二重极限与累次极限的关系与应用论文.doc

1、大理学院本科毕业论文二重极限与累次极限的关系及其应用The relationship and application of theDouble limit and Repeatedlimit学 院： 数学与计算机学院项目组成员： 潘逢生指导教师 ： 王绍荣专 业： 数学与应用数学年级（班级）：06级数本一班起止日期 ： 2009-6-25至2009-12-20制表日期：2009年 10 月 1 日摘要本文主要从累次极限与二重极限的定义出发，总结了累次极限与二重极限存在性的所有可能发生的情况和有关的定理，对二重极限与累次极限的关系作了一个比较完整的研究。关键词二重极限；累次极限；存在性；一致趋向

2、AbstractIn this paper, accordingto definition of the repeated limit and the doublelimit, summed up all the possible presence ofthe repeated limit and the double limitinexistence and some related theorems, have a more complete study of the doublelimit and the repeated limitin existence.KeywordsDouble

3、 limit; repeated limit; existence; the same trend目录1.前言12. 二重极限与累次极限的区别与联系.13.二重极限与累次极限存在性的七种情况33.1累次极限都存在且相等，但二重极限不存在.33.2累次极限都不存在，二重极限存在.43.3一个累次极限存在，另一个累次极限不存在，二重极限存在.43.4一个累次极限存在，另一个累次极限不存在，二重极限不存在.53.5累次极限都存在但不相等，二重极限一定不存在.53.6累次极限与二重极限都存在且一定相等.63.7二重极限与累次极限都不存在.64.关于二重极限与累次极限的几个定理和问题.74.1二重极限与

4、累次极限存在必相等定理.74.2二重极限存在时累次极限也存在的条件8参考文献.10致谢.111前言本文以二重极限与累次极限的关系为研究对象，原因在于它不仅对多元函数极限的求法和极限思想有很大的启发作用而且对多元函数的其他性质与应用也有很大的帮助，是研究多元函数的连续性，可积性，可微性的重要工具。选择二元函数作为多元函数研究的代表是因为二元函数具有可代表性与研究的便捷性。二元函数极限是一元函数极限的推广，而又不同于一元函数的极限，二元函数的二重极限与累次极限的存在性没有必然的蕴含关系，但是在不同的条件下，它们存在着密切的关系，如：当累次极限存在但不相等时二重极限一定不存在。二重极限与累次极限之间

5、的关系是一个复杂的问题，若能弄清它们之间的联系与区别，这将会对多元函数的微分计算，积分计算和极限计算发挥很大的作用，也有助于更清楚的了解多元函数的连续性，可积性，可微性，一致收敛性之间的联系与区别，对多元函数的研究具有重要意义。2二重极限与累次极限的区别与联系二元函数极限是一元函数的推广，研究二元数的极限对研究函数的连续性，可微性及可积性都有很大的帮助，研究二元函数的极限首先要从它的定义出发，二元函数的极限有二重极限与累次极限之分，这是两个不同的独立概念，我们先来看看它们的定义.定义1.设为定义在上的二元函数.为的一个聚点，是一个确定的实数，若对任给正数，总存在某正数，使得当时，都有.则称在上

6、当时以为极限，记作：或定义2设,是的聚点，是的聚点，二元函数在集合 上有定义，若对每一个，存在极限 ,由于此极限一般与有关，因此记作：而且进一步存在极限则称此极限为二元函数先对后对的累次极限.并记作：.类似可以定义先对后对的累次极限.从所给定义出发，可知二重极限 中的两个变量 要求同时以任何方式，即从任何路径趋向于点而得到的极限.其关键在于路径的任意性与两变量的同时性。对于累次极限所不同的是自变量是依一定先后顺序相续趋向于的整个趋近过程分为两个步骤，既可以先后，也可以先后时对的极限，我们从定义中可以知道二重极限与累次极限定义上就是独立的，这是它们的存在性没有必然的蕴含关系的最终原因，要研究它们

7、之间的关系是一个比较复杂的问题，所以我们在研究它们关系之前要对它们各自的定义作充分的理解.函数在一点的二重极限涉及该点邻域内（仅考虑函数定义域的）所有点，而累次极限则不同，它是每次仅考虑一个变量的变化（其余变量暂时看作常数）的一元函数极限.例如首先只考虑（暂时看作常数）有其次令有这个累次极限对任意的，动点 沿着折线无限趋近于如下图（1）所示P(X,Y)B（X,Yo）C(Xo,Y)A(Xo,Yo) XOY图（1）同理:对于另一累次极限对任意, 动点沿着折线无限趋近于如图（1）示，这时需要注意的是，若累次极限存在，则在路径：中的阶段必须有的存在，而且，也未必与相同，某些时候，这一累次极限在第一阶段

8、就不存在了.例如显然在时，显然是不存在的，当然在阶段的极限也就不存在的，即累次极限是不存在的，尽管存在，但是在：路线上，极限却是存在的。因为若想在上无限趋于，只需要取 段就可以了，不考虑段，并不影响极限 的值。另一方面，注意到由两边夹法则知 ，当然有此例说明 与 是不同的，而且只有当 存在时，才可能有 存在.对于 与 的理解类似.从上面的分析我们知道二重极限与累次极限存在的基础是不同的.3二重极限与累次极限可能发生的七种关系由函数的二重极限与累次极限的定义，发现二重极限与累次极限是两个独立的概念，两者的存在性没有必然的蕴含关系，但可以总结出二重极限与两个累次极限间的所有可能存在的关系，共有七种

