的知识,可得方程:即 所以 .答: 陈老师每年应付4200元.第三部分 用“模式化”方法抓好两个专题的复习无论是从本章的知识结构还是从高考的命题规

16、律来看，数列问题的研究通常离不开对数列的通项公式与前n项和的研究，所以我们把数列通项公式的求法与前n项和的研究列为本章的两个热点专题教师仍只是起导学的作用，放手让学生自己去查阅资料，整理出求通项公式的方法与求前n项和的方法“归纳-猜想-证明”是解决这两类问题的重要方法，除此之外，还要使学生明确针对不同的数列类型,如何选择最快捷的方法来求这个数列的通项或前n项的和？由此要求学生对这两类问题进行专题总结让学生领会到“模式分析”、“层次解决”是解决数列问题的基本策略提倡学生将“模型”与“方法”对应起来，以便在高考中能快速而又准确地解决好数列问题教师筛选出学生中较好的归纳总结：求数列an通项公式的方法

17、1=+型累加法：=（）+（）+（）+ =+例1.已知数列满足=1，=+（nN+），求.解 =+ =+1 =1 =1 （nN+）3=p+q 型（p、q为常数）方法：（1）+=， 再根据等比数列的相关知识求. （2）= 再用累加法求. （3）=+，先用累加法求再求.例3.已知的首项=a（a为常数），=2+1（nN+，n2），求.解 设=2（），则=1+1=2（+1）为公比为2的等比数列.+1=（a+1）·=（a+1）·12型累乘法：=··例2.已知数列满足（nN+），=1，求.解 =·· =（n1）·（n2）1·1=（

18、n1）！ =（n1）！ （nN+）4=p+型（p为常数） 方法：变形得=+，则可用累加法求出，由此求.例4.已知满足=2，=2+.求.解 =+1为等差数列.=n·5= pq 型（p、q为常数）特征根法：（1）时，=·+·（2）时，=（+·n）·例5.数列中，=2，=3，且2=+（nN+，n2），求.解 =2 =（+·n）·=+·n 7“已知，求”型方法：=（注意是否符合）例6.设为的前n项和，=（1），求（nN+）解 =（1） （nN+）当n=1时，=（1）=3当n2时，=（1）（1）=3 =（nN+）6= 型（A

19、、B、C、D为常数）特征根法：=（1）时，=C·（2）时， =例6. 已知=1，=（nN+），求.解 = =+C =1，=，代入，得C= 为首项为1，d=的等差数列.= =（nN+）8“已知，的关系，求”型方法：构造与转化的方法.例8. 已知的前n项和为，且+2（）=0（n2），=，求.解 依题意，得+2·=0=2=+2（n）=2n= ，=-=2××=（）=教师对以上总结在班上给予表扬并加以点评同时为了巩固求数列的通项与前n项和的方法，教师还应配备相应的训练题，通过这些训练题进一步加深与完善求数列的通项与前n项和方法：数列的通项公式的求法训练题（满分：1

20、00分 时间：60分钟）一、选择题(每小题5分,共12个小题,共60分)1、若一数列的前四项依次是2，0，2，0，则下列式子中，不能作为它的通项公式的是（ ） A、an= 1(1)n B、an=1(1)n1 C、 D、an=(1cosn)(n1)(n2)2、等差数列an中，d为公差，前n项 和为sn=-n2则 （ ）A、an=2n-1 d=-2 B、 an=2n-1 d=2 C、 an= -2n+1 d=-2 D、 an= -2n+1 d=2 3、若数列的前n项和为，那么这个数列的前3项为（ ）A、-1，1，3 B、2，1，0 C、2、1、3 D、2、1、64、数列中，则当时，（ ）A、 B、

