暑期数模集训——差分方程与时间序列模型

1、专题提纲专题提纲1 差分方程引例差分方程引例2 差分方程概念差分方程概念3 特殊差分方程的解特殊差分方程的解4 平衡点及其稳定性平衡点及其稳定性5 差分方程组差分方程组6差分方程实例差分方程实例7 自回归模型自回归模型8自回归模型识别及参数确定自回归模型识别及参数确定9自自回归模型实例自自回归模型实例10 建模练习题建模练习题1 引例 某人买房子银行贷款，几某人买房子银行贷款，几年过去了，现在该人每月还年过去了，现在该人每月还款款2789.54元，且已知元，且已知2011年年前三个月的本息还款情况如前三个月的本息还款情况如右表，问银行月利率是多少？右表，问银行月利率是多少？ 10年年12月份还

2、款后还剩本金月份还款后还剩本金多少？自那时起需几月还清多少？自那时起需几月还清贷款？请列出贷款？请列出2011年起每月的年起每月的本息还款明细表。本息还款明细表。月份月份 本金（元）本金（元） 利息利息（元）（元）12404.72384.8222416.26373.2832427.86361.682 差分方程概念 微分方程：变量间存在函数关系。知道了这个关系，微分方程：变量间存在函数关系。知道了这个关系，就能够研究变量间的联系与变化规律。然而，这个关就能够研究变量间的联系与变化规律。然而，这个关系是不知道的，但我们可以建立起含自变量，因变量系是不知道的，但我们可以建立起含自变量，因变量及其导数

3、或微分的等式，这就是微分方程。通过对方及其导数或微分的等式，这就是微分方程。通过对方程的研究以求得这个函数关系，或直接揭示变量间的程的研究以求得这个函数关系，或直接揭示变量间的联系就构成了微分方程的主要研究内容。联系就构成了微分方程的主要研究内容。 然而然而在许多实际问题中，变量的取值是离散的在许多实际问题中，变量的取值是离散的（如（如银行还款问题，月份只能取整数值，不能取银行还款问题，月份只能取整数值，不能取3.56这样这样的值），这时为研究变量间的关系所建立的模型也是的值），这时为研究变量间的关系所建立的模型也是离散的。此外，对一些离散的。此外，对一些连续的数学模型连续的数学模型（如微分方

4、程（如微分方程模型），模型），在求其数值解时也需要将其离散化处理在求其数值解时也需要将其离散化处理，从，从而将一个连续的模型转化为一个离散的模型，这些模而将一个连续的模型转化为一个离散的模型，这些模型就属差分方程，应用相应的理论去解决。型就属差分方程，应用相应的理论去解决。 一般的，对有函数关系的两个变量，常用一般的，对有函数关系的两个变量，常用x当自变当自变量，量，y当因变量。但在差分方程中，因自变量只取整数当因变量。但在差分方程中，因自变量只取整数值（如值（如0,1,2,3，），我们更喜欢用），我们更喜欢用n(或或t)表示自变量，表示自变量，这时因变量可用这时因变量可用x表示表示 。其函数

5、关系是。其函数关系是x=x(n)，但我们，但我们更常用更常用xn表示。如同微分方程，这个关系通常是不知表示。如同微分方程，这个关系通常是不知道的，但我们常能得到如下的式子道的，但我们常能得到如下的式子 F(n, xn, xn-1, xn-k)=0 （1） 这个式子就是差分方程。这个式子就是差分方程。 有时，（有时，（1）式也写成下面的形式）式也写成下面的形式 xn=f (n, xn-1, xn-k) (2) 现考虑银行还贷问题，用现考虑银行还贷问题，用n表示月份表示月份(n=0表示表示10年年12月月)，xn表示第表示第n月还款后还剩本金，月还款后还剩本金，r, a分别表示银行分别表示银行月利

