人教版八年级上册数学专题全等三角形中辅助线的添加

1、学习必备欢迎下载全等三角形中辅助线的添加一.教学内容：全等三角形的常见辅助线的添加方法、基本图形的性质的掌握及熟练应用。二.知识要点：1、添加辅助线的方法和语言表述(1)作线段：连接；(2)作平行线：过点作/；(3)作垂线(作高)：过点作!，垂足为；(4)作中线：取中点，连接；(5)延长并截取线段：延长使等于；(6)截取等长线段：在上截取，使等于；(7)作角平分线：作平分；作角等于已知角；(8)作一个角等于已知角：作角等于。2、全等三角形中的基本图形的构造与运用常用的辅助线的添加方法：(1)倍长中线(或类中线)法：若遇到三角形的中线或类中线(与中点有关的线段)，通常考虑倍长中线或类中线，构造全

2、等三角形。(2)截长补短法：若遇到证明线段的和差倍分关系时，通常考虑截长补短法，构造全等三角形。截长：在较 长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；补短：将一条较短线段延长，延长部 分等于另一条较短线段， 然后证明新线段等于较长线段；或延长一条较短线段等于较长线段，然后证明延长部分等于另一条较短线段。(3) 一线三等角问题("K'字图、弦图、三垂图)：两个全等的直角三角形的斜边恰好是一个等腰直角三角形的 直角边。(4)角平分线、中垂线法：以角平分线、中垂线为对称轴利用”轴对称性“构造全等三角形。(5)角含半角、等腰三角形的(绕顶点、绕斜边中点)旋转重合

3、法：用旋转构造三角形全等。(6)构造特殊三角形：主要是 30°、60°、90°、等腰直角三角形(用平移、对称和弦图也可以构造 )和等边三 角形的特殊三角形来构造全等三角形。三、基本模型：(1) ABC中AD是BC边中线方式1: 延长 AD到E,使DE=AD连接BE ECF，AD于F,作B已AD的延长线于 E,连接BE方式2:间接倍长，作方式3: 延长 MDiij N,使DN=MD连接CD(2)由 AB/BCDI 出由AB® BCD导出由 AB段 BCDI出EC=AB-CDBC=BE+ED=AB+CDED=AE-CD(3)角分线，分两边，对称全等要记全 角

4、分线+垂线，等腰三角形必呈现(三线合一)(4)旋转:方法：延长其中一个补角的线段（延长CM E,使 ED=BM 连 AE延长 CB至ij F,使 FB=DN,连 AF )结论： MN=BM+DNC CMN =2ABAM AN分另I平分/ BMNf口 / DNM翻折:NB思路：分别将 AB林口 ADNA AMffi AN为对称轴翻折，但一定要证明 M P、N三点共线.（/ B+/ D=1800且AB=AD（5）手拉手模型ABE ACF均为等边三角形结论：（1） ABFAAECC （2） / B0E=/ BAE=60 （“八字型”模型证明）；（3） OA平分/ EOF 拓展：条件： ABCCDE匀

5、为等边三角形学习必备欢迎下载结论：(1)、AD=BE (2)、/ACBh AOB (3)、 PCQ等边三角形(4)、PQ/ AE (5)、AP=BQ (6)、。0¥分/八0£(7)、OA=OB+OC(8)、OE=OC+OD(7) , (8)需构造等边三角形证明)* ABD ACE匀为等腰直角三角形1结论：(1)、BE=CD (2) BE! CDABE侪口 ACH9为止方形E结论：(1)、BD± CF (2)、BD=CF 变形一：ABEFF口 ACH的为止方形，求证：T为FD的中点.SABC方:8S方法二：士,8S CAECAS! BC交 FD于 T,=S&

6、DF .方法三:E学习必备欢迎下载H *C变形二：ABE读口 ACH的为止方形，M为FD的中点，求证：白NC180 , 当以AB AC为边构造正多边形时，总有：/1 = /2=AN! BC>360 二n .IK</BCD四、典型例题：考点一：倍长中线（或类中线）法:核心母题 已知，如图 ABC中，AB=5, AC=3则中线 AD的取值范围是练习:1、如图， ABC中，E、F分别在 AB AC上，DEL DF, D是中点，试比较 BE+CF与EF的大小.2、如图， ABC中，BD=DC=ACE是DC的中点，求证： AD平分/ BAE.3、如图，CE CB分另1是4 ABCW4ADC的

