21时数列的性质和递推公式

1、第2课时数列的性质和递推公式1.理解数列的性质，能借助函数的观点研究数列2.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项1数列与函数的关系数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集1，2，3，n)为定义域的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值2数列的递推公式如果数列an的第1项或前几项已知，并且数列an的任一项an与它的前一项an1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式1判断(正确的打“”，错误的打“×”)(1)递推公式也是表示数列的一种方法()(2)所有数列都有递推公式()(3)有些数列可能不存在最大项()答案：

2、(1)(2)×(3)2已知an1an30，则数列an是()A递增数列B递减数列C常数列 D不能确定答案：A3已知数列an满足a11，an2an11(n2)，则a5()A7 B15C20 D31答案：D4数列an中，a11，且an1nan，则a3_答案：2探究点一判断数列的单调性已知数列an的第n项可以表示为，nN*，试判断数列的增减性解因为an的第n项为，所以an的第(n1)项为.因为>0，所以>，所以数列an的第(n1)项大于第n项，故数列an是递增数列数列单调性的判断方法(1)作差法：若an1an>0，则an是递增数列；若an1an<0，则an是递减数列；

3、(2)作商法：若>1(an>0，nN*)或<1(an<0，nN*)，则an是递增数列；若<1(an>0，nN*)或>1(an<0，nN*)，则an是递减数列1.已知数列an，ann(n1，2，3，)，试判断数列an的单调性解：因为<1，而an<0(n1，2，3，)，所以an1>an，即数列an为递增数列探究点二求数列的最大(小)项已知数列an的通项公式ann27n8.(1)数列中有多少项为负数？(2)数列an是否有最小项？若有，求出其最小项解(1)令an<0，即n27n8<0，得1<n<8.又nN*，所以

4、n1，2，3，7，故数列从第1项至第7项均为负数，共7项(2)法一：ann27n8是关于n的二次函数，其对称轴方程为n3.5，所以当1n3时，an是递减数列；当n4时，an是递增数列，所以当n3或4时，an最小，且最小项a3a420.法二：设an为数列an的最小项，则(n2)即解得3n4，故当n3或n4时，a3a4是数列中的最小项，且最小项a3a420.求数列的最小项(或最大项)的方法(1)判断数列的单调性，求出最小项(或最大项)；(2)令(n2)，解不等式组，求出数列的最小项(或最大项)2.已知数列an的通项公式是an(n2)×(nN*)，求数列an中的最大项解：法一：.令>

5、1，解得n<5；令1，解得n5；令<1，解得n>5.又an>0，故有a1<a2<a3<a4<a5a6>a7>，所以n5或6时，an有最大项，且最大项为a5a6.法二：由则解得即5n6.故当n5或6时，an有最大项，且a5a6.探究点三由递推公式求通项公式(1)已知数列an中，a11，an1an2，求数列an的通项公式(2)已知数列an满足a1，an1an，求数列an的通项公式解(1)因为a11，an1an2，所以a2a12，a3a22，a4a32，anan12.将以上各式等号两边分别相加，得(a2a1)(a3a2)(a4a3)(ana

6、n1)2(n1)，即ana12(n1)又因为a11，所以数列an的通项公式为an2n1.(2)由条件知，分别令n1，2，3，n1，代入上式得n1个等式，即····××××，所以.又因为a1，所以an.若本例(2)中的条件“an1an”变为“an12an”，其他条件不变，求an的通项公式解：由已知，得2(n2)所以2，2，2，2.以上各式等号两边分别相乘，得····2n1(n2)又因为a1，所以通项公式为an.(1)由递推公式写出通项公式的步骤先根据递推公式写出数列的前几项(至

7、少是前3项)再根据写出的前几项，观察归纳其特点，并把每一项统一形式写出一个通项公式并证明(2)用累加法求数列的通项公式当anan1f(n)(n2)满足一定条件时，常用an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1累加来求通项公式an.(3)用累乘法求数列的通项公式当g(n)(n2)满足一定条件时，常用an····a1累乘3.已知数列an中，a12，an1anln，求数列an的通项公式解：a2a1ln，a3a2ln，anan1ln(n2)，则ana1ln2ln n(n2)又a122ln 1也满足上式，所以an2ln n.故数列an的一个通项公式为an2