6、率和月还款额，月利率和月还款额， xn （即（即x(n) ）表示了本金与月份）表示了本金与月份的函数关系（现在不知），但我们容易得到一个等式的函数关系（现在不知），但我们容易得到一个等式 xn+1=(1+r) xn -a 这就是银行还贷问题的差分方程模型，从中就可以这就是银行还贷问题的差分方程模型，从中就可以解出关系解出关系xn来。来。 差分方程的名称或许是从微分方程的离散化得到的。差分方程的名称或许是从微分方程的离散化得到的。 考虑微分方程考虑微分方程 假设方程有唯一解，但无法求出，为此，我们可以假设方程有唯一解，但无法求出，为此，我们可以通过将其离散化求数值解并作图分析，最简单的就是通过将

7、其离散化求数值解并作图分析，最简单的就是(y(xn+1)-y(xn)/h=f(xn, yn) ,从而有迭代公式从而有迭代公式 yn+1=yn+h f(xn, yn) 。 上面的商称为差商，而其分子就叫差分。上面的商称为差商，而其分子就叫差分。 一般的，对离散关系一般的，对离散关系xt，记记 xt=xt+1-xt, 该式称为该式称为xt的的一阶差分，一阶差分，2 xt = ( xt)= xt +1- xt = xt +2-2 xt +1+ xt 。该式称为该式称为xt的二阶差分，依次类推。的二阶差分，依次类推。00( , )()yf x yy xy 方程方程F(n,xn,xn-1, xn-k)=

8、0中中x的最大下标与最小下标的最大下标与最小下标之差称为之差称为差分方程的阶差分方程的阶。 如同微分方程一样，差分方程的解是函数，通常有如同微分方程一样，差分方程的解是函数，通常有无穷多个。通解是全部解的集合（体现在任意常数上，无穷多个。通解是全部解的集合（体现在任意常数上，其个数与方程阶数相同）。另外，在实际问题中通常其个数与方程阶数相同）。另外，在实际问题中通常会给出一些条件（如会给出一些条件（如x0, x1的值），称为初始条件。满的值），称为初始条件。满足初始条件的具体的解就是特解。足初始条件的具体的解就是特解。 差分方程问题的研究内容：差分方程问题的研究内容： 1 差分方程的建立（取离

9、散值的变量关系建立，也差分方程的建立（取离散值的变量关系建立，也可将连续问题离散化）；可将连续问题离散化）； 2 差分方程的求解和分析（这需要掌握一定的差分差分方程的求解和分析（这需要掌握一定的差分方程理论）。方程理论）。 差分方程在实际问题中有广泛的应用。差分方程在实际问题中有广泛的应用。 差分方程的求解并不比微分方程容易，大部分差分差分方程的求解并不比微分方程容易，大部分差分方程是无法求解的。这里介绍方程是无法求解的。这里介绍最简单同时用处很大最简单同时用处很大的的一类特殊差分方程的求解。一类特殊差分方程的求解。 常系数线性齐次差分方程，其一般形式为常系数线性齐次差分方程，其一般形式为 a

10、0 xn+a1xn-1+akxn-k=0 (3) 其中其中a0,a1,ak是常数。是常数。 方程（方程（3）有解，其求解步骤为）有解，其求解步骤为: 步骤步骤1: 求解对应的特征方程求解对应的特征方程 a0k+a1 k-1+ak=0 （4） 步骤步骤2: 根据步骤根据步骤1的解的情况写出（的解的情况写出（3）的通解；）的通解； 3 特殊差分方程的解 情况情况1：若：若是（是（4）的一个单实根，则）的一个单实根，则n是（是（3）的）的一个特解。若一个特解。若1, 2, k是（是（4）的）的k个个全部全部不同的单不同的单实根，则（实根，则（3）的通解为）的通解为x(n)=C1 1n +C2 2n+

