六年级奥数分数应用题之工程问题

1、分数应用题之工程问题第四讲教学目标 工程问题是分数应用题中最重要的一大类，因为处理这类问题的解题技巧独特且应用广泛，所以工程问题往往受出题者青睐，在各种数学竞赛和小升初考试中，工程问题和需要使用工程问题算术方法的类工程问题也经常出现。1. 工程问题的基本数量关系与一般解法；2. 工程问题中的常见解题方法；3. 工程问题算术方法在其他类型式题中的使用。经典精讲工程问题，究其本质是运用分数应用题的量率对应关系，即用对应分率表示工作总量与工作效率，这种方法可以称作是一种“工程习惯”，这一类问题称之为“工程问题”。1. 解题关键是把“一项工程”看成一个单位，运用公式：工作效率×工作时间=工作

2、总量，表示出各个工程队（人员）或其组合在统一标准和单位下的工作效率。2. 利用常见的数学思想方法，如代换法、比例法、列表法、方程法等。抛开“工作总量”，和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案，一般情况下，工程问题求的是时间。有的情况下，工程问题并不表现为两个工程队在“修路筑桥、开挖河渠”，甚至会表现为“行程问题”、“经济价格问题”等等，工程问题不仅指一种题型，更是一种解题方法。基本题型【例1】 一项工程，甲、乙合作需要20天完成，乙、丙合作需要天，如果由乙单独做需要天完成，求如果甲、乙、丙合作，完

3、成这项工程需要多少天？【分析】 将整个工程的工作量看作“1”个单位，那么甲、乙每天完成总量的，乙、丙每天完成总量的，乙单独做每天能完成总量的，所以三人合作的话，12天能完成。【例2】 一项工程，甲单独做天完成，乙单独做天完成。甲、乙合作了几天后，乙因事请假，甲继续做，从开工到完成任务共用了天。乙请假多少天? 【分析】 （法一）甲一共干了天，完成了，还有，是乙做的，乙干了了（天），休息了（天），请假天数为：（天）。（法二）假设乙没有请假，则两人合作天，应完成，超过单位“1”的，则乙请假（天）。【拓展】一项工程，甲队单独干天可以完成，甲队做了天后，由于另有任务，剩下的工作由乙队单独做天完成问：乙队

4、单独完成这项工作需多少天？【分析】甲的工作效率：，甲的工作量：， 乙的工作量：，乙的工作效率：， 所以乙单独完成这项工作需天。【例3】 搬运一个仓库的货物，甲需小时，乙需小时，丙需小时。有同样的仓库和，甲在仓库，乙在仓库同时开始搬运货物，丙开始帮甲搬运，中途又转向帮乙搬运，最后同时搬完两个仓库的货物。丙帮助甲、乙各搬运了几小时？【分析】 （1）甲、乙、丙搬完两个仓库共用了：小时。（2）丙帮助甲搬运了小时。（3）丙帮乙搬运了小时。【拓展】甲、乙、丙三队要完成，两项工程，工程的工作量是工程工作量再增加，如果让甲、乙、丙三队单独做，完成工程所需时间分别是天，天，天.现在让甲队做工程，乙队做工程，为了

5、同时完成这两项工程，丙队先与乙队合做工程若干天，然后再与甲队合做工程若干天.问丙队与乙队合做了多少天？【分析】三队合做完成二项工程所用的天数天， 丙帮乙队做的天数：天。技巧与方法一、 代换法【例4】 一池水，甲、乙两管同时开，5小时灌满，乙、丙两管同时开，4小时灌满。现在先开乙管6小时，还需甲、丙两管同时开2小时。乙单独开几小时可以灌满？【分析】 根据“现在先开乙管6小时，还需甲、丙两管同时开2小时灌满”，我们可以把乙管的6小时分成3个2小时，第一个2小时和甲同时开，第二个2小时和丙同时开、第三个2小时单独开。这样就变成了甲、乙同时开2小时，乙、丙同时开2小时，乙独开2小时，正好灌满一池水。可

6、以计算出乙单独灌水的工作量为，所以乙的工作效率为，所以整池水由乙管单独灌水，则需要（小时）。【巩固】一项工程，甲独做天完成，甲天的工作量，乙要天完成。两队合做天后由乙队独做，还要几天才能完成？【分析】（法一）两队合做天，看做甲先做两天，乙再做2天，然后再将剩下的工程完成，那么乙做的部分相当于甲做的4天，所以乙做了天，除去与甲合作的2天，以还要做天。（法二）甲的工作效率为，所以乙的工作效率为。两队合作2天后乙队独做还要天才能完成。【例5】 一份文件，如果甲抄10小时，乙抄10小时可以抄完；如果甲抄8小时，乙抄13小时也可以抄完。现在甲先抄2小时，剩下的甲乙合作，还需要几小时才能完成？【分析】 由

