北师大数学九上2直角三角形学案

1、1.2直角三角形学习目标、重点、难点【学习目标】1、掌握直角三角形的判别条件，并能进行简单应用； 2、会通过边长判断一个三角形是否是直角三角形，并会辨析哪些问题应用哪个结论【重点难点】重点：探索并掌握直角三角形的判别条件.难点：运用直角三角形判别条件解题.勾股定理：a2+b2c2（a，b为直角边长，c为斜边长）勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形互逆命题与互逆定理直角三角形全等的判定：斜边、直角边定理（）直角三角形知识概览图新课导引木工师傅中巧如鲁班者大有人在，不知何年何人用鲁班尺发明了三等分任一角的方法，所谓鲁班尺或称木工尺，是形如图

2、(1)所示的直角尺【问题探究】在过尺的拐角内点B与尺边BD垂直的尺边缘直线上取一点C，使BC等于尺宽AB任给一角EOF，先用鲁班尺画一条与OE相距为尺宽AB的平行线l，如图(2)所示，再使鲁班尺的边缘上的点A落在l上，C点落在OF上，且边缘线BD过O点，如图(3)所示沿边缘DB画出的直线l与OF的夹角BOC是EOF的解析 事实上，作AGOE，G为垂足，则RtOAGRtOABRtOCB，故AOGAOBBOCEOF教材精华知识点1 勾股定理及其逆定理勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，即c2a2+b2(c为斜边长)勾股定理的作用(1)已知直角三角形的两边求第三边(2)已知直角三角

3、形的一条边，求另外两条边的数量关系(3)用于证明平方关系的问题(4)利用勾股定理作出长为的线段勾股定理的各种表达形式在RtABC中，C90°，A，B，C的对边长分别为a，b，c，则a2c2b2，b2c2a2，c2a2+b2，c，a，b勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形勾股定理的逆定理的作用：判定某一三角形是否是直角三角形勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理直角三角形的判定(1)首先确定最大边(如c)(2)验证c2与a2+b2是否具有相等关系若c2a2+b2，则ABC是直角三角形；若c2a2+b2，则

4、ABC不是直角三角形勾股数(1)能够成为直角三角形三边长的三个正整数称为勾股数或勾股弦数(2)勾股数必须是正整数如3，4，5；5，12，13等拓展 应用勾股定理时，必须是在同一直角三角形中；应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形时，一定是最长边所对的角是直角，其他两边所对的角是锐角知识点2 互逆命题与互逆定理在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题拓展 每个命题都有逆命题原命题是真命题，而它的逆命题不一定是真命题原命题和逆命题的真假性一般有四种情况：真、假；真、真；假、假；假、真如果一个定理的逆命

5、题经过证明是真命题那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理拓展 每个命题都有逆命题但不是所有的定理都有逆定理.知识点3 直角三角形全等的判定定理直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示定理的作用：判定两个直角三角形全等定理的证明：如图130所示，已知RtABC，RtABC，CC90°，ABAB，ACAC，求证RtABCRtABC证明：在ABC和ABC中，CC90°， BC，BC ABAB，ACAC，BCBC RtABCRtABC(SSS)知识拓展 “HL”是

6、直角三角形所独有的判定定理，对于一般三角形不成立判定两个直角三角形全等时，这两个直角三角形已经有一对直角相等的条件，只需找出另外两个条件即可，而这两个条件中必须有一个是边对应相等与一般三角形全等一样，只有三个角相等的两个直角三角形不一定全等规律方法小结 1方程思想：在学习勾股定理的过程中，要注意利用勾股定理寻找等量关系，通过列方程来解几何问题2数形结合思想：运用勾股定理判定直角三角形就是由数量关系来判定几何问题，实现数和形之间的相互转化课堂检测基本概念题1、写出命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题，并判断真假基础知识应用题2、如图131所示，在RtABC中，ACB90°，AB50，

