人教版八级上册数学讲义

1、八年级数学讲义第11章 三角形三角形的概念1.三角形的定义由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形要点：三条线段；不在同一直线上；首尾顺次相接.2. 三角形的表示 ABC 中，边：AB, BC, AC 或 c, a, b.顶点：A, B, C .内角：/ A ,Z B ,Z C.二、三角形的边1.三角形的三边关系：证明所有几何不等式的唯一方法(1) 三角形任意两边之和大于第三边 ：b+c>a(2)三角形任意两边之差小于第三边：b-c<a1.1判断三条线段 a、b、c能否组成三角形.当a最长，且有b+c>a时,就可构成三角形.1.2确定三角形第三边的取值范围

2、：两边之差 <第三边 <两边之和.2. 三角形的主要线段 2.1三角形的咼线从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线 锐角三角形三条高线交于三角形内部一点； 直角三角形三条高线交于直角顶点； 钝角三角形三条高线所在直线交于三角形外部一点2.2三角形的角平分线三角形一个角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。三条角平分线交于三角形内部一点2.3三角形的中线B连结三角形一个 顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线。三角形的三条中线交于三角形内部一点三、三角形的角1三角形内角和定理三角形中至少有 2个锐角三角形中

3、至多有1个钝角结论： ABC中：/ A+Z B+Z C=180°结论2:在直角三角形中，两个锐角互余.注意：在三角形中，两个内角可以求出第三个内角如：在 ABC中，Z C=180° Z A+Z B 在三角形中，三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角. 如： ABC 中，Z A：Z B：Z C=2: 3： 4,求Z AZ BZ C 2三角形外角和定理2.1外角：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的角.2.2性质： 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角 三角形的一个外角与与之相邻的内角互补2.3外角个数：过三角形

4、的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角相等 可见一个三角形共有 6个外角四、三角形的分类(1) 按角分：锐角三角形 直角三角形 钝角三角形(2) 按边分：不等边三角形底与腰不等的等腰三角形等边三角形五多边形及其内角1、 多边形的定义：在平面内，由一些线段 首尾顺次 相接组成的图形叫做多边形2、正多边形：各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。3、多边形的对角线(1) 从n边形一个顶点可以引(n 3)条对角线，将多边形分成(n 2)个三角形。k料 3)(2) n边形共有' 条对角线。4、n边形的内角和等于(n 2) 180° (n> 3, n是正整数)。任意凸形多

5、边形的外角和等于 360多边形外角和恒等于 360 °，与边数的多少无关.多边形最多有3个内角为锐角，最少没有锐角如矩形 ；多边形的外角中最多有3个钝角，最少没有钝角.5、 实现镶嵌的条件：拼接在同一点的各个角的和恰好等于360 °相邻的多边形有公共边。【考点三】判断三角形的形状&假设 ABC的三边a、b、c满足a-b b-cc-a=0,试判断 ABC的形状。9、a, b, c是厶ABC的三边，且满足a2+b2+c2=ab+bc+ca，试判断 ABC的形状。10、假设 ABC的三边为a、b、c a与b不相等，且满足a3-a2b+ab2-ac2+bc2-b3=0 ,试

6、判断 ABC 的形状。、三角形角有关计算1. 如图 ABC中AD是高,AE、BF是角平分线，它们相交于点 解 AD> ABC的高，/ C = 70 ° / DAC =180-90° -70° =20°/ / BAC =50 / ABC =180-50° -70° =60° AE和BF是角平分线 / BAO =25 , / ABO =30O,/ A= 50° , / C = 70° 求/ DACZ AOB2.如图， ABC中，D是 BC边上一点，Z 1= / 2, / 3=/4,/ BAC= 63解设

7、1x012,2 x0312 2x0又-3442x0又-24BAC 1800x2x6301800x39°DAC630 0 03924,求/ DAC的度数3. ：P是厶ABC内任意一点.求证：/ BPC>/ A解:建也BP支AC于点DVZBPCAAPDC 的外角:.ZBPOZPDC同理可ZPDOZATBD是AC边上的馬:.ZBPOZA4. 如图，/ 1 = / 2,/ 3= / 4，/ A= 100° ,求 x 的值 / AOB =180-25° -30° =125°.:VZ1=Z2 Z>Z4AZABC<Z2 ZACB=1Z4奋

