范德蒙行列式及其应用

1、1预备知识定义1.1定理1.2范德蒙行列式及其应用111x1x2xn 1n 1nx1x2xn111x1x 2x n1(p133)n111x2x2叫做x1 , x2 xn的n阶范德蒙行列式叫做n阶准范德蒙行列式nx1n xn1(p133)Dn(x xj) .n证明方法一 1（p133）由Dn的最后一行开始,每一行减去它的相邻的前一行乘以x1,并由行列式的展开定理可得递推公式Dn（x2小）（*3x1) (xn x)Dn 1 ,其中 Dn 1 是 x?x3xn 的 n-1阶范德蒙行列式,由以上递推公式可求得Dn1(xxj).j i n证明方法将Dn看作系数与x1，x2, xn 1有关，未知量是xn的

2、一元多项式.则当人xi(i1,2,n 1)时，Dn 0 .所以 x，x2,xn 1 是 Dn 的根，所以，（xn % ） Dn （i1,2, n1）.又因为当时，(xnxi，xnx j)1，所以Dng ( x1x2xn )( xnx1)( xnx2 )( xnxn 1 )另一方面，如果将Dn按最后一列展开，可知道，Dn是xn的n-1次多项式，且xn 1项的系数是n-1阶范德蒙行列式2与*可比较得 Dn1同理 Dn 1(Xn 1为D11,所以DnDn1XiX2Xnn 2X1n 2X2nXng(X1X2X1 )( Xn 2(Xi1 j i nXn) 因此Dn(Xn X1)(XnX2)(Xn Xn)

3、Dn 1 ；X2) (Xn 1另外利用行列式的性质可推得性质若将Dn逆时针旋转性质若将Dn顺时针旋转性质若将Xn2)Dn 2 ；依似类推，最后有D2 D1(X2 X1) .又因n阶范德蒙行列式的性质2(p1)n(n 1)90，可得值为(1)Dn.90，可得值为(1)n(n 1)kDn .Dn旋转180，可得值为Dn .2范德蒙行列式在行列式计算中的应用2.1简单变形计算由范德蒙行列式性质(a j) (a1 j i n例2计算n+1阶行列式nana2_ nahna2 b2i)1a1nbi2a；b；(inj)n namn na2 b2k!n na hn na2 b2nan 1n -an 1bn 1

4、n 2an 1« 1nann 11b! 1n nan 1bn 1解从第i行提取公因子n -ai (|1,2,n 1),就可以得到转置的 n+1阶范德蒙行列式，于Dnnnaibii 11 j i n 1bj例3计算行列式4X1X 1XinX1X2x2 1X22X2nX2XnXn2XnnXnXn解从第行提取公因子XiXi-(i 11,2,1),然后再把第1列加到第2歹U,之后再把第2列加到第3歹U,，再把第n-1列加到第阶范德蒙行列式，于D n 'i 1 X 11Xj例4计算行列式2n2n2n解由范德蒙行列式性质得2n2n2n2nn2nn!2.2升阶法求解计算n阶行列式X1X2X

5、n 1Xn2X12X22Xn 12Xn2n2nn 12n2n2n2n2nnX1nX2n n n nKnX2nXn 1nXn2nn 12nn2n解将D升阶为下面的n+1阶行列式62n2n1nX1X1X1X1X12n2n1nX2X2X2X2X22n2n1nX n 1X n 1X n1X n1X n2n2n1nX nX nX nX nX nX2n2n1nXXXX1Xn,X 的X1,X2,既插入一行与一列，使n 1是关于n+1阶范德蒙行列式，此处X是变数.于n 1 (X X1)(X X2)(X Xn)1(Xi j i n1是一个关于x的n次多项式，它可以写成n 1(XiXj) Xn1 j i n(1)

6、(X1X2nXn)X另一方面，将n 1按其第n+1行展开，既得(Xinn2n 1 n 1Xj )x ( 1) Dx比较1中关于Xn11的系数，既得(X1X2Xn)1(XinXj).例2计算X1X2Xn2122n1n22XnnXn解将行列式增加第一行第一列并保持行列式值不变X1LXn12为L2X1LXn02 X1L2 XnX1LXn1nX1LnXn0n为Ln Xn第一个行列式按第一行展开提取nD 2 XiXXj1 jpi n02X10nX1把第一列乘以-1分别加到其它的列得2XnnXn把第一行拆分得X1LXnXi后为1 jpi n12X1L1n X1Ln Xnn阶范德蒙行列式，第二个行列式为n