11、Ck kn（ C1 ， C2 ，Ck 是任意常数）。是任意常数）。 情况情况2：若：若是（是（4）的）的k重实根，则重实根，则n, nn, , nk-1n都是（都是（3）的特解。）的特解。 情况情况3：若：若= i是（是（4）的单重复根，则）的单重复根，则 ncos n与与nsin n都都是（是（3）的特解，其中）的特解，其中 ,是是的的模与幅模与幅角。角。 情况情况4 ：若：若= i是（是（4）的）的k重复根，则重复根，则 ncos n, nncos n, nk-1ncos n与与nsin n, nnsin n, nk-1nsin n都是（都是（3）的特解，其中）的特解，其中 ,是是的的模与

12、模与幅角。幅角。 将各个特解如情况将各个特解如情况1那样与任意常数相乘再相加就那样与任意常数相乘再相加就得（得（3）的通解。）的通解。 常系数线性非齐次差分方程，其一般形式为常系数线性非齐次差分方程，其一般形式为 a0 xn+a1xn-1+akxn-k= b(n) (5) (5)的求解方法是先求相应齐次方程的通解，记为的求解方法是先求相应齐次方程的通解，记为xn*，再求（再求（5）的一个特解，记为）的一个特解，记为 xn (0) （与微分方程中求（与微分方程中求非齐次方程的特解方法相类似，非齐次方程的特解方法相类似，根据根据b(n) 特点将特点将xn (0)设出，再用待定系数法将设出，再用待定

13、系数法将xn (0)确定确定），于是（），于是（5）的通）的通解为解为 xn = xn* + xn (0) 此外，不同于微分方程，对实际问题中的差分方程，此外，不同于微分方程，对实际问题中的差分方程，当初始条件给定后，可迭代求得任意当初始条件给定后，可迭代求得任意xn的（精确）值，的（精确）值，从而可以对从而可以对xn的变化规律进行作图分析。如对方程的变化规律进行作图分析。如对方程xn=f(n, xn-1, xn-k)，若，若x1, x2, xk 给定，就可以根据给定，就可以根据方程依次算出方程依次算出xk+1, xk+2, xk+3 来。来。 考虑银行还贷问题，考虑银行还贷问题， 其差分方程

14、为其差分方程为xn+1=(1+r) xn -a ，若已知，若已知x0 ，r，a，就可算出第，就可算出第1月，月，2月，月，3月等月等欠银行钱数。欠银行钱数。 现求解方程现求解方程xn+1=(1+r) xn a。先求解。先求解xn+1=(1+r) xn，其通解为其通解为xn *=C (1+r)n,再求其一个特解。从方程看再求其一个特解。从方程看设设xn为常数为常数x，代入得，代入得xn (0) =a/r, 于是得方程于是得方程通解：通解：xn =C (1+r)n+ a/r。利用。利用x0确定确定C可得相应特解。可得相应特解。 实际上，方程实际上，方程xn+1=(1+r) xn a也可用递推法解决

15、也可用递推法解决: xn=(1+r) xn-1 a=(1+r) (1+r) xn-2 a) a= (1+r)2 xn-2 (1+r)aa= (1+r)n x0 (1+r) (n-1) a(1+r) (n-2) a-a= (1+r)n x0 +a(1-(1+r) (n-1)/r= (x0 a/r)(1+r)n +a/r.4 平衡点及其稳定性 差分方程虽可用迭代法进行数值计算，但计算总归差分方程虽可用迭代法进行数值计算，但计算总归只能进行有限步，其深层次的性质必须用其它工具进只能进行有限步，其深层次的性质必须用其它工具进行分析，平衡点就是其中一个。行分析，平衡点就是其中一个。 平衡点相当于稳定点或

16、不动点，对方程平衡点相当于稳定点或不动点，对方程xn=f(n, xn-1, xn-k) 来说就是若来说就是若xn-1, xn-k都取某一常数，比如都取某一常数，比如a，那么那么xn也一定是也一定是a，从而，从而xn+1, xn+2, xn+3, 也都取这个也都取这个值。值。 平衡点就是所有平衡点就是所有xn都取相同的值，且能使差分方程都取相同的值，且能使差分方程成立，于是将成立，于是将xn=f(n, xn-1, xn-k) 中所有的中所有的xn都换成都换成x，得到方程得到方程x=f(n, x, x) ，将其求解，其每一个解就是，将其求解，其每一个解就是一个平衡点。一个平衡点。 设设a是方程的一