8、AABf 中 ZA+ZAB+ZACB=180c：(Z.V2(Z1+Z4H««°7 ZA= 100°AZ2+ZWO07Z2+Z4+x=l8r二 a-14«°5 ABC的/ B、/ C的平分线交于点 0。求证：/ BOC=90 +/ A 角平分线模型证明:VBO. <?O是ZB. ZC的平分线:.Z1=Z2Z3=Z4在R(>C中 ZB(H>Z2+Z3=1KO* AZ2+Z3-180* - Z1MX1在中 Z A+Z ABCZACB=180fiAZA+2(Z2+Z3)=18ttc,A ZA+2(180' -ZBOC

9、)=180"ZBK=90c + ZA6：BP、CP是厶ABC的外角的平分线，交于点 P。 求证：/ P=90°-证明：7BP. CP*#bJB平分线二 Z1=Z2VZEBC'JtAABCfiZEBC=Z4+ZA( B-ZA+(18O* -Z3-Z4)A ZEB(=Z1+Z1IZZA+ISO' -2Z3) 2Zl+2/J=/A+1NirAPBC冲NP+J十上3=1铀° 二ZI+/HT -ZFA ZA+1804 =2(180a ZP)AZMfla - ZA/ A 角平分线模型7.AABC中，/ ABC的平分线 BD和厶ABC的外角平分线 CD交于D ,

10、求证：/ A=2 / D 角平分线 模型证明:7BD. CD是角平分线:.Z1=Z2Z3=Z4在BDC中 Z4-Z2+ZD:.Z3=Z2+Z1)在4BC 中 ZACE=ZA+ZABCA2Z3=ZA+2Z2A2(Z2+ZD)= ZA+2Z2:.ZA=2ZI)8AAOB中，/ AOB=90 °，/OAB的平分线和 ABC的外角/ OBD平分线交于 P,求/ P的度数frVAP. BPAA 平分茂:、Z1=Z2Z3=Z4AA.BPZ4Z2+ZP AZ3=Z2+ZP 在儿IW中 ZOBD=ZCHZOAB MZ3=ZO2Z2 2(Z2+ZP)= ZO+2Z2 :.ZO=2ZP:.ZP=45*9

11、如图：求证：/ A+ / B+ / C= / ADC 飞镖模型讪明:连揍BD并延枚到E、:Z AI>E=Z ABIHZAZCDB-ZCBIH-ZCV ZAIMZABIZC'BDZABC=ZABD+ZAA ZA+ZABC+ZC=Z AM第12章全等三角形一、全等三角形的概念与性质1、 概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。1表示方法：两个三角形全等用符号“也来表示，记作ABC也 DEF2、性质：1对应边相等2对应角相等3周长相等4面积相等、全等三角形的判定1全等三角形的判定方法:SAS ,(SSS), (ASA), (AAS),(HL)边边边SSS边角边SAS角边角ASA角

12、角边AAS直角边和斜边HLA/AA1B"C三边对应相等的 两三角形全等有两边和它们的夹 角对应相等的两个 三角形全等有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等两角和及其中一 个角所对的边对 应相等的两个三 角形全等有一条斜边和一条 直角边对应相等的 两个直角三角形全等HL2 全等三角形证题的思路:找夹角SAS两边找直角HL 找第三边SSS假设边为角的对边，那么找任意角AAS一边一角找角的另一边SAS边为角的邻边找边的对角 AAS找夹边的另一角ASA两角找两角的夹边ASA 找任意一边AAS3全等三角形的隐含条件：公共边或公共角相等 对顶角相等 利用等边等角加或减等边等角，其和或差仍相等

13、 利用平行线的性质得出同位角、内错角相等【知识要点】全等三角形SAS两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边或SAS',几何表示如图，在 ABC和 DEF中,AB DEB EBC EF【典型例题】ABC 也 DEF (SAS)A BE=CD.角形。求证：BD+ CD=AD【例1】 ：如图，AB=AC , AD=AE ,求证:BE=CD.证明：在厶ABE和厶ACD中,AB=AC ,/ BAE= / CADAD=AE ABE ACD【例2】 如图，：点DE在BC上,且BD=CEAD=AE / 1 = / 2,由此你能得出哪些结论？给出证明【例4】如图，点A F、C、D在同一