7、题意可知：甲，乙合作的效率为：；乙单独的工作效率为，所以甲单独的效率。甲先抄2小时，剩下的甲乙合作，还需要小时。【例6】 一项工程，如果甲先做5天，那么乙接着做20天可完成；如果甲先做20天，那么乙接着做8天可完成。如果甲、乙合作，那么多少天可以完成？【分析】 本题没有直接给出工作效率，为了求出甲、乙的工作效率，我们先画出示意图：从图中可以直观地看出：甲15天的工作量和乙12天的工作量相等，即甲5天的工作量等于乙4天的工作量。于是可用“乙工作4天”等量替换题中“甲工作5天”这一条件，通过此替换可知乙单独做这一工程需20+4=24（天）完成，即乙的工作效率是。又因为乙工作4天的工作量和甲工作5天

8、的工作量相等，所以甲的工作效率是乙的，甲、乙合作这一工程需用的时间为 (天)。【拓展】一件工作甲先做小时，乙接着做小时可以完成甲先做小时，乙接着做小时也可以完成如果甲做小时后由乙接着做，还需要多少小时完成？【分析】设甲与乙的工作效率分别为和， ， 所以这件工作的工作量：， 乙还需要：小时。【例7】 某工厂的一个生产小组，生产一批零件，当每个工人在自己原岗位工作时，10小时可完成这项工作。如果交换工人和的工作岗位，其他工人生产效率不变时，就会晚1小时完成；如果交换工人和的工作岗位，其他工人生产效率不变时，就会提前1小时完成；问：如果同时交换工人和，和的工作岗位，其他工人生产效率不变，多久可以完成

9、这项工作？【分析】 最初的效率为 ，交换工人和后效率减少，交换工人和后效率增加，同时交换工人和，和后效率变为，所需时间为：。【例8】 一项工程，甲、乙、丙3人合作需13天完成，如果丙队休息2天，乙就要多做4天，或者甲、乙合作多做1天。这项工程由甲单独做，需要多少天完成？【分析】 丙2天的工作量等于乙4天的工作量，或等于甲、乙合作1天的工作量。假设乙的工作效率为1，那么丙的工作效率是2，甲的工作效率是4-1=3，甲、乙、丙的工效比是，甲的工效是，甲单独做要天完成。二、 比例法【例9】 打印一份书稿，甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间3天才能完成。如果甲、乙合做2天，剩下的由乙独做，那

10、么刚好在规定时间内完成。甲、乙两合做需几天完成？【分析】 根据“甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间3天才能完成。如果甲、乙合做2天，剩下的由乙独做，那么刚好在规定时间内完成。”可知甲做2天的工作量等于乙做3天的工作量。完成这项工作甲、乙所用的时间比是，同时也说明甲、乙单独做，乙用的时间比甲多3+2=5天。乙独做的天数是：（天），甲独做要15-5=10（天），甲乙合做需（天）。注：注意工程问题里也经常用到比例，是因为工程问题的基本数量关系是乘法关系。其实这一点是与工程习惯无关的。【例10】 甲、乙两辆清洁车执行东、西城间的公路清扫任务甲车单独清扫需10小时，乙车单独清扫需15小时，两

11、车同时从东、西城相向开出，相遇时甲车比乙车多清扫12千米问：东、西两城相距多少千米？【分析】 （法一）先求出甲、乙相遇的时间：小时。甲清扫全长的，乙清扫了全部的。东西两城相距千米。（法二）因为时间相等，路程比等于速度比，这样相遇时甲、乙清扫的路程比是，甲行了全程的，乙行了全程的，全程就是千米。三、 列表法【例11】 放满一个水池，如果同时打开1，2，3号阀门，则20分钟可以完成；如果同时打开2，3，4阀门，则21分钟可以完成；如果同时打开1，3，4号阀门，则28分钟可以完成；如果同时打开1，2，4号阀门，则30分钟可以完成。问：如果同时打开1，2，3，4号阀门，那么多少分可以完成？【分析】 根

12、据条件，列表如下：1号2号3号4号工作效率××××由表中可知，每个阀门都出现了三次，所以：（天）。【拓展】某工程如果由第一、二、三小队合干需要12天才能完成；如果由第一、三、五小队合干需要7天才能完成；如果由第二、四、五小队合干需要8天才能完成；如果由第一、三、四小队合干需要42天才能完成。那么这五个小队一起合干需要多少天才能完成这项工程？【分析】首先将各个小队之间的组合列成表：一队二队三队四队五队工作效率××××××××如表：一队、三队在表中出现次，二队、四队、五队、各出现

