大学物理上刚体讲座

1、主讲教师：主讲教师：姜海丽姜海丽E-mail：刚体习题dtd22dtddtddRdrRv 2RaRantt02021t2202 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 （2）、角量与线量的关系 （3）、匀变速转动1、基本物理量（1）、角速度与角加速度FrMJM 2、力矩、力矩 转动定律转动定律 刚体的转动惯量刚体的转动惯量 （1）、力矩2iirmJdmrJ22mdJJC（3）、转动惯量：，或 平行轴定理： 决定刚体转动惯量的三要素：（1）刚体的体密度；（2）刚体的几何形状；（3）转轴的位置。（2）、转动定律：刚体绕定轴转动时，刚体的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。典型题形：典型

2、题形：1、已知受力，求转动参数（、已知受力，求转动参数（ ）2、已知一些转动参量，求其他转动参数。、已知一些转动参量，求其他转动参数。3、已知转动状态，求力矩。、已知转动状态，求力矩。4、利用牛顿定律和转动定律解决问题、利用牛顿定律和转动定律解决问题5、力学的综合问题、力学的综合问题,质点和刚体的对应关系质点和刚体的对应关系质点质点刚体刚体Sdtdsv dtd22dtsddtdva22dtddtdatvvt0tt0asvvt22022202tmaF JM 1、一飞轮以、一飞轮以600 rev/min的转速旋转，转动惯量为的转速旋转，转动惯量为2.5 kgm2，现加，现加一恒定的制动力矩使飞轮在

3、一恒定的制动力矩使飞轮在1 s内停止转动，则该恒定制动力矩的内停止转动，则该恒定制动力矩的大小大小M_ 157N.m2、一作定轴转动的物体，对转轴的转动惯量、一作定轴转动的物体，对转轴的转动惯量J3.0 kgm2，角速，角速度度06.0 rad/s现对物体加一恒定的制动力矩现对物体加一恒定的制动力矩M 12 Nm，当物体的角速度减慢到当物体的角速度减慢到2.0 rad/s时，物体已转过了角度时，物体已转过了角度_4.0 rad3、半径为、半径为R具有光滑轴的定滑轮边缘绕一细绳，绳的下端挂一质具有光滑轴的定滑轮边缘绕一细绳，绳的下端挂一质量为量为m的物体绳的质量可以忽略，绳与定滑轮之间无相对滑动

4、的物体绳的质量可以忽略，绳与定滑轮之间无相对滑动若物体下落的加速度为若物体下落的加速度为a，则定滑轮对轴的转动惯量，则定滑轮对轴的转动惯量J_ m(ga)R2 / a4、 如图所示，如图所示，A、B为两个相同的绕着轻绳的定滑轮为两个相同的绕着轻绳的定滑轮A滑轮挂一滑轮挂一质量为质量为M的物体，的物体，B滑轮受拉力滑轮受拉力F，而且，而且FMg设设A、B两滑轮的两滑轮的角加速度分别为角加速度分别为A和和bB，不计滑轮轴的摩擦，则有，不计滑轮轴的摩擦，则有 (A) AB (B) AB (C) AB (D) 无法确定无法确定 A M B F 答案：C5、物体、物体A和和B叠放在水平桌面上，由跨过定滑

5、轮的轻叠放在水平桌面上，由跨过定滑轮的轻质细绳相互连接，如图所示今用大小为质细绳相互连接，如图所示今用大小为F的水平的水平力拉力拉A设设A、B和滑轮的质量都为和滑轮的质量都为m，滑轮的半径，滑轮的半径为为R，对轴的转动惯量，对轴的转动惯量JAB之间、之间、A与桌面之间、滑轮与其轴之间的摩擦与桌面之间、滑轮与其轴之间的摩擦都可以忽略不计，绳与滑轮之间无相对的滑动且都可以忽略不计，绳与滑轮之间无相对的滑动且绳不可伸长已知绳不可伸长已知F10 N，m8.0 kg，R0.050 m求：求：(1) 滑轮的角加速度；滑轮的角加速度；(2) 物体物体A与滑轮之间的与滑轮之间的绳中的张力；绳中的张力；(3)物

6、体物体B与滑轮之间的绳中的张力与滑轮之间的绳中的张力221mR B A F R 221mR各物体受力情况如图各物体受力情况如图 FTma Tma (T-T )R aR 由上述方程组解得：由上述方程组解得： 2F / (5mR)10 rad/s2 T3F / 56.0 N T2F / 54.0 N 6、质量为、质量为M的匀质圆盘，可绕通过盘中心垂直于的匀质圆盘，可绕通过盘中心垂直于盘的固定光滑轴转动，转动惯量为盘的固定光滑轴转动，转动惯量为Mr2/2，绕过盘绕过盘的边缘挂有质量为的边缘挂有质量为m，长为，长为l的匀质柔软绳索（如的匀质柔软绳索（如图）设绳与圆盘无相对滑动，试求当圆盘两侧图）设绳与