14、直线上， 点B和点E分别在直线 AD的两侧，AB/ DE 且 AB= DE, AF= DC。求证：BC/ EF。证屮】:V AB/7DEJ- N2NDV AF DC/,AF+FC = DC+FC AC-DF在 A ABC AD EF 申ABDE* NA = NDAC=DF代 A ABC A DEF (SAS)J, -DFE= ACS【例5】如图， ABC BDE均为等边三【例3】 如图：AE=AF AB=AC / A=60° / B=24°,求/ BOE的度数.【知识要点】三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边或“SSS,几何表示【例1】如图，在 ABC中，M在BC上

15、，D在【典型例题】例3.如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求证:AM 上，AB=AC , DB=DC 求证：AM 是 ABC 的角平分线证明：在厶ABD和厶ACDAB=ACDB=DCAD=AD ABD ACD SSS / BAD= / CAD又 AB=AC MB=MC AM是 ABC的角平分线三线合一【例2】如图：在厶ABC中，BA=BC , D是AC 的中点。求证：BD丄AC。例4.如图，在ABC中，C 90 , D、E分求证：DE丄AB。解析畫VDAC申点己加AD-CDAAABD和厶GBD中BA=BC 弋 AD=CD 已证BDBD 公拱边AABDSACBD CsssA N NCDB

16、 全存三甯形的时应庙相寻T NADB 卜 ZC0B=1B0* 平简定义:.ZADBCDB-90"BD±AC企亘定 50别为 AC、AB 上的点，且 AD=BD,AE=BC,DE=DC.【知识要点】两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边或“AAS,【典型例题】【例1】如图，AD,AB DE, AB/DE，求证：BC=EF【例2】如图，AB=AC BC，求证：AD=AE【例3】：如图,AB=AC，BD AC，CE AB,垂足分另U为D、E, BD、CE相交于点F,求证:BE=CD.【例4】如图， 12,34，点P在AB上，可以得出PC=PD吗？试证明之.C【知

17、识要点】两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边或'AAS',【典型例题】【例1】如图， ABC中，AB AC， BE、CD分别是 ABC及 ACB平分线.求证： CD BE .证明1VAB=AC:* ABC= ACB*BE, CD分别赴N ABC和N ACB的平分线/. ZEBC = DCB& 血口和厶心葩中NDCB= ZEBCBC = 80ZABC= ZACB/. ABCDACBE(ASA)* gd BE【例2】如图，在 MPN中，H是高 MQ和NR的交点，且 MQ = NQ .求证：HN = PM.证明： MQ 和 NR 是厶 MPN 的高，/ M

18、QN =Z MRN = 90°,又/ 1 + Z 3=Z 2+Z 4= 90°, / 3 =Z 41 = Z 21 2在厶MPQ和厶NHQ中，MQ NQMQP NQH MPQ NHQ ASA PM = HN【例3】：如图 AC丄CD于C , BD丄CD于D , M是AB的中点 AC=BF .连结CM并延长交BD于点F。求证:全等三角形HL直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等，简写成HL【典型例题】1、如图，AB= CD DEI AC BF丄 AC E, F 是垂足,DE= BF 求证:AB / CD 鮮析:TOE丄AC BF丄ZAFB二NC印二9晏血宦义在 ACEDAA

19、FB 中DE=BF ZAFB=ZCED=907tL 证AB = CD二 AGED AAFBHL二ZAZC全等三角形的对应角相等 AAB/7CD内锚角相等两直线平疔 例 2、：BE丄 CD , BE= DE, BC = DA求证：BECADAE :DF丄BC例3、如图：在厶ABC中，/ C=90 , AC=BC ,过点C在厶ABC外作直线 MN , AM丄MN于M , BN丄MN于N。 1求证：MN=AM+BN。全等三角形常见辅助线的作法一倍长中线法倍长中线法：就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问 题的方法E D倍长中线法的过程：延长XX到某点，

20、使什么等于什么延长的那一条，用SAS证全等对顶角方法总结：遇中线，要倍长，倍长之后构造全等三角形_,转移边、转移角，然后和条件重新组合解决问 题【例题精讲】例1、如图1,在厶ABC中, AD为BC边上的中线.求证： AB +AC >2AD 分析：因为AD为中线，延长AD至点E,使DE=AD ,连接CE;进而利用全等三角形的判定 SASABDECD ；由全等可得_AB= EC证明：延长AD至E,使DE=AD，连接EC/ AD 是中线 DC=DB在厶CDE和厶BDA中DE=AD ,y/ CDE=Z BDA ,k DC=DB CDEA BDASAS CE=AB在厶 AEC 中 CE+AC>