8、ln n.1通项公式与递推公式的异同点不同点相同点通项公式可根据某项的序号，直接用代入法求出所需的项都可确定一个数列，都可求出数列的任何一项递推公式可根据第1项或前几项的值，通过一次或多次赋值逐项求出数列的项，直至求出所需的项2.数列的性质数列作为一类特殊的函数，具有单调性和周期性，判断数列的单调性，通常是运用作差或作商两种方法；若数列an满足存在正整数T，使得anTan对一切正整数n都成立，则数列an称为周期数列，如数列是周期数列1已知数列an满足an>0，且an1an，则数列an是()A递增数列B递减数列C常数列 D摆动数列解析：选B.因为<1，an>0，所以an1<

9、;an，故数列an为递减数列2已知数列an的通项公式为an，则满足an1<an的n的取值为()A3 B4C5 D6解析：选C.由an1<an，得an1an<0，解得<n<，又nN*，所以n5.3已知数列an满足a11，a21，an2anan1(nN*)，则a6_解析：因为an2anan1，所以a3a1a22，a4a2a33，a5a3a45，a6a4a58.答案：8A基础达标1下列数列中，既是无穷数列又是递增数列的是()A1，Bsin，sin ，sin ，sin ，C1，D1，2，3，4，30解析：选C.数列1，是无穷数列，但它不是递增数列，而是递减数列；数列sin

10、，sin ，sin ，sin ，是无穷数列，但它既不是递增数列，又不是递减数列；数列1，是无穷数列，也是递增数列；数列1，2，3，4，30是递增数列，但不是无穷数列2已知数列an的首项a12，an12an1(n1，nN*)，则a5为()A7B15C30 D47解析：选D.将a12代入关系式an12an1得a25，将a25再代入an12an1可得a311，依次类推得a547，故选D.3已知数列an的通项公式为an，按项的变化趋势，该数列是()A递增数列 B递减数列C摆动数列 D常数列解析：选B.因为an1an<0，所以an1<an.故该数列是递减数列4若数列an满足an1(nN*)，

11、且a11，则a17()A13 B14C15 D16解析：选A.由an1an1an，a17a1(a2a1)(a3a2)(a17a16)1×1613.故选A.5在递减数列an中，ankn(k为常数)，则实数k的取值范围是()AR B(0，)C(，0) D(，0解析：选C.因为an是递减数列，所以an1ank(n1)knk<0.6已知数列an的通项公式是an52n1，则从第_项开始为负解析：数列an是递减的，且a14，a23，a31，a43<0.答案：47若数列an满足an12an1，且a816，则a6_解析：由an12an1，得an(an11)，所以a7(a81)，a6(a7

12、1).答案：8已知数列an中，ann·，当an最大时，n_解析：an1an·，故当n1，2，3时，an1>an；当n4时，an1<an.所以此数列的最大项为a4.答案：49已知数列an满足递推公式an12an1，且a11.试写出数列的前四项，并尝试归纳出数列的通项公式解：a11，a22×11341，a32×31781，a42×7115161，由此可归纳得：an2n1(nN*)10已知数列an的通项公式为an，写出它的前5项，并判断该数列的单调性解：对于通项公式an，依次取n1，2，3，4，5，得到数列的前5项为a1，a2，a3，a4

13、，a5.而an1an.因为nN*，所以1n2n<0，(n1)21(n21)>0，所以an1an<0，即an1<an，故该数列为递减数列B能力提升1(2016·银川质检)设数列an满足：a12，an11，记数列an的前n项之积为Tn，则T2 016的值为()A B1C. D2解析：选B.由题意知a2，a31，a42，所以数列an是周期为3的周期数列，a1·a2·a31，又2 016÷3672，从而T2 016(1)6721.2用火柴棒按如图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是_解析：a132×11，a2322×21，a3a2232×22×31，a432×32×41.归纳可得，an2n1.答案：an2n13已知数列an中，a11，an1(nN*)，求数列的通项公式解：因为a11，an1，所以an0，1，即1，所以1，1，1，1(n2)，将上述(n1)个等式相加，得n1，所以n，所以an.当n1时，a11成立，所以an(nN*)4(选做题)已知数列an的通项公式an2n29n3.(1)试确定2