7、1阶范德蒙行列式nXjXi15XiXj2.3套用定理法求解定理2.3.1Di 1X1X2XnP1P2X P1 X P2Pn i1,2,3, n 1nX1nX2nXn其中XP1 XP2Xp i是1,2,3,n中ni个数的正序排列，X X如P1 P2表示n i阶排列和，DnXpn i为n阶范德蒙行列式.证明过程大部分是用数学归纳法给出其计算结果的,本文用代数教程中广泛使用的升阶法证明证明i在行列式1中第i1行和n1列相应的兀素.1111X1X 2XnX2X12X22X n2Xi 1X1i 1X2i 1X nX iX1ix2X nX ii 1X1i 1X1i 1X1X；nX1nX2nX nnX11X

8、1考虑XnDin 1阶范德蒙行列式X2X1X3X1ii由X3X2XnX2X2Xn式的两端，分别计算多项式X2XnXiXjX中Xi项的系数.在式的左端，由行列式计算得，xi项的系数为行列式中该元素对应的代数余子式A 1,n1i 1 n 1 _/inDi 11Di1在 式的右端,由多项式计算得，由xn为f x 0的n个不同根，根据根与系数的关系，xi项的系数为anPl P2x P1 x P2Pnxi x j i 0,1 ,2, n 1其中xPl xP2xp i 是 1,2,3,n中n i个数的正序排列,xP1xP2 xp i表示n i阶排列和.iii比较f xxi项的系数计算行列式Di 1,因为式

9、的左右端xi项的系数应相等，所以Di 1x P1 x P2P1Pl P2X P2Pn ixixij i nP1 P2DiP1P2x P1 x P2Pnx Pn D0,1,2, n定理得证.利用定理可以计算各阶准范德蒙行列式，简便易行.例1计算准范德蒙行列式解由定理，因为n6,i3,所以P1a P2ap3aiaj可以看出升阶法求解中的例1套用定理求解更简单.111111a 1a 2a 3a 4a 5a 6222222a 1a 2a 3a 4a 5a 6444444a 1a 2a 3a 4a 5a 6555555a 1a 2a 3a 4a 5a 6666666a 1a 2a 3a 4a 5a 63

10、范德蒙行列式在其它方面的应用21xx21a1a11an ia2 inXnan 1 an 1，其中a1，a2an 1是互不相同的数.(1)由行列式定义，说明p X是一个n 1次多项式;(2)由行列式的性质求 p x的根.证明(1)将p x按第一行展开知它是x的多项式，又xn 1的系数为 1n 1乘以一个范德蒙行列式，其值不为零(因为2互异)，故p x为关于x的n 1次多项式.0,故 a1，a2 an 1设fxaa?xLnanxa1a2a3Lan 1anana1a2Lan 2an 1an 1ana1Lan 3an 2LLLLLLa3a，a5La1a2a2a3a，Lana1fD例21 ,L , n

11、1为全部的n次单位根，证明:证明令为n次原根，且假定11112124LLL1n 12 n 1j . i0,1,L n1用范德蒙行列式L1Ln1L2 n1LLLn 1n 1左乘D ,再从每列分别提出f 1 , f1 ,L f n1即得(2)取x a i 1,2, n，则行列式两行相同其值为零，即有p ai是p x的全部根.f 1 fn1ff 1 fD f 12fL L f 1 n 1f因为0,所以 D f 1 f L f n 1 f 0 f L f n 1只要熟悉了范德蒙行列式使用的形式和使用技巧，便可以很好地应用范德蒙行列式了.例3如果n次多项式f x an an 1x an 2x2 L a1xn 1 aoxn有 n 1 个不同的根，那么 f x 0证明设x1，x2,L xn1是f x的n1个不同的根，则有2anan 1 x1an 2x1n 1HAna°K02anan 1x2an 遇n 1nax2aox20