21、 C、 D、5、数列-1，7，-13，19，的通项公式（ ）A、2n-1 B、-6n+5 C、(-1)n×6n-5 D、(-1)n(6n-5)6、数列满足=1, =，且 (n2)，则等于（ ） A、 B、()n-1 C、()n D、7、在等比数列an中前n项的和为sn，且sn=2n-1则a12+a22+···+an2等于 ( )A、 (2n-1)2 B、(2n-1)2 C、 4n-1 D、(4n-1)8、已知数列中，则的值是（ ）A、9900 B、9902 C、9904 D、11000 9、已知数列an中，则这个数列的第n项为（ ）A、2n-1 B、2n

22、+1 C、 D、10、已知数列an中，对任意的满足,且，则的值是（ ）A、8 B、12 C、16 D、3211、设函数f定义如下，数列xn满足x0=5,且对任意自然数均有xn+1=f(xn),则x2005的值为（ ）X12345f(x)41352A、1 B、2 C、4 D、512、把正整数按下图所示的规律排序: 12 56 910 3 4 78 11则从2004到2006的箭头方向依次为( ) 2005 2005A、2005 B、 2005 C、 D、 一、选择题答题卡（请将选择题的答案直接填入下面的表格中）题号123456789101112答案 二、填空题(每小题4分,共4个小题,共16分)

23、13、，则_.14、设数列是首项为1的正数数列，且，则它的通项公式是_.15、设数列满足，则数列的通项公式为_.16、，则_.三、解答题(共24分)17、(12分)写出下列数列的一个通项公式（1）， （2）（3）7，77，777，7777， （4），,18、(12分)已知数列中，前项和与的关系是 ，试求通项公式.数列的通项公式的求法训练题参考答案一、选择题题号123456789101112答案DCCADADBCCBC二、填空题13、 14、 15、 16、三、解答题17、（1） （2） （3） （4）18、解：首先由易求递推公式： 将上面n1个等式相乘得：求数列an的前n项和的方法（1）倒序相

24、加法（2）公式法 此种方法主要针对类似等差数列中,具有这样特点的数列此种方法是针对于有公式可套的数列，如等差、等比数列，关键是观察数列的特点，找出对应的公式例：等差数列求和 把项的次序反过来，则：+得：公式： 等差数列： 等比数列： ； 1+2+3+n = ； （3）错位相减法（4）分组化归法此种方法主要用于数列的求和，其中为等差数列，是公比为q的等比数列，只需用便可转化为等比数列的求和，但要注意讨论q=1和q1两种情况此方法主要用于无法整体求和的数列，可将其通项写成等比、等差等我们熟悉的数列分别进行求和，再综合求出所有项的和例：试化简下列和式： 解：若x=1，则Sn=1+2+3+n = 若x

25、1,则 两式相减得：+ 例：求数列1，+的和.解： （5）奇偶求和法（6）裂项相消法此种方法是针对于奇、偶数项，要考虑符号的数列，要求Sn，就必须分奇偶来讨论，最后进行综合此方法主要针对这样的求和，其中an是等差数列例：求和解：当n = 2k (kN+)时, 当， 综合得：例：an为首项为a1,公差为d的等差数列，求解： (7)分类讨论（8）归纳猜想证明此方法是针对数列的其中几项符号与另外的项不同，而求各项绝对值的和的问题，主要是要分段求.此种方法是针对无法求出通项或无法根据通项求出各项之和的数列，先用不完全归纳法猜出的表达式，然后用数学归纳法证明之.例：已知等比数列中，=64，q=，设=lo

26、g2，求数列|的前n项和.解：= log2=（1）当7时，0此时，=+（2）当7时，<0此时，=+42（8）+（7）= +42（8）例：求和=+解：，观察得：=（待定系数法）证明：（1）当=1时，=1= =1时成立. （2）假设当=k时，= 则=k+1时，=+ =+ = =k+1时，成立.由（1）、（2）知，对一切nN*，=.数列的求和训练题（满分：100分 时间：90分钟）一、选择题(每小题5分,共12个小题,共60分)1、数列a n的通项公式是a n = (nN*),若前n项的和为10,则项数为（ ） A11 B99 C120 D121 2、数列an中,a1= 60,且a n+1 =

