光学信息技术习题

1、第三章 习题解答3.1 参看图3.5，在推导相干成像系统点扩散函数（3.35）式时，对于积分号前的相位因子 试问（1） 物平面上半径多大时，相位因子相对于它在原点之值正好改变弧度？（2） 设光瞳函数是一个半径为a的圆，那么在物平面上相应h的第一个零点的半径是多少？（3） 由这些结果，设观察是在透镜光轴附近进行，那么a，和do之间存在什么关系时可以弃去相位因子解：（1）由于原点的相位为零，于是与原点位相位差为的条件是，（2）根据（）式，相干成像系统的点扩散函数是透镜光瞳函数的夫琅禾费衍射图样，其中心位于理想像点 式中，而 （1）在点扩散函数的第一个零点处，此时应有，即 （2）将（2）式代入（1）

2、式，并注意观察点在原点，于是得 （3）（3）根据线性系统理论，像面上原点处的场分布，必须是物面上所有点在像面上的点扩散函数对于原点的贡献。按照上面的分析，如果略去h第一个零点以外的影响，即只考虑h的中央亮斑对原点的贡献，那么这个贡献仅仅来自于物平面原点附近范围内的小区域。当这个小区域内各点的相位因子变化不大，就可认为（）式的近似成立，而将它弃去，假设小区域内相位变化不大于几分之一弧度（例如）就满足以上要求，则，也即 （4）例如，则光瞳半径，显然这一条件是极易满足的。3.2 一个余弦型振幅光栅，复振幅透过率为放在图3.5所示的成像系统的物面上，用单色平面波倾斜照明，平面波的传播方向在x0z平面内

3、，与z轴夹角为。透镜焦距为f，孔径为D。（1） 求物体透射光场的频谱；（2） 使像平面出现条纹的最大角等于多少？求此时像面强度分布； (3) 若采用上述极大值，使像面上出现条纹的最大光栅频率是多少？与=0时的截止频率比较，结论如何？解：（1）斜入射的单色平面波在物平面上产生的场为，为确定起见设，则物平面上的透射光场为 其频谱为 由此可见，相对于垂直入射照明，物频谱沿轴整体平移了距离。（2）欲使像面有强度变化，至少要有两个频谱分量通过系统，系统的截止频率，于是要求 ，由此得 （1）角的最大值为 （2）此时像面上的复振幅分布和强度分布为（3）照明光束的倾角取最大值时，由（1）式和（2）式可得 即

4、或 （3）时，系统的截止频率为，因此光栅的最大频率 （4）比较（3）和（4）式可知，当采用倾角的平面波照明时系统的截止频率提高了一倍，也就提高了系统的极限分辨率，但系统的通带宽度不变。3.3光学传递函数在fx= fy =0处都等于1，这是为什么？光学传递函数的值可能大于1吗？如果光学系统真的实现了点物成点像，这时的光学传递函数怎样？（1）在（）式中，令 为归一化强度点扩散函数，因此（）式可写成 而 即不考虑系统光能损失时，认定物面上单位强度点源的总光通量将全部弥漫在像面上，这便是归一化点扩散函数的意义（2）不能大于1（3）对于理想成像，归一化点扩散函数是函数，其频谱为常数1，即系统对任何频率的

5、传递都是无损的。3.4当非相干成像系统的点扩散函数hI（xi，yi）成点对称时，则其光学传递函数是实函数。解：由于是实函数并且是中心对称的，即有，应用光学传递函数的定义式（）易于证明，即为实函数。3.5 非相干成像系统的出瞳是由大量随机分布的小圆孔组成。小圆孔的直径都为2a，出瞳到像面的距离为di，光波长为，这种系统可用来实现非相干低通滤波。系统的截止频率近似为多大？解：用公式（）来分析。首先，由于出瞳上的小圆孔是随机排列的，因此无论沿哪个方向移动出瞳计算重叠面积，其结果都一样，即系统的截止频率在任何方向上均相同。其次，作为近似估计，只考虑每个小孔自身的重叠情况，而不计及和其它小孔的重叠，这时

6、N个小孔的重叠面积除以N个小孔的总面积，其结果与单个小孔的重叠情况是一样的，即截止频率约为，由于很小，所以系统实现了低通滤波。3.6试用场的观点证明在物的共轭面上得到物体的像。解：如图图 3.6题设是透过率函数为的物平面，是与共轭的像平面，即有式中f 为透镜的焦距，设透镜无像差，成像过程分两步进行：（1） 射到物面上的平面波在物体上发生衍射，结果形成入射到透镜上的光场；（2） 这个入射到透镜上的光场经透镜作位相变换后，在透镜的后表面上形成衍射场，这个场传到像面上形成物体的像。为了计算光场，我们用菲涅耳近似，透镜前表面的场为这里假定只在物体孔径之内不为零，所以积分限变为，此积分可以看成是函数的傅

7、立叶变换，记为，其中在紧靠透镜后表面处这个被透镜孔径所限制的场，在孔径上发生衍射，在用菲涅耳近似，便可得到像面上的光场 由题设知， 并且假定透镜孔径外的场等于零，且忽略透镜孔径的限制，所以将上式中的积分限写成无穷，于是上述积分为注意 于是得再考虑到和之间的关系得到即得到像平面上倒立的，放大倍的像。3.7试写出平移模糊系统，大气扰动系统的传递函数。解：在照相系统的曝光期间，因线性平移使点变成小线段而造成图像模糊，这种系统称为平移模糊系统，它的线扩散函数为一矩形函数 其传递函数为 对于大气扰动系统，设目标物为一细线，若没有大气扰动，则理想成像为一条细线。由于大气扰动，使在爆光期间内细线的像作随机晃动，按照概率理论，可以把晃动的线像用高斯函数描述。设晃动摆幅的均方根值为a，细线的线扩散函数为对上式作傅立叶变换，就得到大气扰动系统的传递函数3.8有一光楔（即薄楔形棱镜），其折射率为n，顶角很小，当一束傍轴平行光入射其上时，出射光仍为平行光，只是光束方向向底边偏转了一角度（n-1），试根据这一事实，导出光束的位相变换函数t。(x,