7、中线，且/ ACBhABC求证：CD=2CE4、已知：如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，点5、如图，D是AB的中点，/ ACB=90，求证：2CD=AB.DE交 BC于 F,且 DF=EF 求证：BD=CE6、已知在 ABC中，AB=AC D在AB上，E在AC的延长线上,学习必备欢迎下载7、已知在 ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且 BE=AC延长BE交AC于F,求证：AF=EE8、已知：如图，在 AABC中，AB=AC, D> E在BC上，且DE=EC过D作DF BA交AE于点F, DF=AC. 求证：AE平分/BAC 。9、以AABC的两边AB A腰分别向外作

8、等腰Rt AABD和等腰Rt MCE ? -BAD 7cAE = 90"，连接DE mN另iJ是BC DE勺中点.探究：AMf D的位置关系及数量关系.(1)如图 当.ABC为直角三角形时，aM< DEE勺位置关系是 ,线段AMT DEE勺数量关系(2)将图中的等腰 Rt MBD绕点A沿逆时针方向旋转 日(0<九90)后，如图所示，(1)问中得到的两个结 论是否发生改变？并说明理由.10、已知： ABC八口四两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BQ DA=DE联结EC取EC的中点 M 联结 BM口 DM(1)如图1,如果点D E分别在边AC AB上，那么BM DM勺数量

9、关系与位置关系是 ;学习必备欢迎下载(2)将图1中的 AD磔点A旋转到图2的位置时，判断(1)中的结论是否仍然成立，并说明理由.变式1:已知：在 RtABC中,AB=BC在 RtADE中，AD=DE连结 EC,取EC的中点 M,连结 DM BM(1)若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图，探索 BM DM的关系并给予证明；(2)如果将图中的 AD遴点A逆时针旋转小于45°的角，如图，那么(1)中的结论是否仍成立？如果不 成立，请举出反例；如果成立，请给予证明.图图变式:2 :已知： ABCCnADEIB是等腰直角三角形，/ AB(=/ADE90° ,点M是CE

10、的中点，连接 BM (1)如图，点D在AEL匕连接DM并延长D帜BC于点N,可探究得出BD与BM勺数量关系为 (2)如图，点D不在AB上，(1)中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由变式3：四边形ABCD是正方形，ABEF是等腰直角三角形，/BEF=90，BE = EF ,连接DF , G为DF的中点，连接EG, CG, EC。(1)如图24-1 ,若点E在CB边的延长线上，直接写出 EG与GC的位置关系及 空 的值；GC(2)将图24-1中的ABEF绕点B顺时针旋转至图24-2所示位置，请问(1)中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；(3)

11、将图24-1中的iBEF绕点B顺时针旋转口( 09<口 <90口)，若BE=1 , AB = J2,当E, F, D三点共线时，求DF的长及/ ABF的度数。图 24-2备用图考点二：截长补短法：核心母题如图，AD / BC, EA,EB分另I平分/ DAB, / CBA, CD± 点 E,求证：AB=AD+BC.练习: 如图a, ABCn CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点G连接AF和BE.(2)线段AF和BE有怎样的大小关系 ？青证明你的结论;将图a中的 CEF绕点C旋转一定的角度，得到图 b, (1)中的结论还成立吗？作出判断并说明理由;学习必备欢迎

12、下载、已知：如图,ABC 是等边三角形，/BDC =120口，求证：AD = BD+CD.、已知四边形ABCD 中，AB= BC, /ABC =60口 ,P为四边形 ABCD的对角线 BD上一点，且ZAPD =120。，求证：PA + PD+PC = BD2、在 ABC中，/BAC=60 , / C=40° , AP 平分/ BAC交 BC于 P, BQ平分/ ABC交 AC于 Q,求证：AB+BP=BQ+AQ3、如图，在 &ABC 中，/ABC =60)AD, CE分另为 /BAC,/ACB 的平分线，求证： AC=AE+CD4、如图，在 ABC中，AB=AC D是 ABC

13、外一点，且/ ABD=60 , / ACD=60 求证：BD+DC=AB5、已知：如图在 ABC中，AB=AC D为 ABC外一点，/ ABD=60 , / ADB=90 - / BDC 求证：AB=BDF DC2AD=DE 求证：BD=EC.2、两个全等的含30° , 60°角的角板ADE和角板ABC如图所示放置，E, A, C三点在一条直考点三：一线三等角问题（“K”字图）核心母题 已知：如图，在RtABC中，/练习：1、已知：如图，在矩形 ABCD中，E、F分另1J是边BC、AB上 的点，且EF=ED, EF± ED.求证：AE平分 / BAD.线上，连接B