27、an + 3,则这个数列的前30项的绝对值之和为 （ ） A495 B765 C3105 D120 3、化简S n = n+(n1)×2+(n2)×2 2+2×2 n2+2 n1的结果是（ ） A2 n+1+2n2 B2 n+1n+2 C2 nn2 D2 n+1n2 4、若数列an是公差为的等差数列,它的前100项和为145, 则a1 +a3+a5+ +a 99 的值是（ ） A60 B72.5 C85 D120 5、数列1,(1+2),(1+2+22),(1+2+2 2+2 n1),前n项的和是（ ） A2 n B2 n2 C2 n+1n2 Dn2n6、设数列x

28、 n满足logax n+1 =1+ log a x n ,且x 1+x 2 + +x 100 =100,则x 101+x 102 +x 200的值为（ ） A100a B101a 2 C101a 100 D100a 100 7、已知数列a n的前n项的和S n = n 24n+1,则|a 1|+|a 2|+|a 10|的值是（ ） A56 B61 C65 D678、已知f(x+y)=f(x)+f(y)且f(1) =2,则f(1)+f(2)+f(n)不能是（ ） Af(1)+2f(1)+nf(1) Bf Cn(n+1) Dn(n+1)×f(1) 9、将一条宽为的长纸条绕在一个直径为的厚

29、纸筒上,共绕了圈,成为一个直径为的圆筒,这条纸条的长度是 （ ）A. B. C. D. 10、一小球从的高处自由落下,每一次着地后又弹回原来高度的一半,当它第次落地时,小球共经过的路程是 （ ）A. B. C. D. 11、若等差数列中,则 （ ）A.4 B.4 C.2 D.212、已知数列的前项和=，那么的值是 （ ）（A）3 （B）1 （C）3 （D）1一、选择题答题卡（请将选择题的答案直接填入下面的表格中）题号123456789101112答案 二、填空题(每小题4分,共4个小题,共16分)13、a n是等差数列，且a n 0,则+ + = _.14、数列an的通项公式为an = 则数列

30、的前2m项的和S2m = _. 15、求和：=_.16、设数列是公差为，且首项为的等差数列，求和：=_.三、解答题(共24分)17、（12分）已知等比数列前项的和为2,其后2n项的和为12,求再后面3n项的和.18、（12分）正数排成n行n列其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有的公比相等，已知,求的值数列的求和训练题参考答案一、选择题题号123456789101112答案CBDACDDDACBD二、填空题13、 14、 15、 16、 三、解答题17、解： 数列an为等比数列，Sn，S2nSn,S3nS2n，也成等比数列，公比为qn，于是，问题转化为已知A1=2, A1qn

31、+A1q2n=12, 要求A1q3n+A1q4n+A1q5n的值由前面两式相加，解得：q2n+qn+1=7 qn=2或qn=-3 A1q3n+A1q4n+A1q5n=A1q3n(1+ qn+ q2n)=2 q3n(1+7)=14（qn）3=18、略解：依题意，每一列的数成等比数列，并且所有的公比相等，设这个公比为，又设第一行组成的等差数列的公差为，可得方程组： 两式相减得： 第四部分 深化数列中的数学思想方法一直以来，数列总是高考考查的必考与重点考查的内容之一.那么高考在这一部分有没有一定的命题规律呢?有!这体现在高考对数列的考查体现了以下的五个亮点,这五个亮点体现了对课本中的数列部分所渗透的

