(补充例题 证明数列不存在极限

1、（补充例题: 证明数列不存在极限。证 ：设则 又因矛盾。）作业：证不存在。§2.7 函数的连续性1. 函数连续的定义设函数在点及其附近有定义，若极限存在并且等于函数在该点的值，即, 则称函数在点处连续。此时称为的连续点。如果在处不连续（即上述三条中至少有一条不满足），则称在处不连续，叫做的间断点。 （区别分段点）连续定义的换一个说法：设, ，而即， 图2.15若,则称在处连续。若函数在区间上每一点都连续，则称函数在此区间上连续. 当然，在两个端点，其极限是指单侧极限。例7.1 讨论函数在点处的连续性。解在处有定义 又 图2.16, . 故在点处连续。 例7.2若,问在处是否连续?解

2、首先在处有定义：.是分段点，要看左,右极限 图2.17. ，但，故在处不连续。例7.3 证明 在内连续。证 设是内任一点，在点取改变量，函数取得相应的改变量：，因为，. 所以，即，由两边夹定理，显然，当时,有.故在点处连续.由于是内任一点，所以 在内连续.由连续的定义可知 .所以当求在连续点处的极限时，只需直接代入便可。即.例如. 即当连续时, 运算“”与“”可以交换。我们不加证明地指出：初等函数在其定义区间（不能说成是定义域. 如定义域是离散点故不是连续函数）内都是连续的。（了解一致连续的定义（书p.86.）*例7.4 设，问能使在处连续。解，. 要使, 则须取。例7.5设，试确定的值，使在

3、-1处连续。解 ；,要使在-1处连续，则必须有：.即有， ， .例7.6 设在处连续。试求,的值。解 在处连续，. 即. 因为分母的极限为0，而整个分式极限等于2，不是，所以必须有，即，将其代入分子： .于是前面的等式变为：.即 ， , 而 .*例7.7 设对一切适合等式，且在处连续，求证在任意点处连续。证 ，所以.故在处有定义。又已知在处连续，即利用知. 在处连续。设与构成复合函数，若在点处连续，在点处连续,则复合函数在点处连续。对复合函数求极限时，可以做变换：令而得到。2间断点的分类定义1.若存在，但则称为的第一类间断点。也叫跳跃型间断点。定义2. 若都存在且相等，但不等于，则称为的可去间

4、断点。定义3.若中至少有一个不存在，则称为的第二类间断点。例 问 在处连续；又是的可去间断点。解 先求令 时，在处连续；当时，是的可去间断点。*例 指出的间断点，并说明属于哪一类间断点。（先看的图p.5）解 （当连续。）当时，有从而 即得另一方面，当时，有从而即得故为第一类间断点。因为为单调递减函数，而，故有因此，为第二类间断点（显然不属于的定义域）。二. 连续函数的性质定理1 闭区间上的连续函数必有界。（若，则> 0,有定理2 （最大值定理、最小值定理）如果在闭区间上连续，则在这个区间上一定有最大值和最小值。在定义区间上，若存在一点，使得对定义区间上的一切点，都有，则称为在定义区间上的

5、最小值。类似，若，则是在定义区间上的最大值。例如，在区间 图2.18内的最小值是-1，最大值是1.不难看出，定理1实际上 是定理2的推论，因为，如果 ，则，使得.令，则有，因此 ，有，即在上有界。定理3（零点存在定理）若，且与异号，则内至少存在一点，使得.这个定理说明，一条连续曲线从上（或下）半平面到达下（或上）平面时，至少要穿过轴一次（如下图）。例 证明方程在区间内至少有一个根。证 易知在闭区间上是连续的，又与异号，由零点存在定理知至少存在一点，使，即. 这个就是方程的一个根。例 证明方程 至少有一个小于3的正根。证设，由于，,与异号，又，由零点存在定理知，在内必有一点，使得，即方程 有一个

6、小于3的正根。例 设，且，,试证至少存在一点 ，使得.证 做辅助函数 . 则，且，. 与异号，由零点存在定理知，至少存在一点，使得，即，亦即，.定理4（介值定理）若，且.而是介于之间的任何一个实数，则存在一个点，使得.定理4实际上是定理3的一个推论。事实上，若令，则是闭区间上的连续函数，又，. 由于介于之间，（）故（如右图）与异号,由定理3，知，使得，即 ，即，.零点存在定理与介值定理在理论上是很有用的。三. 利用函数连续性求函数极限在点处连续的定义是: ,所以当求连续函数在点处的极限时，其极限值就是函数在该点的函数值。而一切初等函数在其定义区间内都是连续的。作业：p.89 一，二班 3,7(1,4,7),8,12,16.三班 5,7(2，5，8),9,13,16.四班 6,7(3,6,9),11,14.18.例 求 .解.例 求证：当时, .证 ；. 当时，与都是无穷小量.又 . 当时，.在结束本章之前，我们再复习一些关于等价无穷小量的性质，利用这些性质，可以简化求极限的过程。性