中考数学压轴题破解策略专题21《等腰三角形的存在性》

1、专题21等腰三角形的存在性破解策略以线段AB为边的等腰三角形构造方法如图1所示：等腰三角形的另一个顶点在线段 AB的垂直平分线上，或以 A, B为圆心、AB长为半径的圆上(不与线段 AB共线)图2解等腰三角形的存在性问题时，若没有明确指出等腰三角形的底或腰，就需要进行分类讨论.通常这类问题的解题策略有：(1)几何法：先分类讨论，再画出等腰三角形，后计算.如图2,若AB= AC过点A作ADL BC,垂足为D,则BD= CD / BAD= /CAD从而利 用锐角三角函数、相似三角形等知识解决问题.(2)代数法：先罗列三边长，再分类讨论列方程，然后解方程并检验.有时候将几何法和代数法相结合，可以使得

2、解题又快又好.例题讲解例1如图，正方形 ABCD勺边长是16,点E在AB边上，AE= 3, F是BC边上不与B, C重 合的一个动点，把 EBF沿EF折叠，点B落在B'处.若 CDB恰为等腰三角形，则 DB'F解16或4而如图1,当CB = CD时，点F与点C重合，不符合题意，舍去；如图2,当DB = CD时，DB = 16;如图3,当DB = B' C时，过点B作GH/ AD交AB于点G,交CD于点H 显然G H分别为 AB CD的中点.由题意可得B' E 13, DH= BG= 8,所以EG= 5,从而 B' G= JB' E2- EG2 =

3、12, B' H= 4,所以DB =而H2DH 2 =4 3.10DB =16 （易知点F在BC上且不与点 C B重合）.图2如图3所示：当 B D= B' C时，过B'点作GH/ AD则/ B G290°B F C图3，一一一一 1 一当 B' C= B' D时，AG= DH=，DC= 8.2由 AE= 3, AB= 16,得 BE= 13.由翻折的性质，得 B' E= BE= 13. .EG= AG- AE= 83=5, B，G= x/b'E2 -EG2 =12, .B' H= GH- B' G= 1612

4、= 4,DB = B'H2 DH2 =4 5例2 如图，在 ABC中，/ ACB= 90° , AC= 4cm, BC= 3cm.如果点 P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s.连接PQ设运动时间为t (s) (0<t<4),解：如图，过点 P作PHLAC于H, / C= 90 , A ACL BCPHAPBCABPH/ BC . APHh ABCAC= 4cm BC= 3cm, . AB= 5cmPH5 -t.PH= 3- 3t, AH=4(5 -t)5一 9QH= 4-9t ,5哈 J(4-5

5、t)23-|t)2-J158t2 -18t+25在 APC,当AQ= AP即t=5-t时，解得：ti =当PQ= AQ1；t2 -18t 25=t时，解得:2513,t 3= 5；当PQ= AP即 J£t2 18t +25=5 - t 时，解得：14= 0,t5 =4013 -0<t <4, t 3= 5 , t 4= 0不合题意,舍去,5，当t为一s或22513s或40s时，AP德等腰三角形.13例3如图，在平面直角坐标系 xOy中，矩形OABC勺边OA& y轴的正半轴上，OCft x轴的5正半轴上，OA= 1, OC= 2,点D在边OCh且OD=-.4(1)求

6、直线AC的解析式；(2)在y轴上是否存在点 P,直线PD与矩形对角线 AC交于点M使得 DMC；等腰三角形?若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）设直线 AC的解析式y= kx+b,又 OA 1, OC= 2,1.A(0, 1) , C(2, 0)代入函数解析式求得：k=，b=12 1直线AC的函数解析式：y = _ x+12（2）若D底边,.M的横坐标为 13则点M的坐标为（一,813一, 8)16，直线DM军析式为：y =5- P (0,); 83若 DMK/底，则 CD= CM=4 .AM= AN= 75-3 ,. . N (而一：，1),可求得直线D

7、M勺解析式为y=( P (0, ( >/5+2 )4 5+23若 CMK/底，则 CD= DM=4点M的坐标为（,）5545直线DM勺斛析式为y = x+ , 335，点P的坐标为（0, 1）3综上所述，符合条件的点 P的坐标为（0,(0,V5+2 ),0,例4已知抛物线y= x2+mx n的对称轴为x= 2,且与x轴只有一个交点.(1)求m n的值；(2)把抛物线沿x轴翻折，再向右平移 2个单位，向下平移1个单位，得到新的抛物线 C, 求新抛物线C的解析式；(3)已知P是y轴上的一个动点，定点 B的坐标为(0, 1),问：在抛物线 C上是否存在 点D,使 BPM等边三角形？若存在，请求

8、出点D的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)二抛物线的对称轴为 x=- 2,. mR 4.抛物线与x轴只有一个交点，n24n=0. 从而 n=4.(2)原抛物线的表达式为 y = x 4x 4 = ( x+ 2) 所以抛物线C的表达式为y= x2-1.(3)假设点D存在，设点 D的坐标为(d, d21).如图，作DHL y轴于点H, 则 DH= d2, BH= (d22)若BPD等边三角形，则有也=用，即BHd2=3 (d22) 2,解得d=.3或= 经3所以满足条件的点 D存在，分别为D ( J3 , 2),D2 (-43, 2) , D ( ' 3 ,- 332.3口(一 丁1)