7、圆盘无相对滑动，试求当圆盘两侧绳长之差为绳长之差为S时，绳的加速度的大小时，绳的加速度的大小 rSMarSMaOx2x112解：选坐标如图所示，任一时刻圆盘两侧的绳长解：选坐标如图所示，任一时刻圆盘两侧的绳长分别为分别为x1、x2 选长度为选长度为x1、x2的两段绳和绕着绳的两段绳和绕着绳的盘为研究对象设的盘为研究对象设a为绳的加速度，为绳的加速度，为盘的为盘的角加速度，角加速度，r为盘的半径，为盘的半径， 为绳的线密度，且在为绳的线密度，且在1、2两点处绳中的张力分别为两点处绳中的张力分别为T1、T2，则则 = m / l， a = r x2 gT2 = x2 a lMmSmga)21( T

8、1x1 g = x1 a (T1T2 ) r = (1/2M r )r 2 解上述方程，利用解上述方程，利用l = rx1x2，并取并取x2x1 = S得得 7、有一半径为、有一半径为R的圆形平板平放在水平桌面上，的圆形平板平放在水平桌面上，平板与水平桌面的摩擦系数为平板与水平桌面的摩擦系数为，若平板绕，若平板绕通过其中心且垂直板面的固定轴以角速度通过其中心且垂直板面的固定轴以角速度0开始旋转，它将在旋转几圈后停止？（开始旋转，它将在旋转几圈后停止？（18）rrrRmgMd2d2mgRMMR32d0解：在解：在r处的宽度为处的宽度为dr 的环带面积上摩擦力矩为的环带面积上摩擦力矩为 总摩擦力矩

9、总摩擦力矩 故平板角加速度故平板角加速度 =M /J 设停止前转数为设停止前转数为n，则转角，则转角 = 2 n J/Mn4220gRMJn16/342020由 可得 8、一转动惯量为、一转动惯量为J的圆盘绕一固定轴转动，起初的圆盘绕一固定轴转动，起初角速度为角速度为0设它所受阻力矩与转动角速度成正设它所受阻力矩与转动角速度成正比，即比，即Mk (k为正的常数为正的常数)，求：圆盘的角速，求：圆盘的角速度从度从0变为变为021时所需的时间时所需的时间 tJkddttJk02/dd100解：解：根据转动定律： Jd / dt = -k 两边积分： 得 ln2 = kt / J t(J ln2)

10、/ k 3. 力矩的累积效应力矩的累积效应（1）空间累积：）空间累积：力矩的功力矩的功dMW动能定理动能定理21222121JJW221JEkcPmghE转动动能：转动动能：刚体的重力势能：刚体的重力势能：4. 角动量守恒定律角动量守恒定律当当 时，有时，有 0MCJLii说明说明：(1) 一个刚体一个刚体 说明说明 是转动是转动 惯性的量度。惯性的量度。 (2)多个刚体多个刚体 CJCJLii（2）时间累积）时间累积12JJdtM角动量定理：角动量定理：(4) 非刚体非刚体JJ00 (3) 质点与刚体守恒式为质点与刚体守恒式为 210JvmrJvmr质点运动规律和刚体的定轴转动规律对比质点运

11、动规律和刚体的定轴转动规律对比 dtrdvdtd22dtrddtvda22dtddtddmrJ2FFrMamFJM 质点的运动质点的运动 刚体的定轴转动刚体的定轴转动速度速度 角速度角速度 加速度加速度 角加速度角加速度 质量质量 m 转动惯量转动惯量 力力 力矩力矩 运动定律运动定律 转动定律转动定律 vmP动量动量 角动量角动量 vmrLJL dtvmdF)(dtJdM)(0iiF0MiiivmJBAABrdFWBAABdMW221mvEk221JEk动量定理动量定理 角动量定理角动量定理 动量守恒动量守恒 时时 角动量守恒角动量守恒 时时 恒量恒量 恒量恒量力矩的功力矩的功 动能动能 转

12、动动能转动动能 力的功力的功222121ABmvmvW222121ABJJWmghEPCPmghE动能定理动能定理 动能定理动能定理 重力势能重力势能 重力势能重力势能 1、质量为、质量为m、长为、长为l的棒，可绕通过棒中心且与棒垂直的的棒，可绕通过棒中心且与棒垂直的竖直光滑固定轴竖直光滑固定轴O在水平面内自由转动在水平面内自由转动(转动惯量转动惯量Jm l 2 / 12)开始时棒静止，现有一子弹，质量也是开始时棒静止，现有一子弹，质量也是m，在，在水平面内以速度水平面内以速度v 0垂直射入棒端并嵌在其中则子弹嵌入垂直射入棒端并嵌在其中则子弹嵌入后棒的角速度后棒的角速度_ 3v0 / (2l)

