数值线性代数课程设计

1、数值线性代数课程设计报告(2014-2015第二学期)姓名:王美玲学号:081310104任课教师:杨熙南京航空航天大学2015 年 6 月 18Jacobi迭代法，Gauss-Seidel迭代法，SOR迭代法求解线性方程组的数值效果比较摘要：Jacobi迭代法，Gauss-Seidel迭代法，SOR迭代法是三种经典的用于求解线性方程组的迭代方法，本文主要对这三种方法的数值逼近效果进行比较。关键词：Jacobi迭代法；Gauss-Seidel迭代法；SOR迭代法；线性方程组线性方程组的求解方法可归纳为直接法和迭代法。迭代法中有三种最为经典的迭代方法，就是Jacobi迭代法，Gauss-Seid

2、el迭代法和SOR迭代法。然而三种方法的收敛性，近似解的逼近效果有不同。本文将对三种方法求解线性方程组的迭代效果做相应探讨。设有线性方程组Ax=b，A为非奇异矩阵，求x的近似解，三种迭代方法如下。1. Jacobi迭代法算法:x（1） 选取初始点 (0) ，精度要求ep，最大迭代次数N，初始化迭代次数k=0。x（2） 由 Jacobi迭代法计算公式计算点 (k+1)。(k+1)x（3） 相对误差err小于等于精度要求ep时，输出 作为方程的近似解。(k)(k+1)xx（4） = ，k=k+1,转步骤（2）。2. Gauss-Seidel迭代法算法:x（1） 选取初始点 (0) ，精度要求ep，

3、最大迭代次数N，初始化迭代次数k=0。x（2） 由 Gauss-Seidel迭代法计算公式计算点 (k+1)。(k+1)x（3） 相对误差err小于等于精度要求ep时，输出 作为方程的近似解。(k)(k+1)xx（4） = ，k=k+1,转步骤（2）。3. SOR迭代法算法:x（1） 选取初始点 (0) ，精度要求ep，最大迭代次数N，初始化迭代次数k=0。x（2） 由 SOR迭代法计算公式计算点 (k+1)。(k+1)x（3） 相对误差err小于等于精度要求ep时，输出 作为方程的近似解。(k)(k+1)xx（4） = ，k=k+1,转步骤（2）。上述三种经典迭代法收敛的充分必要条件是迭代矩

4、阵谱半径小于1。谱半径不易求解，而在一定条件下，通过系数矩阵A的性质可判断迭代法的收敛性。定理1：若系数矩阵A是严格对角占优或不可约对角占优，则Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法均收敛。定理2：（1）SOR迭代法收敛的必要条件是0<w<2；（2）若系数矩阵A严格对角占优或不可约对角占优且0<w<1,则SOR迭代法收敛。w=1时，SOR迭代法退化为Gauss-Seidel迭代法。数值例子及分析：(1) 生成随机矩阵10x10维严格对角占优矩阵A，右端随机向量b。系数矩阵A是严格对角占优，所以Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法均收敛。Jaco

5、bi迭代次数为3。Gauss-Seidel迭代次数为3。SOR迭代法：当w取0到1时，收敛，迭代次数递减，w=1时迭代次数为3；w取1到2时，迭代次数递增；w大于等于2时迭代次数超过最大迭代次数500，不收敛。多次计算可得出计算速度Jacobi>Gauss-Seidel>SOR。(2) A = b= 1 2 -2 1 1 1 1 3 2 2 1 5Jacobi迭代法，迭代矩阵谱半径为0，小于1，收敛，迭代次数3。Gauss-Seidel迭代法，迭代矩阵半径为2，大于等于1，不收敛。（3）A =b= 2 -1 11 1 1 13 1 1 -2 5Jacobi迭代法，迭代矩阵谱半径 5

6、/2，大于等于1，不收敛。Gauss-Seidel迭代法，迭代矩阵半径为1/2，小于1，收敛，迭代次数为23。参考文献：1汪仲文.解线性方程组的迭代方法之比较.喀什:喀什师范学院学报,第29卷第6期,2008年11月2徐树方.数值线性代数.北京:北京大学出版社,1995.3马昌凤.现代数值分析.北京:国防工业出版社.2013.4刘春凤,米翠兰.实用数值分析教程.北京冶金工业出版社.2006附录:源代码1.Jacobi迭代法function x,k=myjacobi(A,b,x,ep,N)%雅可比迭代法解线性方程组Ax=b%A为系数矩阵，b为右端向量，x为初始向量（默认为零向量），ep为精度%N

7、为最大迭代次数（默认最大值为500），x为近似解，k为迭代次数clear k x;if nargin<5 N=500;Endif nargin<4 ep=1e-6;endif nargin<3 x=zeros(size(b);endD=diag(diag(A);for k=1:N x=D(D-A)*x+b); err=norm(b-A*x)/norm(b); if err<ep break endendend2.Gauss-Seidel迭代法function x,k=myseidel(A,b,x,ep,N)%高斯-赛德尔迭代法解线性方程组Ax=b%A为系数矩阵，b为右端

8、向量，x为初始向量（默认为零向量），ep为精度%N为最大迭代次数（默认最大值为500），x为近似解，k为迭代次数clear k x;if nargin<5 N=500;endif nargin<4 ep=1e-6;endif nargin<3 x=zeros(size(b);endD=diag(diag(A);L=D-tril(A);U=D-triu(A);for k=1:N x=(D-L)(U*x+b); err=norm(b-A*x)/norm(b); if err<ep break; endend3.SOR迭代法function x,k=mysordd(A,b,w,x,ep,N)%超松弛迭代法（SOR）解线性方程组Ax=b%w为松弛因子%A为系数矩阵，b为右端向量，x为初始向量（默认为零向量），ep为精度%N为最大迭代次数（默认最大值为500），x为近似解，k为迭代次数clear k x;if nargin<6 N=500;endif nargin<5 ep=1e-6;endif nargin<4 x=zeros(size(b);endif nargin<3 w=