9、.(1)累次极限都存在且相等，但二重极限不存在；(2)累次极限都不存在，二重极限存在；(3)一个累次极限存在，另一个累次极限不存在，二重极限存在；(4)一个累次极限存在，另一个累次极限不存在，二重极限不存在；(6)累次极限都存在但不相等，二重极限一定不存在；(7)累次极限与二重极限都存在且一定相等.3.1累次极限都存在且相等，但二重极限不存在例1.讨论二元函数在原点（0.0）处的二重极限与累次极限.解：当动点沿直线而趋于定点（0.0）时，由于此时因而有此结果可以看出极限值与有关，所以此函数二重极限不存在.当时有从而有同理可得即此函数累次极限存在且均为0.此例说明累次极限存在且相等，并不能保证二

10、重极限的存在，当然有可能存在.3.2累次极限都不存在，二重极限存在例2.考察二元函数在原点处的二重极限与累次极限是否存在.解：由于有界变量与无穷小量的乘积仍为无穷小量，可得对任意给定的由于不存在，所以不存在。同理：不存在，也不存在.即两个累次极限都不存在.此例说明了函数的二重极限存在，而两个累次极限可以不存在，这也说明了累次极限并不是二重极限的特例.3.3一个累次极限存在，另一个累次极限不存在，二重极限存在例3.考察函数在原点（0.0）的二重极限与累次极限.解：因为所以二重极限而累次极限又因为括号中的极限不存在，所以这个累次极限不存在，另一个累次极限上例说明了二重极限存在，也不能保证累次极限存

11、在，当然更不能保证两累次极限相等，因为它连累次极限中的任何一个的存在性都无法保证，二重极限的存在性与累次极限的存在性无蕴含关系，而且可以知道两个累次极限的存在性也不存在蕴含关系.3.4一个累次极限存在，另一个累次极限不存在，二重极限不存在例4.求函数在原点处的二重极限与累次极限的存在性.解：二重极限的存在性参考例1可得，函数的二重极限不存在.累次极限的存在性当时，由于 不存在，所以 不存在.当时有所以由此例可以看出二重极限不存在时，累次极限可以只存在一个，而另一个不存在.3.5累次极限都存在但不相等，二重极限一定不存在例5.已知函数问函数在原点的二重极限与累次极限是否存在.解：如同例1一样的方

12、法可以证明此函数在原点处的二重极限不存在.对任意固定，可得所以对任意固定，可得所以此例说明了即使两个累次极限存在，其值可不等，二重极限是一定不存在.3.6累次极限与二重极限都存在且一定相等例6.函数在原点（0.0）处的二重极限与累次极限.解：即，二元函数的二重极限与累次极限都存在且都等于6.3.7二重极限与累次极限都不存在例7.求函数在原点（0.0）处的二重极限与累次极限.解：使用例1的证明方法我们易知 不存在， 且,综合得到此函数的二重极限不存在.而当时因为 不存在.所以也不存在.同理当时不存在.也不存在.综合得，此二元函数得二重极限与累次极限都不存在.从这个特殊的例子我们可以知道，并不是函

13、数的每一个点都存在二重极限或累次极限，如上的函数在原点（0.0）处即不存在二重极限也不存在累次极限.4关于二重极限与累次极限的几个定理和问题4.1二重极限与累次极限存则必相等定理定理1若 在点 存在二重极限与累次极限则它们必相等.证明：设，则对正数，总正数，使得当 时,有(1)另由存在累次极限之假设，对任一满足不等式：.(2)的存在极限.(3)回到不等式（1）让其中的由（3）可得.（4）故由(3)(4)可证得即 .其中想指出的一点：与的存在与相等与另一个累次极限的存在情况无蕴含关系，也就无从谈论等值问题.由上面定理1可以得到两个推论，推论1若累次极限，和二重极限都存在，则三者必相等.证明：已知

14、二重极限存在，由定理1，不妨设二重极限，又已知累次极限存在所以也等于.同理：另一个累次极限也存在并一定等于二重极限等于.综合得三者都存在时，它们必相等.利用此推论可以在某些时候将求二重极限问题转化为求累次极限的问题，求累次极限相对求二重极限要简便些.推论2 若累次极限与存在，且不相等，则二重极限必不存在.证明：不妨设二重极限此时也存在并等于即 又已知累次极限都存在，由上推论我们知道二重极限与累次极限都存在时必相等，所以二重极限与累次极限都等于，这与两个累次极限都存在，但是不相等矛盾，所以假设不成立，即二重极限不存在.4.2二重极限存在时累次极限也存在的条件二重极限与累次极限的存在性是没有必然的

15、蕴含关系的，但是在某些条件下它们之间是存在关系的，不仅存在性有联系，在极限值上也有很大联系.定理1已经告诉我们若 在点 存在二重极限 与累次极限则它们必相等。那么如果已知二重极限存在，怎样才能保证累次极限也存在呢？定理3设 ,又当在的空心邻域内极限存在，则换言之，由二重极限及相应的内极限（累次极限减少一层的极限：或）的存在，可以断定所求的累次极限存在且等于该二重极限.证明：任给，因为 ，所以存在，当 ，且 时，就有现令，则当 时，由上面的不等式令 既得故即显然，把定理3中的 存在，改为 存在，类似的结论也成立.参考文献1. 东北师范大学数学系.数学分析（M）下册 .第三版 .高等教育出版社，2001.（6）：93100.2.王杰.浅谈二重极限与累次极限（J）西安统计学院3.滕加俊.数学分析辅导与习题精解（M）大连理工大学出版社，2006.（9）：4154284.方企勤.多元函数微积分（M）上海科技出版社， 1980.（8）：1929.5.周性伟