二重积分0811

1、 二重积分 0811 甲 内容要点 一二重积分的概念与性质 1定义 设是定义在有界闭区域上的有界函数，如果对任意分割为个小区域对小区域上任意取一点都有 存在，（其中又表示为小区域的面积，为小区域的直径，而） 则称这个极限值为在区域上的二重积分 记以，这时就称在上可积。 如果在上是有限片上的连续函数，则在上是可积的。 2几何意义 当为闭区域上的连续函数，且，则二重积分表示以曲面为顶，侧面以的边界曲线为准线，母线平行于轴的曲顶柱体的体积。 当封闭曲面它在平面上的投影区域为，上半曲面方程为，下半曲面方程为，则封闭曲面围成空间区域的体积为 3基本性质 （1）（为常数） （2） （3） 其中，除公共边界

2、外，与不重叠。 （4）若，则 （5）若，则 其中为区域的面积。 （6） （7）积分中值定理 设在有界闭区域上连续，为的面积，则存在，使得 我们也把称为在上的积分平均值。 4对称区域上奇偶函数的积分性质 定理1设在有界闭区域上连续，若关于轴对称，则 其中为在轴的上半平面部分。 定理2设在有界闭区域上连续，若关于轴对称，则 其中为在轴的右半平面部分。 定理3设在有界闭区域上连续，若关于原点对称，则 其中为的上半平面或右半平面。 定理4设在有界闭区域上连续，若关于直线对称，则 若，分别为在的上方与下方部分，则 二在直角坐标系中化二重积分为累次积分以及交换积分顺序问题 模型：设有界闭区域 其中，在上连

3、续，在上连续。 则 模型：设有界闭区域 其中，在上连续，在上连续。 则 关于二重积分的计算主要根据模型或模型把二重积分化为累次积分从而进行计算，对于比较复杂的区域，如果既不符合模型中关于的要求，又不符合模型中关于的要求，那么就需要把分解成一些小区域，使得每一个小区域能够符合模型或模型中关于区域的要求，利用二重积分性质，把大区域上二重积分等于这些小区域上二重积分之和，而每个小区域上的二重积分则可以化为累次积分进行计算。 在直角坐标系中，两种不同顺序的累次积分的互相转化是一种很重要的手段，具体做法是先把给定的累次积分反过来化为二重积分，求出它的积分区域，然后根据再把二重积分化为另外一种顺序的累次积

4、分。 三在极坐标系中化二重积分为累次积分 在极坐标系中一般只考虑一种顺序的累次积分，也即先固定对进行积分，然后再对进行积分，由于区域的不同类型，也有几种常用的模型。 模型：设有界闭区域 其中，在上连续，在上连续，则 模型：设有界闭区域 其中在上连续，在上连续，则 模型：设有界闭区域 其中在上连续，在上连续，则 模型：设有界闭区域 其中在上连续，在上连续，则 四二重积分在几何上的应用 1空间物体的体积 其中为闭曲面在平面上投影区域为上半曲面，为下半曲面。 2空间曲面的面积 其中为曲面在平面上投影，曲面的方程 乙 典型例题 一直角坐标系中二重积分的计算 例1计算，其中是由曲线，所围区域。 解： 例2计算其中是以，和为边的平行四边形区域。 例3计算其中是由摆线，的第一拱和轴所围区域。 例4计算 例5计算 例6计算，其中由，和轴所围区域。 例7计算其中由和所围区域。 二极坐标系中二重积分的计算 例1计算其中由与轴围成上半圆区域。 解：在极坐标系里， 三交换积分顺序 例1交换的积分顺序 解：原式 其中由，和所围的区域。 按另一积分顺序把二重积分化累次积分 原式 例2交换的积分顺序 例3交换的积分顺序 例4交换的积分顺序 例5交换的积分顺序 四二重积分在几何上的应用 1求空间物体的体积 例1求两个底半径为的正交圆柱面所围立体的体积