13、2、一转台绕竖直固定光滑轴转动，每、一转台绕竖直固定光滑轴转动，每10 s转一周，转台转一周，转台对轴的转动惯量为对轴的转动惯量为1200 kgm2质量为质量为80kg的人，开始的人，开始时站在台的中心，随后沿半径向外跑去，问当人离转台时站在台的中心，随后沿半径向外跑去，问当人离转台中心中心2m时，转台的角速度为时，转台的角速度为_ 0.496 rads13. 如图所示，已知弹簧的倔强系数为如图所示，已知弹簧的倔强系数为k=20N/m，滑轮质量滑轮质量M=2kg，半径为，半径为R=0.1m，物体质量，物体质量m=1kg。开始时系统静止，弹簧处于自然状态。开始时系统静止，弹簧处于自然状态。求：当

14、物体下落求：当物体下落 h=0.2m 时，物体速度的大小时，物体速度的大小（设绳与轮间不打滑，忽略滑轮的摩擦阻力）。（设绳与轮间不打滑，忽略滑轮的摩擦阻力）。（17）s/m25. 11042/122/12/12/12/122222MmkhmghvRvMRJJmvkhmgh解得：能量守恒：4、在光滑水平桌面上有个弹簧（其倔强系数为、在光滑水平桌面上有个弹簧（其倔强系数为k），弹簧），弹簧一端固定，另一端连接一个质量为一端固定，另一端连接一个质量为m的小球，如图。的小球，如图。开始时，小球最初静止于开始时，小球最初静止于A点，弹簧处于自然状态点，弹簧处于自然状态l0。现有一质量为现有一质量为m1的

15、子弹以速度的子弹以速度v0射入小球而不复出。射入小球而不复出。求：此后当弹簧的长度为求：此后当弹簧的长度为l时，小球速度大小和它的时，小球速度大小和它的方向与弹簧轴线的夹角。方向与弹簧轴线的夹角。 （19）0101)(vmmvmsin)()(1001v lmmvlmm解：子弹射入小球过程动量守恒，所以有解：子弹射入小球过程动量守恒，所以有 此后角动量守恒有此后角动量守恒有机械能守恒有机械能守恒有2120201)(21)(21)(21vmmllkvmm2/1120212021)()(mmllkmmvmv解得：解得：lllmmkvmlvm212022021001)(arcsin5、在半径为、在半径

16、为R的具有光滑竖直固定中心轴的水平圆盘上，有一人静的具有光滑竖直固定中心轴的水平圆盘上，有一人静止站立在距转轴为止站立在距转轴为R/2处，人的质量是圆盘质量的处，人的质量是圆盘质量的1/10开始时盘开始时盘载人对地以角速度载人对地以角速度0匀速转动，现在此人垂直圆盘半径相对于盘匀速转动，现在此人垂直圆盘半径相对于盘以速率以速率v沿与盘转动相反方向作圆周运动，如图所示沿与盘转动相反方向作圆周运动，如图所示 求：（求：（1） 圆圆盘对地的角速度（盘对地的角速度（2） 欲使圆盘对地静止，人应沿着欲使圆盘对地静止，人应沿着R/2圆周对圆盘圆周对圆盘的速度的大小及方向？的速度的大小及方向？6、一根放在水

17、平光滑桌面上的匀质棒，可绕通过其一端、一根放在水平光滑桌面上的匀质棒，可绕通过其一端的竖直固定光滑轴的竖直固定光滑轴O转动。棒的质量为转动。棒的质量为m=1.5kg，长度，长度为为l=1.0m，对轴的转动惯量为，对轴的转动惯量为J=ml2/3。初始时棒静止。初始时棒静止。今有一水平运动的子弹垂直地射入棒的另一端，并留今有一水平运动的子弹垂直地射入棒的另一端，并留在棒中，如图所示。子弹的质量为在棒中，如图所示。子弹的质量为m=0.020kg，速率，速率为为v=400m/s。试问：（。试问：（1）棒开始和子弹一起转动时）棒开始和子弹一起转动时角速度角速度有多大？（有多大？（2）若棒转动时受到大小为

18、）若棒转动时受到大小为Mr=4.0Nm的恒定阻力矩作用，棒能转过多大角度？（的恒定阻力矩作用，棒能转过多大角度？（21）rad4 .1552. 04)31(2s/rad4 .15)31(1002222解得则：）（量守恒：）子弹射入的过程角动解：（ddddmllmMmllmvlmr 7、质量为、质量为M，长度为，长度为l的均匀细棒，可绕垂直于棒的一端的的均匀细棒，可绕垂直于棒的一端的水平轴水平轴O无摩擦地转动，它原来静止在平衡位置上。现有无摩擦地转动，它原来静止在平衡位置上。现有一质量为一质量为m的弹性小球沿水平方向飞来，正好垂直与细棒的弹性小球沿水平方向飞来，正好垂直与细棒的下端相撞。相撞后，使棒从水平位置摆到最大角度的下端相撞。相撞后，使棒从水平位置摆到最大角度=30处。处。（1）设碰撞为弹性碰撞，试计算小球的初速）设碰撞为弹性碰撞，试计算小球的初速v0的值的值（2）相碰时，小球受到的冲量有多大？（）相碰时，小球受到的冲量有多大？（22）2031Mlmvllmv2222031212121Mlmvmv)30cos1 (2312122lMgMlmglmMv)33(4)3(0所以所以glmmMv)33(4)21312(glmmvmvI32130