14、D,取BD的中点M,连接ME, MC 试判断 EMC的形状，并说明理由.3、如图，在MN经过点C,ABC 中，NACB =90； AC =BC ,直线且AD _L MN于点D, BE -L MN于点E。(1)(2)(3)当直线当直线当直线MN绕点MN绕点MN绕点C旋转到图（1）C旋转到图（2）C旋转到图（3）的位置时，求证: 的位置时，求证: 的位置时，试问:DE=AD+BEDE=AD- BE;DE, AD, BE有怎样的等量关系？请写出等量关系，并加以证明。4、如图所示，AE± AB, BC，CD且AB=AE, BC=CD, F、A、G C、H在同一直线上，如 按照图中所标 注的数

15、据及符号，则图中实线所围成的图形面积是？6、小雨遇到这样一个问题：如图 1,直线Il/ 12/13 , 11与12之间的距离是1, 12与13之间的距离是2,试画出一个等腰直角三角形 ABC使三个顶点分别在直线 11、12、13上，并求出所画等腰直角三角形ABCW面积.111213图2小雨是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法利用平行线之间的距离，根据所求图形的性质尝试用旋转的方法构造全等三角形解决问题.具体作法如图2所示：在直线11任取一点A,作ADL 12于点D,作/ DAM90° ：在AH上截取AEAD过点E作EBL AE交13于点B,连接AB,作/ BA（=90 ,交直

16、线1 2于点C,连接BC即可得 到等腰直角三角形 ABC请你回答：图2中等腰直角三角形 ABC勺面积等于 .参考小雨同学的方法，解决下列问题：如图3,直线11/ 12/ 13, 1 1与12之间的距离是2, 12与13之间的距离是1,试画出一个等边三角形 ABC使 三个顶点分别在直线1八12、13上，并直接写出所画等边三角形ABC勺面积（保留画图痕迹）.111112121313P (5,5 )处，两条直角边与坐标轴分别交于点AOA+0B的值或取值范围;7、如图，在平面直角坐标系中，将直角三角形的直角顶点放在 和点B.(1)当点A、点B分别在x轴、y轴正半轴上运动时，试探究(2)点A在x轴正半轴

17、上运动，点 B在y轴负半轴上时，试探究 OA-OB的值或取值范围，直接写出结果。9、已知：在平面直角坐标系中，等腰直角4ABC顶点A、C分别在y轴、x轴上，且/ ACB=90 ° , AC=BC.(1)如图1,当A(0, -2), C(1, 0),点B在第四象限时，先写出点B的坐标，并说明理由.(2)如图2,当点C在x轴正半轴上运动，点 A(0, a)在y轴正半轴上运动，点 B(m, n)在第 四象限时，作BD± y轴于点D,试判断a, m, n之间的关系，请证明你的结论.考点四：角平分线、中垂线法核心母题1、在 MBC中，AB A AC , AD是2BAC的平分线. P是

18、AD上任意一点. 求证：AB - AC >PB -PC .A2、已知等腰直角三角形ABC, BC是斜边./ B的角平分线交AC于D,过 C作CE与BD垂直且交BD 延长线于E,求证：BD=2CE.3、如图， ABC的边BC的中垂线 DF交ABAC的外角平分线 AD于D, F为垂足，DE! AB于E,且AB> AC求证: BE-AC=AE练习1、如图所示，在 AABC中，AD是/BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较 PB + PC与AB +AC的大小，并说明理由.ACD2、如图所示：/ ABC的平分线BF与 ABC中/ ACB的相邻外角/ ACG的平分线CF相交于

19、点F,过F 作DF/ BC,交AB于D,交AC于E.问：(1)写出图中的等腰三角形并说明理由.(2)若 BD=8cm, DE=3cm,求 CE 的长.3、在 ABC 中，AB =2AC,AD 平分 NBAC, E 是 AD 中点，连结 CE ,求证：BD = 2CE4、如图， ABC 中，/ABC=2/C, BE 平分 / ABC 交 AC 于 E、AD± BE 于 D,求证： (1 ) AC-BE=AE ;(2) AC=2BD.5、如图，在 ABC中，AB> AC, E为BC边的中点，AD为/ BAC的平分线，过 E作AD的平行线，交AB于F,交CA的延长线于G.求证：BF=