17、个平衡点，是方程的一个平衡点， xn是方程的任一解，若总有是方程的任一解，若总有则称则称a是差分方程的一个稳定平衡点。是差分方程的一个稳定平衡点。 稳定的平衡点在实际问题中有重要的应用价值。稳定的平衡点在实际问题中有重要的应用价值。 limnnxa 现考虑现考虑方程方程 a0 xn+a1xn-1+akxn-k=0 ，并且其解是如下形式，并且其解是如下形式 x(n)=C1 1n +C2 2n+Ck kn 。 显然显然0是方程的一个平衡点，是方程的一个平衡点，不难发现若所有不难发现若所有的绝对值都小于的绝对值都小于1，必有，必有 这说明这说明0是稳定的平衡点，这也是是稳定的平衡点，这也是一般差分方

18、程平衡点稳定一般差分方程平衡点稳定性的判别方法性的判别方法。这个方法也可以这么说：若绝对值最大的。这个方法也可以这么说：若绝对值最大的的的绝对值小于绝对值小于1，平衡点稳定。不难发现若某个，平衡点稳定。不难发现若某个的的绝对值大于绝对值大于1，平衡点不稳。当平衡点不稳。当等于等于1时，有多种情况且实际意义不大。若时，有多种情况且实际意义不大。若特征根是复根，就用其模来判断。特征根是复根，就用其模来判断。lim0nnx 一阶非线性差分方程，其一般形式为一阶非线性差分方程，其一般形式为 xn+1=f (xn) 若若x*是该方程的一个平衡点，将是该方程的一个平衡点，将f (xn)在在x*处作一阶泰勒

19、展开用线性近似代替，可得处作一阶泰勒展开用线性近似代替，可得x*稳稳定的条件是定的条件是 | f (x*) |0.4时人体内病毒会越来越多，而当时人体内病毒会越来越多，而当x0 qkq时全为时全为0 0的性质称为的性质称为q q步截尾性步截尾性。若该函数不。若该函数不能在某步之后截尾，而是随着能在某步之后截尾，而是随着k k的增大而逐渐衰减，受一负指的增大而逐渐衰减，受一负指数函数控制，称为数函数控制，称为拖尾性拖尾性。 在应用中，在应用中，rk和和k k可用下式代替可用下式代替10()()/(),/n kkjj kjkkrxxnkrr 偏相关函数偏相关函数 kkkk= =E(xt-)(xt+

20、k- )/Var(xt-) 计算计算 ：易知：易知0000= =1，1111= = 1 1 ，于是可用递推式子，于是可用递推式子11111,111111,1,1,(1)()(1)(1,2,., )kkkkkkjkjjkjjjkjkjkkk kjjk 此式虽然复杂，但在应用中此式虽然复杂，但在应用中k k一般小于等于一般小于等于2 2。此外，有专门的命令语句可用，大家不必为计算而烦恼。此外，有专门的命令语句可用，大家不必为计算而烦恼。 三种模型的三种模型的k k 与与kkkk特性：特性： AR(p)模型模型 k k拖尾，拖尾， kkkk，p阶后截尾。阶后截尾。 MA(q)模型模型 k k：q阶后

21、截尾，阶后截尾， kkkk拖尾。拖尾。 ARMA(p,q)模型模型 k k拖尾，拖尾， kkkk拖尾。拖尾。 在实际处理中若在实际处理中若kq 时有时有 | | 2/n0.5或或 |kk| 2/n0.5,则认为则认为 或或 kk 在在k=q处处截尾。截尾。 这些特性也是判别时间序列属于上述哪种模型的依据。这些特性也是判别时间序列属于上述哪种模型的依据。 AR(p)模型定阶的模型定阶的AIC准则准则 假定阶数为假定阶数为p, 准则形式为准则形式为 AIC(p)=log2+2 p /n，其中，其中2为用式子拟合的参差方差估计。为用式子拟合的参差方差估计。 p的确定应使的确定应使AIC(p)达最小。