21、;AE , CE=AB AB+AC>AE v DE=AD AE=2AD v AB+AC>AE AB+AC>2AD在"ADF和"BDC中AD=BD/ ADF= / BDCCD=DF"ADF 6 BDC证明：延长CD至，使DF=CD，连接BF,例2如图CB, CD分别是钝角 AEC和锐角 ABC的中线，且ACAB.求证：CE=2CD AF=BC ,AF / BC CAF+ / ACB=180° ,v / ACB= / ABC , / ABC+ / CBE=180 / CAF= / CBE 又因为 AC=BE , " CAF 6 C

22、BE CE=CF例3、 如图，在 ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EF / AD交CA的延长线于点 F，交EF于点 G，假设BG CF，求证：AD为 ABC的角平分线.证明：延长FE到点H，使HE FE，连结BH 在CEF和 BEH中CE BECEF BEHFE HE CEF 也BEHEFCEHB ,CF BHBGEHBBGE ,而 BGEAGF AFGAGF又 T EF IIAD AFGCAD ,AGFBAD例4、如图，在ABC中，AD是BC边的中线，E是AD上一点，且 BE = AC，延长BE交AC于点F.求证:AF = EF连结BG . AD是BC边的中线 DC=DB证明：延

23、长AD到点G,使AD=DG , 在厶ADC和厶GDB中rAD=DG/ ADC= / GDB DC=DB ADCGDB SSS / CAD= / BGD BG=AC又/ BE=AC , BE=BG ZBED= ZG/ ZBED= ZAEF, ZAEF= /CAD , 即：Z AEF= ZFAE , AF=EF .二截长补短法截长:1.过某一点作长边的垂线2.在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另短边相等。补短:1.延长短边2.通过旋转等方式使两短边拼合到一起。【例题精讲】例 1.如图， ABC 中，/ ACB = 2/ B,/ 1 = 7 2 求证：AB = AC + CDBD

24、C证法二：截长法证法一：补短法延长AC至点F,使得AF = AB在厶ABD和厶AFD中:Z1 二 Z2AD=AD ABD AFD SAS7 B=7 FvZ ACB = 27 B 7 ACB = 27 F而7 ACB = 7 F +7 FDC 7 F=7 FDC CD=CF而 AF = AC + CF AF = AC + CD AB = AC + CD在AB上截取AE = AC，连结DE在厶AED和厶ACD中AE = AC乂 Z1 二厶AD = AD AEDACDSAS.DE=DCt £AED= ZC':乙AED = ZE + 乙 EDE, AACB = 2-2Z3=:.SB

25、二 ED 二 X3 =刈£ + SB = AC + DC例2、 如图，在 ABC中，AD为BC边上的高，/ B=2 / C.求证：CD=AB+BD. 证明：在DC上截取DE=DB，连接 AE ,在厶 ADB 和 ADE.中 DE=DB，/ ADB= / ADE,AD=AD / ADEADB SAS AE=AB，/ AEB= / B ,/ / AEB= / C+Z CAE，/ B=2 / C, ED=BD , Z AEB=2 Z C.Z C= Z CAE，故 CE=AE=AB. CD=CE+ED=AE+ED=AB+BD.例3、如图，AD/BC , BE、AE分别是Z ABC、Z BAD

26、的平分线，点 E在CD上，求证：AB=AD+BC证明：在AB上截取AF=AD，连接EF.v AE 平分 Z BAD , Z 1 = Z 2.在厶FAE和厶DAE中，:AF=AD< Z 仁 Z 2<AE=AE FAEDAE . Z AFE= Z D又 v AD/BC Z C+ Z D=180而 Z BFE+ Z AFE= 180° Z C= Z BFE在 BFE禾口 BCE中Z C=Z BFEZ 3= Z 4,BE=BE BFE BCE BF=BC AD+BC=ABsc例4、如图，ABC中，AB >AC , AD是Z BAC的角平分线，P是线段AD上任一点除 A、D外

27、的任意一点。求证：AB AC > PB PC证明：在AB是截取AE = AC 在ACP与AAEP中，有:rAC = AE < Z EAP = Z CAP AD是Z BAC角平分线Lap = ap公共边 AACP AEP SAS PC = PE 全等三角形对应边相等v BE > PB PE 三角形两边差小于第三边 BE > PB PC 等量代换BE = AB AEAC = AEBE > PB PCAB AC > PB PC学习文档仅供参考角平分线具有两条性质:三 与角平分线有关的辅助线a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。解法1:在AC上截取AE使

