三角形的等积变形一

1、年 级四年级学 科奥数版 本通用版课程标题三角形的等积变形（一）编稿老师李允一校林卉二校张琦锋审核张舒这节课，我们一起来学习三角形的等积变形，它是几何问题中在求直线型面积时，很重要的一个部分，下面我们就来研究一下三角形的面积与它的底和高三者之间的关系。三角形面积的计算公式：S底×高÷2三角形面积、底和高之间的关系：从公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）；如果三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）；当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化。当三角形的底和高同时发

2、生变化时，三角形的面积不一定变化。一个三角形的面积变化与否取决于它的底和高的乘积，而不仅仅取决于底或高的变化。一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状。重要结论：等底等高的两个三角形面积相等。若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。例1 如图，在ABC中，D是BC边上一点，BD12厘米，DC4厘米。 （1）求ABC的面积是ABD面积的多少倍；（2）求ABD的面积是ADC面积的多少倍。分析与解：因为AB

3、D、ABC和ADC分别以BD、BC和DC为底时，它们的高都是过A点向BC边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。因为，12416，16÷12，所以ABC的底是ABD的底的倍，所以，ABC的面积是ABD面积的倍；同理，因为12÷43，所以ABD的面积是ADC面积的3倍。巩固理解结论：两个三角形等高时，面积的倍数底边长的倍数。例2 如图，E在AD上，AD垂直于BC， AD12厘米，DE3厘米。求ABC的面积是EBC面积的几倍。分析与解：因为AD垂直于BC，所以当BC为ABC和EBC的底时，AD是ABC的高，ED是EBC的高。于是： ABC的面积BC×12÷

4、;2 BC×6；EBC的面积BC×3÷2 BC×1.5。所以ABC的面积是EBC的面积的4倍。巩固理解结论：两个三角形等底时， 面积的倍数高的倍数。例3 如图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点为O，求证：AOB与COD面积相等。分析与解：ABC与DBC等底等高，。又 ， ，。例4 如图，ABC的面积是24，D、E和F分别是BC、AC和AD的中点。求DEF的面积。分析与解：D是BC的中点，ADC的面积是ABC面积的一半，即24÷212。 E是AC的中点，ADE的面积是ADC面积的一半，即12÷26。F是AD的中点，DEF的面

5、积是ADE面积的一半，即DEF的面积6÷23。例5 如图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，AF2CF，AFE（图中阴影部分）的面积为8平方厘米。则平行四边形ABCD的面积是多少平方厘米？分析与解：连结FB。因为AF2CF，所以AFB的面积是CFB的面积的2倍。又因为E为AB的中点，所以AFB的面积是AEF的面积的2倍。所以ABC的面积是AEF的面积的3倍。又因为平行四边形ABCD的面积是ABC的面积的2倍，所以平行四边形ABCD的面积是AFE的面积的3×26倍。因此，平行四边形ABCD的面积为8×648（平方厘米）。（答题时间：30分钟）1. 用两种不

6、同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形。2. 如图，在长方形ABCD中，AD为8厘米，AB为3厘米。请问：阴影部分的面积是多少平方厘米？3. 如图，在ABC中，D、E、F分别是BC、AD、BE的三等分点，已知27平方厘米，求。4. 如图所示，梯形ABCD的上底AD长为5厘米，下底BC长为12厘米，腰CD的长为8厘米，过B点作CD的垂线BE，BE的长为9厘米。那么梯形ABCD的面积是多少？ 5. 如图所示，正方形ABCD的边长为10，三角形BEF的面积为30。那么BF的长度为多少？1. 解：解法一：如图（1），将BC边四等分，连接A与各等分点，则ABD、ADE、AEF、AFC的面积相

7、等。解法二：如图（2），D是BC的二等分点，E、F分别是AC、AB的中点，从而得到四个等积三角形ADF、BDF、DCE、ADE。解法三：如图（3），D是BC的四等分点，E、F是AD的三等分点，从而得到ABD、AEC、ECF、FCD的面积相等。2. 解：可以通过等积变形把三个阴影三角形变成长方形的一半，所以阴影部分的面积为8×3÷212（平方厘米）。3. 解：因为D为BC边的三等分点，所以9平方厘米。同理 6平方厘米，4平方厘米，所以279648平方厘米。4. 解：连接BD，作出梯形的一条高DF。三角形BCD以CD为底、BE为高，面积为8×9÷236（平方厘米）；也可以看做以BC为底、DF为高，由BC12厘米可知DF为36×2÷126（厘米）。在梯形ABCD中，上底为5厘米，下底为12厘米，高为6厘米，面积为（512）×6÷251（平方厘米）。5. 解：三角形ABE中