32、数学思想与方法的考查: 一、联想与类比数列部分的基础知识是等差数列与等比数列这两种特殊的数列将等差数列的定义与等比数列的定义进行类比分析，可得出其中的对偶关系：“相加”对“相乘”、“相减”对“相除”、“和”对“积”、“差”对“商”利用这些对偶关系，我们就像写对联一样，可以由等差数列中的有关结论轻松地得出等比数列中的相关结论例如:在等差数列中,距首末两端等距离的两项的和相等.对偶地有:在等比数列中,距首末两端等距离的两项的积相等.【例】（2000年上海高考题）在等差数列an中，若a10=0,则有等式a1+a2+a3+an= a1+a2+a3+a19-n(n<19,nN*)成立.类比以上性质

33、，相应地：在等比数列中，若b9=1,则有等式_成立.【解析】我们从更一般的角度来分析等差数列an.由题设,如果ak=0,那么有a1+a2+a3+an= a1+a2+a3+a2k-1-n(n<2k-1,nN*)成立.又如果k+n=p+q,其中k,n,p,q是自然数.对于等差数列an有ak+an=ap+aq;对于等比数列bn有bkbn=bpbq.这样我们可以得出结论:如果bk=1,则有等式b1b2b3bn= b1b2b3b2k-1-n(n<2k-1,nN*)成立.结合本题k=9.2k-1-n=2×9-1-n=17-n.于是应填：b1b2b3bn= b1b2b3b17-n(n&

34、lt;17,nN*).【点评】本题是一道小巧而富于思考的妙题.主要考查观察分析能力,抽象概括能力,考查运用联想与类比的思想方法由等差数列an而得到等比数列bn的新的一般性结论.有关这方面的详细总结请详见前面的等差数列与等比数列的有关知识比较一览表二、递归与递推如果知道数列的前一项或前几项,并且知道递推公式,就可以递推地把所有项都找出来,这就是递推法.因为后面的项总是归结(返回)到用前面的项表示,所以也叫递归法.【例2】已知S0=10+20+30+n0=n(n的一次式)S1=1+2+3+n=(n的二次式)求：S2=12+22+32+n2=?【解析】为了递归用S0，S1表示S2，须找到一个递推公式

35、.猜想S2是n的三次式，于是想到简单的恒等式（n+1）3=n3+3n2+3n+1移项得 （n+1）3-n3=3n2+3n+1 （递推公式）于是有 n3-（n-1）3=3（n-1）2+3（n-1）+1 33-23=3·22+3·2+1 23-13=3·12+3·1+1叠加，消去相同项，得（n+1）3-1=3S2+3S1+S0（递推公式） S2=（n+1）3-1-3S1-S0 =（n+1）3-1-3·-n =(2n3+3n2+n) =n(n+1)(2n+1). (n的二次三项式)【点评】由此可见，递推法不仅能用于证明递归数列命题的结论，而且能用于寻

36、求结论.【例3】（2005年，北京模拟）猴子第一天摘下若干个桃子，当即吃了一半，还不过瘾，又多吃了一个第二天早上又将剩下的桃子吃掉一半，又多吃了一个以后第天早上都吃前一天剩下的一半后还要吃一个到第十天早上想吃时，见只剩下一个桃子了求第一天共摘了多少个桃子？【解析】设从第一天开始顺次每天还没有吃时的桃子数组成的数列为an，由题意可得设，由前面介绍的求通项的方法可以求得解得即第一天猴子共摘了1534个摘子【点评】由上面的递推关系可得，已知可求，已知可求，由此可求出，这就是递归法研究数列的通项的思想其实就是递归的思想三、猜想与论证 如果一个命题的特殊情况甚多，不便于用穷举归纳法，这时往往先研究少数（

37、或个别）情况以求得结论，这就是不完全归纳法.这种方法虽然结论不一定正确,但对发现规律,得到正确结论有重要帮助作用.对猜想的结论只要加以严密的论证,就保证了猜想结论的正确性.【例4】已知各项都是正数的无穷数列an满足以下条件:a1=1,an+1>an(nN*);an+12+an2-2an+1an-2an+1-2an+1=0(nN*)求数列an的通项公式【分析】在递推公式中,依次令n=1,2,3,同时注意到题设告诉我们该数列是递增的正项数列,可以求得a2=4,a3=9,a4=16,由此可以猜想:an=n2;如果猜想正确,那么=n,为公差为1,首项也为1的等差数列,于是只须证明-=1. 【解】