28、AEAB，连结AE .BADDAE , AD AD， A ABDAED , Z BZ AED , BD DE .E又 ABBD AC ,/ CEBD DE ,CDB Z CZ EDC ,图1 BAED 2 C , Z BZ C 2 1 .解法2:延长AB到F，使AFAC，连结DF .1截取构造全等例1如图1，在 ABC中，AD平分/ BAC , AB BD AC，求:/FAD= / CAD , AD=AD CAD FAD(SAS) AC=AFB C的值.A又 AB BD ACAB+BF=AF BD=BF Z ABC=2 Z F=2 Z C2、“角平分线 +垂线构造全等三角形或等腰三角形例2如图

29、3，在四边形 ABCD中，BC BA , AD DC , BD平分Z ABC .求证：Z A Z C 180 .证明：过点D作DE丄AB，交BA延长线于点E，作DF丄BC，交BC于点F/ BD 平分 Z ABC , DE DF .又T AD CD , Rt EAD 如 Rt FCD , Z EAD Z C .A 90 , 2CE .证明：延长CE交BA的延长线于点F ,/ BE是Z ABC的平分线，BECF , Z BCF Z F , FBC是等腰三角形. CE FE . CF 2CE ./ AB AC , Z ABD Z ACF ,Z BAD Rt BAD 如 Rt CAF ./ Z EAD

30、 Z BAD 180 , C BAD 180 .例3如图4，等腰三角形 ABC中， 作BD的垂线交BD的延长线于点 E .求证：BD BD CF 2CE .Z CAF90图3Z B的平分线交AC于点D，过点C角平分线的性质1、角的平分线的性质角的平分线上的点到角的两边距离相等。例1，如图，0C是/ AOB的角平分线，点 P是0C上一点，PD丄OA于点D, PE丄OB于E,求证：PD=PE。证明： PD丄OA , PE丄0B / ODP= / OEP=900垂直的定义 又 OC平分/ AOB/ AOC= / BOC角的平分线定义在 Rt DOP 和 Rt EOP 中AOC BOCODP OEPO

31、P OP Rt DOP也 Rt EOP AAS PD=PE全等三角形的对应边相等2、角的平分线的逆应用角平分线的判定角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。PE丄OB于E,例2：如图，点P在/ AOB内部的一条射线 OC上，并且PD丄OA于点 PD=PE。求证：射线 OC是/ AOB的平分线。/ ODP= / OEP=900垂直的定义证明： PD 丄 OA , PE丄 OB在 Rt DOP 和 Rt EOP 中,OP OPPD PE Rt DOP也 Rt EOP HL即射线OC平分/AOB/ DOP= / EOP全等三角形的对应角相等【典型例题】例3:如图， OE平分/ AOB , B

32、C丄OA , AD丄OB。求证：EA=EB例4:如图， CD丄AB于D, BE丄AC于E, CD , BE相交于点O, OB=OC求证：/仁/2AIXBC例5:如下列图， 0D平分/ AOB，在 OA , OB边上取PN 丄 AD。求证：PM=PN例6:如图，AD是厶ABC中/ BAC的平分线，DE, DF分别是 ABD和厶ACD的高，那么 EF与 AD有何特殊的位置关系？试证明你的结论。例 7:如图，在四边形 ABCD 中，BC>BA , AD=DC , BD 平分/ ABC。求证：/ A+ / C=18O0。知识网络结构图轴对称图形轴对称第13章轴对称-(1)定义：如果一个图形沿一条

33、直线折叠，直线两旁的局部能够互相重合, 这个图形就叫做轴对称图形这条直线就是它的对称轴两个图形成轴对称(或一个图形是轴对称图形)，那么对应线段性质(对折后重合的线段)相等；对应角(对折后重合的角)相等对称轴垂直平分连接对应点的线段定义:经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫 做这条线段的垂直平分线(3)垂直平分线性质:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的判定:距离相等与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上广轴对称变换：由一个平面图形得到它的轴对称图形，叫做轴对称变换作轴对称图形1用坐标表示轴对称P(x, y)关于x轴的对称点的坐标为P' (x, yP(x, y)关于y轴的对称点的坐标为P" ( x, y)等腰三角形&广定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形(1) 等腰三角形的两个底角相等(等边对等角)(2) 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(三线合一)1、轴对称及轴对称图形轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的局部能够互相重合，这个图形就叫做 轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。这时我们就说这个图形关于这条直线或轴对称。