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文档简介

1、椭圆的方程及性质一、学习目标1了解椭圆的实际背景,经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程2掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形3加深理解椭圆定义及标准方程,能熟练求解与椭圆有关的轨迹问题二、重点难点1利用定义法、待定系数法求椭圆的标准方程(重点) 2会求简单的与椭圆相关的轨迹问题(难点)3椭圆的简单几何性质(重点)4求椭圆的离心率(难点)。三、知识梳理1、椭圆的定义文字语言图形语言符号语言平面内到两定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆xyOMF1F2注:(1)当2a|F1F2|时,P点的轨迹是线段;(2) 当2a|F1F2|时,P点不存在

2、。2. 椭圆的标准方程推导【思考】我们已经知道了什么样的图形是椭圆,接下来我们来推导椭圆的标准方程。在平面内建立直角坐标系,我们令椭圆的两个焦点坐标分别为;。椭圆上的点到两个焦点的距离之和为。那么椭圆的标准方程是什么呢?3.椭圆的标准方程及简单几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程图形性质对称性对称轴:x轴、y轴;对称中心:(0,0)。顶点A1(a,0),A2(a,0)B1(0,b),B2(0,b)A1(0,a),A2(0,a)B1(b,0),B2(b,0)范围axa,bybbxb,aya轴长轴的长为2a;短轴的长为2b焦点焦距离心率,越小,椭圆越圆,越大,椭圆越扁a,b,c的关系4辨明椭圆

3、定义中两个易误点注意:在椭圆的定义中,不要忽视2a|F1F2|这一条件,当2a|F1F2|时,其轨迹是椭圆;当2a|F1F2|时,其轨迹为线段F1F2;当2a|F1F2|时,不存在轨迹。5.求椭圆标准方程的两种方法(1)定义法:根据题中的条件,如果可以判断出来是椭圆,再确定a2,b2的值,结合焦点位置可写出椭圆方程(2)待定系数法:若焦点位置明确,则可设出椭圆的标准方程,结合已知条件求出a、b;若焦点位置不明确,则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论,也可设椭圆的一般方程:四、夯基释义1对椭圆定义的认识(1)平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆 ( )(2)动点P到两

4、定点A(0,2),B(0,2)的距离之和为4,则点P的轨迹是椭圆 ( )2对椭圆的几何性质的理解(1)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆。( )(2)椭圆的离心率为。( )(3)椭圆的短半轴是。( )3椭圆的方程(1)若椭圆的焦距是2,则。( )(2)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为(1,0),离心率等于,则C的方程是。( )五典例剖析题型一 椭圆的定义1.已知动点满足,则动点的轨迹是 。2.(2019·北京东城期末)过椭圆的一个焦点F1的直线与椭圆交于A,B两点,则A与B和椭圆的另一个焦点F2构成的ABF2的周长为()A2 B4 C8 D23.F1,F2是椭圆的两个焦点,A为椭圆上一点

5、,且AF1F245°,则三角形AF1F2的面积为( ) A7 B C D课堂小结:1. 椭圆上的点到两个焦点的距离之和一定是常数,当碰到椭圆上的点与一个焦点的连线时,就要把这个点和另一个焦点的连线作出,这样就可以根据椭圆定义分析解决问题2. 也可以利用定义求a的值,如2a|PF1|PF2|.课堂练习:若椭圆C:的焦点为F1,F2,点P在椭圆C上,且|PF2|4则F1PF2等于()A30° B60° C120° D150°题型二 椭圆的标准方程【例1】(基础题)求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)两个焦点的坐标分别是、,并且椭圆经过点;(2)

6、经过两点,的椭圆的标准方程(3) 以的长轴为短轴,且离心率相同.点评:求椭圆的方程首先清楚椭圆的定义,还要知道椭圆中一些几何要素与椭圆方程间的关系。课堂小结:用待定系数法求椭圆标准方程的四个步骤(1)作判断:根据条件判断椭圆的焦点在x轴上,还是在y轴上,还是两个坐标轴都有可能(2)设方程:根据上述判断设出方程(3)找关系:根据已知条件,建立关于a,b,c的方程组(4)得方程:解方程组,将解代入所设方程,即为所求【课堂练习】已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点P1(,1),P2(,),则该椭圆的方程为_【课堂练习】(2019徐州)已知F1、F2是椭圆C:(ab0)的两个焦点,P为椭

7、圆C上的一点,且PF1PF2,若PF1F2的面积为9,则b_;当PF1F2的周长为18时,该椭圆的标准方程是_课堂小结:椭圆方程的2个求法及1个注意点:(1)2个求法:定义法、待定系数法;(2)1个注意点:利用椭圆的定义定形状时,一定要注意常数2a|F1F2|这一条件。椭圆中焦点三角形的5个常用结论(1)|PF1|PF2|2a. (2)4c2|PF1|2|PF2|22|PF1|·|PF2|cos ;(F1PF2)(3)当P为短轴端点时,最大(4)SPF1F2|PF1|PF2|sin ·b2b2tanc·|y0|.当y0±b,即P为短轴端点时,SPF1F2

8、有最大值为bc. (5)焦点三角形的周长为2(ac)【课堂练习】一个椭圆的中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,P(2,)是椭圆上一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则椭圆的方程为()A1 B1 C1 D1题型三 椭圆的离心率椭圆的几何性质是高考的热点,高考中多以小题出现,试题难度一般较大,高考对椭圆几何性质的考查主要有以下四个命题角度:(1)由椭圆的方程研究其性质;(2)利用椭圆性质求椭圆方程;(3)由椭圆的性质求参数的值或范围;(4)求离心率的值或范围【例1】(求参数值)已知椭圆1的离心率为,则k的值为()A21 B21 C或21 D或21【例2】直线经过椭圆的一个顶点和

9、一个焦点,若椭圆中心到的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为( )A. B. C. D.【例3】(构造法求离心率)(2019·兰州模拟)已知椭圆C:1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,右顶点为A,上顶点为B,若椭圆C的中心到直线AB的距离为|F1F2|,则椭圆C的离心率e()A. B C. D【课堂练习】1.(2019高考江苏卷)如图,在平面直角坐标系中,是椭圆 的右焦点,直线 与椭圆交于两点,且,则该椭圆的离心率是 .2.(2019全国3卷(文11)已知椭圆C:,(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线相切,则C

10、的离心率为( )A B CD课堂小结:(1)求椭圆离心率的方法:直接求出a,c的值,利用离心率公式直接求解列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式),借助于b2a2c2消去b,转化为含有e的方程(或不等式)求解(2)利用椭圆几何性质的技巧:求解与椭圆几何性质有关的问题时,要结合图形进行分析,当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时,要理清它们之间的内在联系六、家庭作业 1若方程1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数m的取值范围是_2曲线1与曲线1(k9)的()A长轴长相等 B短轴长相等 C离心率相等 D焦距相等3椭圆1上一点P到一个焦点F1的距离为4,则点P到另一个焦点F2的距离为_4(2019·宝鸡模拟)椭圆1(ab0)的左、右顶点分别为A,B,左、右焦点分别为F1,F2,若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等差数列,则此椭圆的离心率为()A B C D25已知椭圆C:1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,过F2的直线l交C于A,B两点. 若AF1B的周长为4,则椭圆C的方程为_6设F1,F2是椭圆E:1(a>b>0)的左、右焦点

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