9、 3例5如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= 1x23x8与x轴交于A, B两点，与 2y轴交于点C,直线l经过原点O与抛物线的一个交点为 D,与抛物线的对称轴交于点 E(3, -4),连结CE若P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为(0, m ,直线PB与直线l交于点Q.试探究：当 m为何值时， OP理等腰三角形.2可得点A, B,(x8)(x+2),2C的坐标分别为(2, 0) , (8, 0) (0, -8).所以 OEO顶角为钝角的等月三角形，即/ OEC> 90。， OPQ1等腰三角形有三种可能：当PO= PQ时，即/ OPQ；顶角，显然/ POO / COE所以/ OPQ=

10、/ OEO 90 ,由题意可知这种可能性不存在；当OP= OQ寸，则/ OP食/ OQP如图1,过点E作PQ的平行线，分别交 x轴，y轴于点F, G,则/ OG£ / OP® / OQPZ OEG所以OG= OE= 5,即点G的坐标为（0, 5）,所以直线GE的表达式为y= -x-5,3所以点F的坐标为（5, 0） .而OP二也，OG OF所以口=之，即m=8 ；5153所以 CE= (3 0)2 ( 4 8)2=5= OE当 QO= QP寸，则/ QPO= / QOP / OCE 所以 CE/ PQ 如图2,设直线CE与x轴交于点H.由C, E两点的坐标可得直线 CE的表

11、达式为，y=4x 8.3所以点H的坐标为（6, 0）.OC OH = ?OP OB所以 _8_ =6 ,即 m =_ 32 .一m 83综上可得，当 m的值为一8或一32时， OPQ1等腰三角形.33进阶训练1 .如图，在 Rt ABC, / ACB= 90° , AC= 6, BC= 8,点D以每秒1个单位长度的速度 由点A向点B匀速运动，到达 B点即停止运动，M N分别是AD CD勺中点，连结 MN设点 D运动的时间为t ,若 DMN1等腰三角形，求t的值.【答案】t=5, 6或36时， DMN1等腰三角形.5B, C.22 .设二次函数y = x2+2ax+ （a<0）的

12、图象顶点为 A,与x轴的交点为 2（1）当 AB8等边三角形时，求 a的值，（2）当 AB8等腰直角三角形时，求 a的值.【答案】(1) a= %6； (2) a= «23 .如图，在平面直角坐标系中，点 A的坐标为（一2, 0）,点B的坐标为（0, 2） , E为 线段AB上的一个动点（不与点 A B重合），以E为顶点作/ OF尸45° ,射线ET交线段 OW点F, C为y轴正半轴上一点，且 OC= AB.抛物线y=T2x2+m奸n经过A, C两点.(1)求此抛物线的函数表达式；(2)求证：/ BE已 Z AOE(3)当 EO耽等腰三角形时，求此时点E的坐标.【答案】(1

13、) y= *2x2 42x+242; (2)略；(3)点 E 的坐标为(一1, 1),(2, 2-隹).【提示】(2)由/ BA仔/ FEO= Z ABO= 45°即可证；(3)分类讨论：当 OE= OFM,点E与点A重合，不符合题意；点E0= EF时(如图1),易证 AF孽 BFE=从而 BE= AC= 2,再过点 E作E* y轴，即可求得点 E ( 2 , 2- 22 );当FE= FD时(如图2),此时 BFE OFE匀为等腰直角三角形，求得点 E( 1, 1).4.如图，抛物线 y=ax26x+c与x轴交于点A(5, 0) , B(1, 0),与y轴交于点 C, P是抛物线上

14、的一个动点，连结 PA过点P作y轴的平行线交直线 AC于点D,请问： APDT归否为等腰三角形？若能，求出此时点 P的坐标；若不能，请说明理由.【答案】 APDt归为等腰三角形，点 P的坐标为(一2, 3) , (1,0), (6泥 7),或(2 2, - 6>/2-7).【提示】由点A, B的坐标可得抛物线的表达式为y=ax2-6x-5.从而得到C(0, -5).所以直线AC y=-x5.2可设点 P (mj m 6m- 5),则 D (簿一m- 5). APD等腰三角形有三种情况，由/ ADP= 45。或135。.用代几结合解决问题.当 A鼻AD时，/ FAD= 90 ,得 P (

15、2, 3);当 A鼻 PD时，/ APD= 90 ,得 P (1,0);当AD= PD时，可列方程 m2 +5m =、2|m + 5 ,从而 m= 士&，得 P（、.2, 6 避7）,或（、2, -6.2-7）.5 .如图，抛物线 y=ax2+2x 3与x轴交于A B两点，且点 B 的坐标为（1, 0）.直线y=2x 4分别与x轴，y轴交于C, F39x两点.Q是直线CF下方的抛物线上的一个动点， 过点Q作y轴的平行线，交直线CF干点D.点 E在线段CD勺延长线上，连结 QE问：以QM腰的等腰 QDE勺面积是否存在最大值？若 存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.【答案】存在，以 QD腰的等腰 QDE勺面积最大值为5413224 一【提不】有题意可得抛物线的解析式为y = x +2x 3,