六年级下册奥数第十二讲综合应用题选讲（二） 例题 习题 _通用版（例题含答案）

1、.第十二讲 综合题选讲二一般说来，“老师概念之形成经历了非常漫长的历史。杨士勋唐初学者，四门博士?春秋谷梁传疏?曰：“师者教人以不及，故谓师为师资也。这儿的“师资，其实就是先秦而后历代对老师的别称之一。?韩非子?也有云：“今有不才之子师长教之弗为变其“师长当然也指老师。这儿的“师资和“师长可称为“老师概念的雏形，但仍说不上是名副其实的“老师，因为“老师必需要有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。 解综合题，除了要有结实的解基此题的根底之外，还要求解题者有创造性意识，有构造构思才能，有探究才能，要擅长把复杂的问题化归为较简单的问题.要练说，先练胆。说话胆小是幼儿语言开展的障碍。不少幼儿当众说话

2、时显得害怕：有的结巴重复，面红耳赤；有的声音极低，自讲自听；有的低头不语，扯衣服，扭身子。总之，说话时外部表现不自然。我抓住练胆这个关键，面向全体，偏向差生。一是和幼儿建立和谐的语言交流关系。每当和幼儿讲话时，我总是笑脸相迎，声音亲切，动作亲昵，消除幼儿畏惧心理，让他能主动的、无拘无束地和我交谈。二是注重培养幼儿敢于当众说话的习惯。或在课堂教学中，改变过去老师讲学生听的传统的教学形式，取消了先举手后发言的约束，多采取自由讨论和谈话的形式，给每个幼儿较多的当众说话的时机，培养幼儿爱说话敢说话的兴趣，对一些说话有困难的幼儿，我总是认真地耐心地听，热情地帮助和鼓励他把话说完、说好，增强其说话的勇气和

3、把话说好的信心。三是要提明确的说话要求，在说话训练中不断进步，我要求每个幼儿在说话时要仪态大方，口齿清楚，声音响亮，学会用眼神。对说得好的幼儿，即使是某一方面，我都抓住教育，提出表扬，并要其他幼儿模拟。长期坚持，不断训练，幼儿说话胆量也在不断进步。 例1 任意100个自然数，从中是否可找出假设干个数也可以是一个，也可以是多个，使得找出的这些数之和可以被100整除？说明理由.观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原那么，有目的、有方案的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。我提供的观察对象，注意

4、形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进展观察，保证每个幼儿看得到，看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑得飞快。我加以肯定说“这是乌云滚滚。当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这就是雷声隆隆。一会儿下起了大雨，我问：“雨下得怎样?幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，

5、作比较观察，让幼儿掌握“倾盆大雨这个词。雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，朗读自编的一首儿歌：“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑。这样抓住特征见景生情，幼儿不仅印象深化，对雷雨前后气象变化的词语学得快，记得牢，而且会应用。我还在观察的根底上，引导幼儿联想，让他们与以往学的词语、生活经历联络起来，在开展想象力中开展语言。如啄木鸟的嘴是长长的，尖尖的，硬硬的，像医生用的手术刀样，给大树开刀治病。通过联想，幼儿可以生动形象地描绘观察对象。 分析 100太大，先从小一些的数分析.假如是两个自然数，当其中有偶数时，这个偶数可被2整除，这时结论成立；当其中没有偶数时，这两个奇数之和是偶数，这两

6、个数之和能被2整除，可见对于两个自然数，结论成立.假如有3个自然数，当其中有3的倍数时，这个数就可被3整除，选这个数即可；当其中没有3的倍数时，假如这3个数被3除的余数相等，那么这3个数之和可被3整除，这时可选出这3个数；假如这3个数被3除后有的余1，有的余2，就取余1和余2的各一个数，这两个数之和可被3整除.因此，对于3个整数的情形，结论成立.类似的分析可知，对于4个整数的情形，结论成立.不过分析的过程要更长些.按这种思路分析下去，虽然可以依次断定对于5个，6个，7个，8个，整数时结论成立，但是还不能说“对于100个整数结论也成立.因为我们不可能在短时间内一直验证到100.看来要另外设计证题

7、的方法.虽然没有证出原来的题目，但是从简单情况可猜测原题的结论应当是肯定的.因为此题结论是与假设干个数之和有关的，由此可联想构造“假设干个数之和形式的数.再进一步考虑被100除后的余数.设原来的 100个数是a1， a2， a100.考虑 b1， b2，b100，其中b1=a1，b2=a1a2，b3=a1+a2+a3，b100=a1+a2+a3+a100.很显然每个bii=1，2，100，以及它们中的任意两个之差例如b5-b2=a3+a4+a5，都是假设干个原来的数之和.考虑b1，b2， b100被 100除后各自的余数.假如有一个数，例如b1，它能被 100整除，那么问题就解决了.假如任一个

8、数被100除之后的余数都不是0，那么100个数最多可能余1，余2，余99，所以致少有两个数，它们被100除后的余数一样.这时，它们的差可被100整除，也就是说在a1，a2，a100中存在假设干个数，它们的和可被100整除.说明：上面的论证方法利用了余数类，同余，抽屉原理，这些解数学竞赛题中常用的方法.在考虑b1，b2，b100时，采用了构造法.应当指出，题目中的“100不是本质的，改成200，300，甚至改成任一自然数n，结论也成立，证法一样.例2 某班学生有以下特点：任何四个人中，都有一个人与另外三个人通过 .证明：全班之中的任意四个人中，可找到一个人，这个人与全班所有人都通过 .分析 这个