22、达最小。 此外，模型的定阶还要考虑准确性和简洁性。此外，模型的定阶还要考虑准确性和简洁性。kkk 至于一般的自回归系数至于一般的自回归系数a a1 1,a,a2 2,a,ap p的计算，方法有矩估计，的计算，方法有矩估计，极大似然估计和最小二乘估计。因此，可利用回归分析的命极大似然估计和最小二乘估计。因此，可利用回归分析的命令令regressregress计算这些系数。计算这些系数。 从图中观察从图中观察截尾数据的特点是迅速衰减到截尾数据的特点是迅速衰减到0并在其附近震并在其附近震荡（因为随机影响）；而拖尾尾数据的特点是在荡（因为随机影响）；而拖尾尾数据的特点是在0的一侧附变的一侧附变化或震荡

23、变化，且绝对值越来越小。化或震荡变化，且绝对值越来越小。 自回归模型适合于序列的数据间具有依赖关系或自相关性。自回归模型适合于序列的数据间具有依赖关系或自相关性。应用自回归模型解决时间序列问题，首先必须觉得时间序列应用自回归模型解决时间序列问题，首先必须觉得时间序列有自回归的特点（变量变化具有连续性），从模型辩识和回有自回归的特点（变量变化具有连续性），从模型辩识和回归结果看较满意才可用，否则没什么意义。归结果看较满意才可用，否则没什么意义。k 9 自回归模型实例自回归模型实例年份年份198019811982198319841985198619871988198919901991投资投资0.4

24、0.42.50.60.6111.31.821.61.6年份年份19921993199419951996199719981999200020012002投资投资2.53.37.612.710.117.125.212.916.514.218.6 下表是上海市下表是上海市1980-2002年旅游投资额（单位：亿元年旅游投资额（单位：亿元 ），请），请对未来几年的上海市的旅游投资额进行预测。对未来几年的上海市的旅游投资额进行预测。 首先观察数据，不难发现，首先观察数据，不难发现，82年，年，97年和年和98年的年的数据比较特殊或异常，我们认为是由异常原因引起数据比较特殊或异常，我们认为是由异常原因引起

25、的，不能用，我们用的，不能用，我们用82年前后两年数据，年前后两年数据，97年前四年前四年数据，年数据， 98年后四年数据对其进行修正，称为年后四年数据对其进行修正，称为xt，并作出数据的散点图。并作出数据的散点图。 由图像可知，所给序列是非平稳的，没有季节（周期）性变化的特点（若有，另考虑相关模型），但我们需要用严格的计算予以检验。计算可得计算可得 QLB(22)=146.0634, 远大于远大于2（22）=33.9。将序列进。将序列进行（根据情况也可先对数）差分行（根据情况也可先对数）差分(yt=xt+1-xt)后，序列图如下。后，序列图如下。从图像看，序列有一定平稳性，计算得从图像看，序

26、列有一定平稳性，计算得QLB(21)=19.2307，而，而2（21）=32.7.故序列可以认为是平稳的。故序列可以认为是平稳的。 利用计算机算得的自、偏相关等数据图像利用计算机算得的自、偏相关等数据图像 从图像看，自相关函数是拖尾的，而偏相关函数是截尾的，说明该序列应用AR(p) 来描述。又：AIC(1)=1.596, AIC(2)=1.7504, AIC(3)=1.73, AIC(4)=1.615,综合考虑p取1. 利用回归命令得到自回归式子为yt+1=1.1639 -0.4524yt。回代得 xt+2=1.1639 +0.5476xt+1+0.4524xt。利用该式子进行预测，得结果如下：年年20032004200520062007200820092