7、BC30，CDAB于点D，求CD的长3、在正方形ABCD中，如图132所示，F为DC的中点，E为BC上一点，且ECBC，求证EFA90°综合应用题4、试判断三边长分别为2n2+2n，2n+1，2n2+2n+1(n0)的三角形是否是直角三角形5、如图1-38所示，一艘货轮向正北方向航行，在点A处测得MAD30°，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B处，测得MBD=45°，该货轮到达灯塔M的正东方向的D处时，货轮与灯塔M的距离是多少?(精确到01海里，1732)体验中考1、如图1-41所示，在ABC中，AB=AC，AD是底边上的高，若AB=5 cm，BC=6

8、 cm，求AD的长度2、如图145所示，在直角梯形ABCD中ADBC，ABC90°，DEAC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AEAC （1）求证BGFG； （2）若ADDC2，求AB的长学后反思附： 课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析 写某个命题的逆命题时，要分清命题的题设和结论必须认真审题，分清命题结构，最后写成“如果，那么”的形式解：如果两直线平行，那么同位角相等 这个命题是真命题2、分析 给出ABC是直角三角形，同时给出两边长，我们会想到利用勾股定理来解题解：ABC是直角三角形，ACB90°，AB50，BC 30 由勾股定理，得AC 又SABCBC&

9、#183;ACAB·CD， . 答：CD的长是24【解题策略】 在有关直角三角形的问题中，除了掌握好直角三角形的性质(两锐角互余，三边满足勾股定理等)外，还要注意一般三角形的所有性质3、分析 由已知条件会想到勾股定理，同时由结论我们会想到利用勾股定理的逆定理证明：设正方形ABCD的边长为4a，则ECa，BE3a， CFDF2a 在RtABE中，由勾股定理，得： AE2AB2+BE2(4a)2+(3a)225a2 在RtADF中，由勾股定理，得： AF2AD2+DF2(4a)2+(2a)220a2 在RtECF中，由勾股定理，得： EF2EC2+CF2a2+(2a)25a2 在AFE中

10、，AF2+EF220a2+5a225a2， 又AE225a2，AF2+EF2AE2 由勾股定理的逆定理，得AEF是直角三角形，且AE为最大边， EFA90°规律·方法 用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的步骤：(1)确定最大边；(2)算出最大边的平方与另外两边的平方和；(3)比较最大边的平方与另外两边的平方和，如果相等，那么此三角形为直角三角形注意不要盲目比较其中任意一边的平方与另外两边的平方和的关系，这样做容易得出错误的结论 4、分析 先确定最大边，然后判断最大边的平方是否等于其他两边的平方和解：(2n2+2n+1)-(2n2+2n)=10， (2n2+2n

11、+1)-(2n+1)=2n20(n0)， 2n2+2n+1为三角形中最大边 又(2n2+2n+1)2=4n4+8n3+8n2+4n+1， (2n2+2n)2+(2n+1)2=4n4+8n3+8n2+4n+1， (2n2+2n+1)2=(2n2+2n)2+(2n+1)2 根据勾股定理的逆定理可知，此三角形为直角三角形【解题策略】运用差值比较法确定最大边是用勾股定理的逆定理判定三角形形状的关键5、分析 本题是一道实际应用问题，解此类问题的关键是将其转化为数学问题求货轮与灯塔M的距离即求MD的长，可利用RtADM和RtBDM，由勾股定理建立等量关系，列方程求解解：由已知得AB=20海里，MAD=30

12、°，DBM= 45°，MDAD设MD=x， 在RtBDM中，DBM45°， BD=MD=x，AD=AB+BD=x+20 在RtADM中，MAD=30°， MD=AM，AM=2MD=2x 在RtADM中，由勾股定理，得： AD=， 有x+20=，(-1)x=20 x=273(海里) 故货轮到达灯塔正东方向的D处时，货轮与灯塔的距离约为273海里体验中考1、分析 本题考查等腰三角形“三线合一”和勾股定理解：在ABC中， AB=AC，ADBC， BD=CD=BC=3 cm 在RtADB中，ADB=90°， AD= （cm）2、 分析 本题主要考查和直角三角形有关的知识 证明：（1）ABC90°，DEAC于F，ABCAFE