9、题目中“数很少，要论证的结论“任意四个人中可找到一个人，这个人与全班所有的人都通过 又比较强，为此，要充分利用“任何四个人中都有一个人与另外三个人通过 的条件.画个示意图，人用点表示，两个人之间通过 就用这两点的实连线表示，否那么就用虚线表示.假如这些学生之间的任何两个人都有线相连，那么问题已解决；假如有四个人A、B、C、D有如以下图所示的关系：那么D与A、B、C都通过 ，考虑除A、B、C、D外的任何一个人E.D、E之间一定通过 .否那么A、C、D、E四人与条件不符.由于E的任意性说明D与所有人通过 .假如有四个人A、B、C、D，它们间的关系如以下图所示，与上图的证法类似，可知D与所有人通过

10、.我们已讨论了所有可能的情形，因此综上所证知：任意四人中，总有一个人，这个人与所有人通过 .说明：我们采用的证明方法是用图这种直观方式表达关系和逻辑，把人和通 分别用点、边表示，未通 用虚线表示.这样便于对照图形分析问题.这种方法是图论的根本方法.在上述证明中，使用了分情况论证分情况讨论的方法.这是推理论证的根本方法之一.例3 甲、乙两所学校的学生中，有些学生互相认识.甲校的学生中任何一个人也认不全乙校的学生，乙校的任意两名学生都有甲校中的一个公共朋友.问：能否在甲校中找出两个学生A、B，从乙校中找出三个学生C、D、E，使得A认识C、D，不认识E，B认识D、E，不认识C？说明理由.认识是互相的

11、，即甲认识乙时，乙也认识甲.分析 假如选乙校学生中任意两个人为C、D，那么甲校中有认识C、D的人，设它为A.因为A认不全乙校学生，所以在乙校中有学生E，A不认识E.这时A认识C、D，不认识E.按这个思路，再考虑选B时有些费事.虽然对于乙校的D、E，可知甲校中有学生认识D、E，假如把甲校的这个认识D、E的人选为B.这个B可能认识C，这样就达不到题目要求了.之所以陷入上述困境，原因在于C、D在乙校中太“任意了，在乙校中任选C、D，就可能使得最后甲校中的B选不出来，看来要选特殊一点的人.因为甲校学生都认不全乙校的学生，所以存在甲校的认识乙校学生数目最多的人或认识乙校学生数目最多的人之一.选他为A.因

12、为A认不全乙校学生，取A不认识的乙校的一名学生为E，设A认识的乙校的一名学生为D.对于D、E，在甲校中有一个人，设它为B，B认识D、E.因为B认识E，A不认识E，所以A、B不是同一个人.在A认识的乙校学生中，一定有B不认识的人，假设不然，当A认识的乙校的任何一名学生都认识B时，B至少要比A多认识一个人E，这与“甲校学生中认识乙校人数最多的人之一是A的假定矛盾.设在乙校中，学生C认识A而不认识B，这样就有：A认识C、D，不认识E，B认识D、E，不认识C.说明：为论证的需要，选择特殊元素如最多、最少、最早、最晚、等，是行之有效的方法，这个特殊元素的性质作为论证的一个重要条件.例4 假设干个自然数之

13、和是1993，这些自然数之积的最大值是多少？分析 这个问题中有以下难点：“假设干个是几个？这些自然数都是什么？如何找出这些自然数之积的最大值？虽然把有限数1993拆成各种不同的自然数之和的方法也是有限的，但是一一分拆再求出它们的乘积，最后再从乘积中选出最大的是不现实的，那样计算量过大.首先可以看出，1993拆开的各加数中不应当有1.因为1作为因数对乘积无作用，当把1合并到另一个加数中去后，会使乘积增大，因此不拆出1为加数.另一方面，拆成的加数也不应当太大，例如当拆成的加数中有5时，只要把5再拆为2+3，由于2×35，可见把5去掉，换成2+3会使乘积增大.同样，假如加数中有6，换成 3

14、+3，由于 3×36，可见换成 3+3会使乘积增大.一般地，因为当a4时，2×a-2a，所以我们总可以把5或5以上的加数a换成2a-2，这样使乘积增大，也就是说，所拆成的加数中至多是4.进一步考虑，假如有加数4，把4用2+2换一下，乘积不变.因此，为使考虑问题简单起见，可以认为所拆成的加数中不含4，即加数中只有2和3两种数.假如加数中有3个或3个以上的“ 2，当把3个“ 2用2个“ 3代替时，和不变，但因为 2×2×2 3×3，可见乘积增大.由此可以设想1993拆成的各加数中仅有2、3，而且2的数目不多于两个.因为1993不是3的倍数，所以致少

15、要拆出一个“2，但1993-2=1991也不是3的倍数，可见1993要拆出两个“2.容易看出：这时获得最大乘积 22×3663.说明：上面采取了层层化简的分析方法，把1993的分析问题归结为“只含有2、3，且2的数目不多于两个，以到达乘积最大.这是在不断比较、调整的过程中对各加数的性质逐渐认识得到的.在朝着使乘积逐渐增加的方向，我们排除了加数中的1，排除了加数中大于4的数，进而去掉4，限制了加数中“2的数目，经过这样一系列的比较、简化才比较方便地找出了乘积的最大值，我们应当学习这种层层化简的转化策略. 习题十二1.某个四位数有如下特点：这个数加 1之后是 15的倍数；这个数减去3是38的倍数；把这个数各数位上的数左右倒过来所得的数与原数之和能被10整除，求这个四位数.2.某学校的假设干学生在一次数学考试中所得分数之和是8250分.第一、二、三名的成绩是88、85、80分，得分最低的是30分，得同样分的学生不超过3人，每个学生的分数都是自然数.问：至少有几个学生的得分不低于60分？3.一个自然