20、CG.变式一：如图，在 MBC中，AD交BC于点D ,点E是BC中点，EF II AD交CA的延长线于点F ,交AB 于 点G ,若BG =CF，求证：AD为ZBAC的角平分线.F变式二：已知：4ABC中，AD是 ABC的角平分线，M为BC的中点，过点M作 MN AD,交AC于点N,求证：AN+AB=NC.S D M变式三：在 ABC3, AD是ABC勺角平分线.(1)如图1,过C作CE/ AD交BA延长线于点E,若F为CE的中点，连结 AF,求证：AFL AD(2)如图2, M为BC的中点，过 M作MIN/ AD交AC于点N,若AB=4, AC=7,求NC的长.一A ,BDCE图16、如图，

21、已知 ABC中，AB= AC, / A= 100° , / 求证：AD+ BD= BC7、如图，在 ABC中，ADL BC于 D, CD= AB+ BD, 线上。12> M、图2B的平分线交AC于D,AB 、C/ B的平分线交 AC于点E,求证：点E恰好在BC的垂直平分ACBDC8、如图1,在 ABC中，/ ACB=2Z B, / BAC的平分线 AO交BC于点D,点H为AO上一动点，过点 H作直线l ±AO于H,分别交直线 AB AC BC于点N、E、M(1)当直线l经过点C时(如图2),证明：BN=CD(2)当M是BC中点时，写出CE和CD之间的等量关系，并加以证

22、明;(3)请直接写出BZ CE CD之间的等量关系.9、如图所示，在 ABC中，/ ABC=3/ C, AD是/ BAC的平分线，BEX AD于F,求证：2BE=AC-AB变式：如图，已知在 MBC 中，ZABC =3ZC , /1 =/2 , BE_LAE.求证： ACAB=2BE10、如图所示，在 AABC 中，AD 平分/BAC , AD =AB , CM _L AD 于 M ,求证 AB + AC = 2AM .ABCM变式一：如图/ 1=/2, B为 AC中点，CML FB于 M, AN FB于 N,求证： EF=2BM FB=_ ( FM+FN变式二：如图，在 ODC中，D =9

23、d, EC是/DCO的角平分线，且OE 1 CE ,过点e作EF _LOC交OC于点F.猜想：线段EF与OD之间的关系，并证明变式三：如图所示，在 ABC中，AO AB, M为BC的中点，AD是/ BAC的平分线，若 CF± AD且交AD的延长线于一 ，、一 一 1 ， 一 一F,求证：MF (ACAB)。2考点五：角含半角、等腰三角形的(绕顶点)旋转重合法核心母题如图，在正方形ABCD43,E、F分别是BGCD力上的点，/EAF=45,求证：EF=BE+DF.变式一：如图，E、F分别是边长为1的正方形ABC两边BC CD上的点，若4ECF的周长是2,求/ EAF的度数？变式二：如图

24、，在正方形ABCD43, E F 分别是 BG CDi上的点，/ EAQ=45 , AHL EF,求证：AH=AB.综合：在正方形 ABCD若 M N分别在边BC CD上移动，且满足 MN=BM+DN求证：./ MAN45 .CCMN =2AB .AM AN 分别平分 / BM母口 / DNM.练习1、如图，在四边形 ABCD, AB=BC/A=/C=90° , / B=135° , K N分别是AR BC上的点，若 BKN的周长是AB的2倍，求/ KDN的度数？2、已知：正方形ABCD中，/ MAN=45° , / MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB D

25、C (或它 们的延长线)于点Mk N,当/MAN绕点 A旋转到BM=DN时(如图1),易证BM+DN=MN(1 )当/ MAN绕点A旋转到BMW DN时(如图2),线段BMk DN和MN之间有怎样的数量关系？写出 猜想，并加以证明；(2)当/ MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接 写出你的猜想.3、如图，在四边形ABCD43,AB=AD,/B+Z D=180°,E、F 分别是边BGCD 上的点，且2/EAF=ZBAD(1)求证：EF=BE+FD(2)如果E、F分别是边BC CD延长线上的点，其他条件不变，结论是否仍然成立？说明理由。35、如图所示，在五边形 ABCD即,AB=AE BC+DE=C>D/ ABC吆AED=180求证：AD平分/ CDE.6、如图，已知 AB=CD=AE=BC+DE=2, / ABC=Z AED=90 ° , 求五边形 ABCDE 的面积.7、如图1 .在四边形ABCD中.AB=AD, / B+Z D=180 ° , E、F分别是边BC、CD上的点，且/ BAD=2 / EAF.(1)求证：EF=BE+DF;(2)在(1)问中，若将4AEF绕点A逆时针旋转，当点E、F分别运