13、次，如果第二、四、五小队的组合计算两次，那么各种组队的工作效率和中各个小队都被计算了次。所以五个小队的工作效率之和为：，五个小队一起合干需要天。【例12】 一项工程，如果由甲、乙、丙共同工作，45天可以完成，需付工程款2700元；如果由甲、乙、丁共同工作，40天可以完成，需付工程款2800元；如果由乙、丙、丁共同工作，36天可以完成，需付工程款2880元；如果由甲、丙、丁共同工作，30天可以完成，需付工程款2700元，现决定将工程承包给某一工程队，确保工程要100天以内完成，且支付的工程款尽量的少，那么应该将工程交给哪一个工程队，支付的工程款是多少元？【分析】 甲、乙、丙、丁的工效和是：； 甲

14、的工效是：；乙的工效是：； 丙的工效是：；丁的工效是：。确保工程要100天以内完成，只能选择丙队或丁队，然后比较支付的工程款。甲、乙、丙每天需要的工程款元；甲、乙、丁每天需要的工程款；乙、丙、丁每天需要的工程款元；甲、丙、丁每天需要的工程款元。甲、乙、丙、丁每天需要的工程款的总和为元。甲、乙、丙、丁每天需要的工程款分别是元，元，元，元。如果由丙队独自完成整项工程，那么需要支付元，由丁队来完成，需要支付元。相比较，工程应该交给丙队。巩固精练1. 一项工程，甲单独完成需天，乙单独完成需天若甲先做若干天后乙接着做，共用天完成，问甲做了几天?【分析】甲工作效率，乙工作效率，假设甲工作了天，乙工作了天，

15、那么有 ，解得：。2. 抄一份书稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的工作效率相当甲、乙每天工作效率和的。如果3人合抄只需8天就完成了，那么乙一人单独抄需要多少天都能完成？【分析】 3人合抄只需8天就完成了，三人的合作工作效率为；甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和，说明甲的工作效率等于乙、丙合作工作效率，且都是三人合作效率的一半，即；丙的工作效率相当甲、乙每天工作效率和的，即甲、乙合作工作效率为丙的5倍，甲=乙+丙，甲+乙=5丙，则乙的工作效率是丙的2倍，那么，乙的工作效率=×=，所以，乙一人单独抄需要24天才能完成。3. 有甲、乙两项工作，张单独完

16、成甲工作要10天，单独完成乙工作要15天；李单独完成甲工作要 8天，单独完成乙工作要20天。如果每项工作都可以由两人合作，那么这两项工作都完成最少需要多少天？【分析】 很明显，李做甲工作的工作效率高，张做乙工作的工作效率高。因此让李先做甲，张先做乙。设乙的工作量为“1”个单位，张每天完成，李每天完成份。8天，李就能完成甲工作。此时张还余下乙工作。由张、李合作需要天；所以完成所有工作需要（天）。4. 一件工程，甲队独做12天可以完成，甲队做3天后乙队做2天恰可完成一半，现在甲乙两队合做若干天后，由乙队单独完成,做完后发现两段所用时间相等，则共用多少天？【分析】 甲队做6天完成一半，甲队做3天乙队

17、做2天也完成一半，,所以甲队做3天相当于乙队做2天。即甲的工作效率是乙的，从而乙独做天完成。所说两段所用时间相等,每段时间应是天，因此共用3×2=6天。 竞技跳水比赛主要包括跳台和跳板，比赛时运动员要完成规定和自选动作，最后以两种动作的总分决定名次。年北京奥运会设男、女个人米跳台和米跳板，以及男、女双人米跳台和米跳板共个项目。比赛在北京奥林匹克公园的国家游泳中心举行。跳水池面积为米米，池深·米。    跳水的男子个人和双人项目各需完成个动作，女子个人和双人项目各需完成个动作。跳板比赛中，女子包括个不同组别无难度系数限制的动作，男子则包

18、括个无难度系数限制的动作，其中个动作来自不同的组别，另个动作从个组别中任选。跳台的女子比赛含个不同组别的无难度系数限制的动作，男子比赛包括个不同组别的无难度系数限制的动作。    奥运会跳水比赛先进行预赛，然后选出名成绩最好的运动员参加决赛。决赛时，必须重复预赛时的全部动作，最后以决赛成绩总分多者为优胜。双人比赛没有预赛，直接进行决赛，决赛有对选手参加。农夫看到猎人的罗网里有一只老鹰，而那只老鹰的翅膀受伤了，正在罗网里伤心地哭泣。农夫见状动了恻隐之心，便对猎人说：“老哥，把这只老鹰卖给我吧，我很喜欢它。”猎人同意了农夫的请求。农夫把老鹰带回家，为它洗净了伤口，包扎好后，还给它喂了一些粮食。老鹰在农夫的精心照顾下，伤口好得很快。农夫从地里回来，发现老鹰已不知什么时候从他家里飞走了。农夫很后悔，自言自语地说：“真没良心，我救了它一命，现在连谢谢都没说就飞走了，我以后再也不做好事了。”某个冬日，农夫正靠着墙根