空间向量运算的坐标表示 (3)

1、空间向量运算的坐标表示空间向量运算的坐标表示 1.1.空间向量基本定理是什么？空间向量基本定理是什么？ 若三个向量若三个向量a a，b b，c c不共面，则不共面，则对空间任一向量对空间任一向量p p，存在有序实数，存在有序实数组组 x，y，z ，使得，使得p pxa ayb bzc c. .提出问题提出问题2.2.在空间直角坐标系中，确定向量在空间直角坐标系中，确定向量p p的坐标的基本原理是什么？的坐标的基本原理是什么？若若p px xe e1 1y ye e2 2z ze e3 3，则，则p p(x(x，y y，z).z).提出问题提出问题3.3.空间向量可以用坐标表示，从而空空间向量可

2、以用坐标表示，从而空间向量的运算和向量的关系也可以用间向量的运算和向量的关系也可以用坐标表示，其相关结论，我们将逐一坐标表示，其相关结论，我们将逐一探究探究. .提出问题提出问题1 1、向量、向量a ab b用基底用基底 i i，j j，k k 如何如何表示？表示？a ab b的坐标是什么？的坐标是什么？ 设设 i i，j j，k k 为单位正交基底，向量为单位正交基底，向量 a a(x(x1 1，y y1 1，z z1 1) )，b b(x(x2 2，y y2 2，z z2 2). ). ab(x(x1 1x x2 2，y y1 1y y2 2，z z1 1z z2 2) ) 探求新知探求新

3、知设设 i i，j j，k k 为单位正交基底，向量为单位正交基底，向量 a a(x(x1 1，y y1 1，z z1 1) )，b b(x(x2 2，y y2 2，z z2 2). ). 2 2、根据上述原理，向量、根据上述原理，向量a ab b的坐标的坐标是什么？是什么？ ab(x(x1 1x x2 2，y y1 1y y2 2，z z1 1z z2 2) ) 探求新知探求新知3 3、设、设为实数，向量为实数，向量a a用基底用基底 i i，j j，k k 如何表示？如何表示？a a的坐标的坐标是什么？是什么？ a(x(x1 1，yy1 1，zz1 1) ) 探求新知探求新知4 4、利用、

4、利用a ax x1 1i iy y1 1j jz z1 1k k， b bx x2 2i iy y2 2j jz z2 2k k， a ab b等于什么？等于什么？ abx x1 1x x2 2y y1 1y y2 2z z1 1z z2 2 探求新知探求新知设向量设向量 a a(x(x1 1，y y1 1，z z1 1) )， b b(x(x2 2，y y2 2，z z2 2). ). 1 1、若、若a a/b b，则向量，则向量a a，b b的坐标满足的坐标满足什么关系？什么关系？x x1 1xx2 2，y y1 1yy2 2，z z1 1zz2 2(R) (R) 探求新知探求新知设向量设

5、向量 a a(x(x1 1，y y1 1，z z1 1) )， b b(x(x2 2，y y2 2，z z2 2). ). 2 2、若、若a ab b，则向量，则向量a a，b b的坐标满足的坐标满足什么关系？什么关系？ x x1 1x x2 2y y1 1y y2 2z z1 1z z2 2 0 0探求新知探求新知3 3、利用向量、利用向量a a的坐标如何求的坐标如何求| |a a| |？ | |a| |222111xyz+设向量设向量 a a(x(x1 1，y y1 1，z z1 1) )， b b(x(x2 2，y y2 2，z z2 2). ). 探求新知探求新知4 4、利用向量、利用

6、向量a a，b b的坐标如何求它的坐标如何求它们的夹角？们的夹角？121 21 2222222111222cos,x xy yzza bxyzxyz+=+rr设向量设向量 a a(x(x1 1，y y1 1，z z1 1) )， b b(x(x2 2，y y2 2，z z2 2). ). 探求新知探求新知5 5、若点、若点A(xA(x1 1，y y1 1，z z1 1) )，点，点B(xB(x2 2，y y2 2，z z2 2) )，则向量则向量 的坐标是什么？的坐标是什么？A A、B B两点间的两点间的距离如何计算？距离如何计算？ A Buuu r(x(x2 2x x1 1，y y2 2y

7、y1 1，z z2 2z z1 1) )， A Buuu r222212121()()()A Bdxxyyzz=-+-+-探求新知探求新知6 6、已知点、已知点A(xA(x1 1，y y1 1，z z1 1) )，点，点B(xB(x2 2，y y2 2，z z2 2) )， 若若 ，则点，则点P P的坐标是什么？的坐标是什么？A PPBl=uuu ruuu r121212(,)111xxyyzzPllllll+探求新知探求新知 例例1 1 如图，在正方体如图，在正方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，点点E E、F F分别是分别是A A1 1B B1 1，

8、C C1 1D D1 1的一个四等分点，的一个四等分点，求异面直线求异面直线BEBE与与DFDF所成角的余弦值所成角的余弦值. .x xy yz zE EA AB BC CA A1 1F FB B1 1C C1 1D D1 1D D15cos,17B E D F=uuu r uuu r典例讲评典例讲评例例2 2 如图，在正方体如图，在正方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，点点E E、F F分别是分别是BBBB1 1，B B1 1D D1 1的中点，的中点， 求证：求证：EFAEFA1 1D.D.x xy yz zE EA AB BC CA A1 1F F

9、B B1 1C C1 1D D1 1D D典例讲评典例讲评例例3 3 如图，在长方体如图，在长方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，|AD|=2,|AB|=3,|AA|AD|=2,|AB|=3,|AA1 1|=2, |=2, 若若D D1 1O O ACAC于于点点O ，求，求D1到到O的距离的距离. .x xy yz zO OA AB BC CA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1D D典例讲评典例讲评18 12(,0)13 13O1228613D O 1.1.空间向量的坐标运算是在空间向空间向量的坐标运算是在空间向量基本定理和空间向量的坐标表

10、示的量基本定理和空间向量的坐标表示的基础上建立起来的理论，它与平面向基础上建立起来的理论，它与平面向量的坐标运算的算法原理是一致的，量的坐标运算的算法原理是一致的，其不同点体现在空间向量是三维坐标其不同点体现在空间向量是三维坐标运算，平面向量是二维坐标运算运算，平面向量是二维坐标运算. . 课堂小结课堂小结 2.2.求空间向量的坐标有几何法、求空间向量的坐标有几何法、差向量法、待定系数法等，若向量的差向量法、待定系数法等，若向量的起点在原点，一般用几何法；若向量起点在原点，一般用几何法；若向量的起点和终点是一些特殊点，一般用的起点和终点是一些特殊点，一般用差向量法，即终点坐标减起点坐标；差向量法，即终点坐标减起点坐标；若向量的具体位置不确定，一般用待若向量的具体位置不确定，一般用待定系数法定系数法. .课堂小结课堂小