38、对题设条件变形得:(an+1-an-1)2=4an 所以 an+1=an+1+2(为什么)即()2=(+1)2-=1,而a1=1,an+1>an(nN*)数列为公差为1,首项也为1的等差数列=1+(n-1)·1=n, an=n2(nN*). 【点评】本题如果不事先进行归纳猜想,就很难找到以上的简单解法.正如一位伟人所说:没有大胆的猜想,便没有伟大的发现.四、顺思与逆思数列部分中的许多重要结论,把它们作为一个个的命题,那么在这些真命题中,有的逆命题是成立的,但有的逆命题是不成立的.平常,我们要自觉地多加以思考.我们知道,如果一个数列是等差数列,那么它的前n项和公式为:Sn=n(a

39、1+an);反过来,如果一个数列的前n项和公式为:Sn=n(a1+an),那么这个数列是不是等差数列呢？这就是1995年的一道文科高考压轴题,回答是肯定的.再如,我们知道,两个等差数列的对应项的和组成的新数列仍为等差数列,那么两个等比数列的对应项的和组成的新数列是不是等比数列呢?这便是2000年的一道高考探索题,需要我们进行分类与讨论后才能做出正确的回答.高考对我们的要求是,要求我们能够进行主动性的学习,所以平常我们要养成自觉地提出问题,分析问题与解答问题的好习惯.【例5】(2004年高考题·湖北卷)已知数列an的前n项和Sn=a2-()n-1-b2-(n+1)( )n-1(n=1,

40、2,3)，其中a、b是非零常数.则存在数列xn、yn使得（A） an=xn+yn,其中xn是等差数列，yn是等比数列（B） an=xn+yn,其中xn和yn都是等差数列（C） an=xnyn,其中xn是等差数列，yn是等比数列（D） an=xnyn,其中xn和yn都是等比数列 【解析】等差数列的前n项和的一般形式为Sn=An2+Bn；等比数列在公比不等于1(公比等于1时可把它当成等差数列对待)的时候，其前n项和的一般形式为Sn=C-C·qn(C0).因为两个等差数列的对应项的和组成的新数列仍为等差数列，故应排斥（B）；又因为两个等比数列的对应项的积组成的新数列仍为等比数列，故应排斥（

41、D）;假设选(A),则Sn= An2+Bn+ C-C·qn(C0),对比条件分析知必有A=0且B=0,于是a2-()n-1-b2-(n+1)( )n-1= C-C·qn(C0),此不可能,排斥(A);所以选(C). 【说明】顺思与逆思也就是要求我们注意运用逻辑分析的方法去分析问题与解决问题,要注意命题的等价形式,如一个命题的原命题与它的逆否命题是等价的,而当一个命题为真命题时,它的逆命题却不一定为真;要注意正难则反的思维策略,，如此等等. 五、求和与放缩由于高等数学学习对数列知识的要求，加之数列知识是一块只有调整未作删减的内容，高考命题组的高校教师热衷于不等式与递归数列的综合应是十分正常的，这类命题能较好体现课本知识内容与能力要求的关系，复习中应该是一个重点，同学们必须明确对这类问题的三种处理方法（一是利用转化，化归为等差或等比数列问题解决；二是可能借助数学归纳法解决；三是可望求出通项公式后一般性解决）数列与不等式的综合通常涉及数列求和问题,有的题中的和式不能事先求和,但放缩以后的式子可能可以求和,求和方法通常有两种,一是直接利用等差或等比数列等求和公式,二是裂项求和、分组求和、错位相减求和等.有关数列的求和方法请详见前面的求数列an的前n项和的方法这里特别要提到的是,高考中数列的求和问题常与不等式相结合,